Θεώρημα των Shimura-Taniyama

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το θεώρημα των Shimura-Taniyama δείχνει ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη πάνω από τους ρητούς αριθμούς συνδέεται με μια modular form.

Ο Άγγλος μαθηματικός Άντριου Γουάιλς απέδειξε το θεώρημα στην περίπτωση των ημιευσταθών ελλειπτικών καμπυλών, το οποίο ήταν αρκετό για να αποδειχθεί το τελευταίο θεώρημα του Φερμά ως πόρισμα. Μια ιδέα που πρωτοδιατύπωσε ο Γερμανός μαθηματικός Γκέρχαρντ Φράι. Οι Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, και Richard Taylor επέκτειναν τη μέθοδο του Ουάλις για να αποδείξουν το θεώρημα για όλες τις ελλειπτικές καμπύλες πάνω από τους ρητούς το 2001.

Από την εικασία στο Θεώρημα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εικασία πρωτοδιατυπώθηκε από τον Taniyama το 1955 σε ένα διεθνές συμπόσιο αλγεβρικής θεωρίας αριθμών στο Τόκιο. Η ολοκληρωμένη μορφή της εικασίας διατυπώθηκε από τους Shimura-Taniyama από κοινού το 1957. Το 1967 ο Weil επαναδιατύπωσε την εικασία. Το 1986 ο Γκέρχαρντ Φράι παρατήρησε ότι η απόδειξη της εικασίας των Shimura-Taniyama-Weil θα αποδείκνυε το τελευταίο θεώρημα του Φερμά ως απλό πόρισμα. Πιο συγκεκριμένα παρατήρησε ότι αν δεν ίσχυε το τελευταίο θεώρημα του Φερμά ότι θα μπορούσε να προκύψει μια ρητή καμπύλη που δεν θα συνδεόταν με καμία modular form. Ωστόσο, από το μέθοδο του Φρέι έλειπε μια συνθήκη την οποία συμπλήρωσε ο Serre το 1987, η εικασία έψιλον, η οποία αποδείχθηκε από τον Ribet το 1990.

Το 1995 ο Άντριου Ουάιλς απέδειξε την εικασία για την περίπτωση των ημιευσταθών ελλειπτικών καμπυλών.

Η απόδειξη του θεωρήματος για όλες τις ελλειπτικές καμπύλες έγινε το 2001.