Διατεταγμένο ζεύγος

Ένα διατεταγμένο ζεύγος μπορεί να οριστεί ως μία συλλογή από δύο αντικείμενα στην οποία καθορίζεται η διάταξη των αντικειμένων, έτσι ώστε το ένα αντικείμενο να είναι το πρώτο και το άλλο το δεύτερο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους. Συνήθως συμβολίζεται με δύο γωνιακές παρενθέσεις ή με δύο απλές παρενθέσεις, για παράδειγμα το διατεταγμένο ζεύγος με πρώτο στοιχείο το $a \,$ και δεύτερο το $b \,$ σημειώνεται $\langle a, b \rangle$ ή $(a, b) \,$ .

Ενώ για τα σύνολα η αρχή της ταυτότητας δεν περιλαμβάνει διάταξη, έτσι ώστε ισχύει για παράδειγμα ότι $\left\{1, 2\right\}=\left\{2,1\right\}$, αντίθετα για τα διατεταγμένα ζεύγη η αρχή της ταυτότητας περιλαμβάνει τη διάταξη, έτσι ώστε ισχύει για παράδειγμα ότι $\ \langle 1, 2 \rangle \ne \langle 2, 1 \rangle$ .

Έχουν προταθεί αρκετοί διαφορετικοί τυπικοί ή αυστηροί ορισμοί για την έννοια του διατεταγμένου ζεύγους, η οποία άλλοτε ορίζεται ως πρωταρχική έννοια και άλλες φορές ορίζεται με βάση τα σύνολα. Ένας τυπικός ορισμός του διατεταγμένου ζεύγους είναι αυτός του Kuratowski:

$\langle a, b \rangle := \left\{\left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}$ .

Με βάση αυτόν τον ορισμό η ιδιότητα ότι το στοιχείο $x \,$ είναι το πρώτο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους $p \,$ μπορεί να λάβει τη μορφή

$\forall{Y}{\in}{p}:{x}{\in}{Y}$ ,

και η ιδιότητα ότι το στοιχείο $x \,$ είναι το δεύτερο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους $p \,$ μπορεί να λάβει τη μορφή

$(\exist{Y}{\in}{p}:{x}{\in}{Y})\and(\forall{Y_{1},Y_{2}}{\in}{p}:Y_{1}\ne Y_{2}\rarr ({x}{\notin}{Y_{1}}\or{x}{\notin}{Y_{2}}))$ .