Καμπύλη Γκόσπερ

Η καμπύλη Γκόσπερ, που πήρε το όνομά της από τον Μπιλ Γκόσπερ και είναι επίσης γνωστή ως καμπύλη Πέανο-Γκόσπερ^[1], πρόκειται για μια καμπύλη που γεμίζει το χώρο και της οποίας το οριακό σύνολο είναι το rep-7^[2]. Είναι μια καμπύλη φράκταλ που μοιάζει στην κατασκευή με την καμπύλη δράκου και την καμπύλη Χίλμπερτ.

Η καμπύλη Γκόσπερ μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για ιεραρχική εξαγωνική ομαδοποίηση και ευρετηρίαση^[3].

Αλγόριθμος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σύστημα Λιντενμάγιερ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η καμπύλη Γκόσπερ μπορεί να αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας ένα L-σύστημα με κανόνες ως εξής:

Γωνία: 60°
Αξίωμα: $A$
Κανόνες αντικατάστασης:
- $A\mapsto A-B--B+A++AA+B-$
- $B\mapsto +A-BB--B-A++A+B$

Σε αυτή την περίπτωση τόσο το Α όσο και το Β σημαίνουν ότι κινούμαστε προς τα εμπρός, το + σημαίνει ότι στρίβουμε αριστερά 60 μοίρες και το - σημαίνει ότι στρίβουμε δεξιά 60 μοίρες - χρησιμοποιώντας ένα πρόγραμμα τύπου "χελώνας" όπως η Γλώσσα προγραμματισμού Logo.

Logo[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα πρόγραμμα Logo για τη σχεδίαση της καμπύλης Γκόσπερ με τη χρήση turtle graphics^[4]:

to rg :st :ln
 make "st :st - 1
 make "ln :ln / sqrt 7
 if :st > 0 [rg :st :ln rt 60 gl :st :ln  rt 120 gl :st :ln lt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln rg :st :ln lt 60 gl :st :ln rt 60]
 if :st = 0 [fd :ln rt 60 fd :ln rt 120 fd :ln lt 60 fd :ln lt 120 fd :ln fd :ln lt 60 fd :ln rt 60]
end
 
to gl :st :ln
 make "st :st - 1
 make "ln :ln / sqrt 7
 if :st > 0 [lt 60 rg :st :ln rt 60 gl :st :ln gl :st :ln rt 120 gl :st :ln rt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln lt 60 gl :st :ln]
 if :st = 0 [lt 60 fd :ln rt 60 fd :ln fd :ln rt 120 fd :ln rt 60 fd :ln lt 120 fd :ln lt 60 fd :ln]
end

Το πρόγραμμα μπορεί να ενεργοποιηθεί, για παράδειγμα, με την εντολή rg 4 300, ή εναλλακτικά gl 4 300.

Python[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα πρόγραμμα σε γλώσσα προγραμματισμού Python, το οποίο χρησιμοποιεί τους προαναφερθέντες κανόνες του συστήματος L, για να σχεδιάσει την καμπύλη Γκόσπερ χρησιμοποιώντας γραφικά χελώνας (online έκδοση):

import turtle

def gosper_curve(order: int, size: int, is_A: bool = True) -> None:
    """Draw the Gosper curve."""
    if order == 0:
        turtle.forward(size)
        return
    for op in "A-B--B+A++AA+B-" if is_A else "+A-BB--B-A++A+B":
        gosper_op_map[op](order - 1, size)

gosper_op_map = {
    "A": lambda o, size: gosper_curve(o, size, True),
    "B": lambda o, size: gosper_curve(o, size, False),
    "-": lambda o, size: turtle.right(60),
    "+": lambda o, size: turtle.left(60),
}
size = 10
order = 3
gosper_curve(order, size)

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο χώρος που γεμίζει η καμπύλη ονομάζεται νησί Γκόσπερ^[5]. Οι πρώτες επαναλήψεις του φαίνονται παρακάτω:

Το νησί Γκόσπερ^[5] μπορεί να επικαλύψει την επιφάνεια. Στην πραγματικότητα, επτά αντίγραφα του νησιού Γκόσπερ μπορούν να ενωθούν για να σχηματίσουν ένα σχήμα που είναι ομοειδές, αλλά αναβαθμισμένο κατά έναν παράγοντα √7 σε όλες τις διαστάσεις. Όπως φαίνεται από το παρακάτω διάγραμμα, η εκτέλεση αυτής της πράξης με μια ενδιάμεση επανάληψη του νησιού οδηγεί σε μια αναβαθμισμένη έκδοση της επόμενης επανάληψης. Η επ' αόριστον επανάληψη αυτής της διαδικασίας παράγει μια ψηφιδωτή απεικόνιση του επιπέδου. Η ίδια η καμπύλη μπορεί ομοίως να επεκταθεί σε μια άπειρη καμπύλη που γεμίζει ολόκληρο το επίπεδο.^[6]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Weisstein, Eric W. «Peano-Gosper Curve». MathWorld. Ανακτήθηκε στις 31 Οκτωβρίου 2013.
↑ «rep-tile definition - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2023.
↑ Uher, Vojtěch; Gajdoš, Petr; Snášel, Václav; Lai, Yu-Chi; Radecký, Michal (28 May 2019). «Hierarchical Hexagonal Clustering and Indexing». Symmetry 11 (6): 731. doi:10.3390/sym11060731.
↑ «turtle — Turtle graphics». Python documentation. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2023.
↑ ^5,0 ^5,1 Weisstein, Eric W. «Gosper Island». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2023.
↑ «Fractals de Gosper». mathcurve.com. Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2023.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
Καμπύλη Γκόσπερ

[1] Weisstein, Eric W. «Peano-Gosper Curve». MathWorld. Ανακτήθηκε στις 31 Οκτωβρίου 2013.

[2] «rep-tile definition - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2023.

[3] Uher, Vojtěch; Gajdoš, Petr; Snášel, Václav; Lai, Yu-Chi; Radecký, Michal (28 May 2019). «Hierarchical Hexagonal Clustering and Indexing». Symmetry 11 (6): 731. doi:10.3390/sym11060731.

[4] «turtle — Turtle graphics». Python documentation. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2023.

[:0-5] 5,0 ^5,1 Weisstein, Eric W. «Gosper Island». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2023.

[6] «Fractals de Gosper». mathcurve.com. Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2023.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]