Ανισότητα Πουανκαρέ

Ανάλυση

Ταξινόμηση
Dewey	515
MSC2010	33-XX

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Πουανκαρέ είναι ένα αποτέλεσμα της θεωρίας των χώρων Sobolev, και πήρε το όνομα της από το Γάλλο μαθηματικό Ανρί Πουανκαρέ. Η ανισότητα επιτρέπει σε κάποιον να δώσει όρια σε μία συνάρτηση χρησιμοποιώντας όρια στις παραγώγους της και την γεωμετρία της περιοχής ορισμού της. Τα εν λόγω όρια έχουν μεγάλη σημασία στις σύγχρονες, άμεσες μεθόδους του λογισμού των μεταβολών. Ένα πολύ στενά συνδεδεμένο αποτέλεσμα είναι η ανισότητα Friedrichs.

Δήλωση της ανισότητας

Η κλασική ανισότητα Πουανκαρέ

Ας υποθέσουμε ότι 1 ≤ p ≤ ∞ και ότι Ω είναι οριοθετημένο συνεκτικό ανοιχτό υποσύνολο του n-διάστατου ευκλείδειου χώρου Rⁿ με ένα όριο Lipschitz (δηλαδή, Ω είναι Lipschitz χώρος). Τότε υπάρχει μια σταθερά C,που εξαρτάται μόνο από Ω και p έτσι ώστε για κάθε συνάρτηση u στο χώρο Sobolev W^1,p(Ω),

$\| u - u_{\Omega} \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)},$

όπου

$u_{\Omega} = \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} u(y) \, \mathrm{d} y$

είναι η μέση τιμή του u πάνω Ω, με |Ω| να είναι το μέτρο Lebesgue, του χώρου Ω.

Γενικεύσεις

Υπάρχουν γενικεύσεις της ανισότητα Πουανκαρέ σε άλλους χώρους Sobolev.Για παράδειγμα, το ακόλουθο (που λαμβάνεται από Garroni & Müller (2005) ) είναι μια ανισότητα Πουανκαρέ για τον Sobolev χώρο H^1/2(T²), δηλαδή ο χώρος των συναρτήσεων u στον L² space του T² με μετασχηματισμού Fourier û ικανοποιεί το

$\int_{\mathbf{T}^{2}} | u(x) |^{2} \, \mathrm{d} x \leq C \left( 1 + \frac1{\mathrm{cap} (E \times \{ 0 \})} \right) [ u ]_{H^{1/2} (\mathbf{T}^{2})}^{2},$

όπου cap(E × {0}) την αρμονική ικανότητα-ιδιότητα της E × {0} όταν θεωρηθεί ως ένα υποσύνολο του R³.

Η σταθερά του Πουανκαρέ

Η βέλτιστη σταθερά C στην ανισότητα Πουανκαρέ είναι μερικές φορές γνωστή ως σταθερά του Πουανκαρέ για τον χώρο Ω. Ο προσδιορισμός της σταθεράς Πουανκαρέ είναι, σε γενικές γραμμές, μία πολύ δύσκολη διαδικασία που εξαρτάται από την τιμή του p και τη γεωμετρία του χώρου Ω. Όμως, σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις είναι tractable.Για παράδειγμα, αν Ω είναι ένας οριοθετημένος κυρτός Lipschitz χώρος με διάμετρο d, τότε η συνεχής Πουανκαρέ είναι το πολύ d/2 για p = 1, d/π για p = 2 (Acosta & Durán 2004; Payne & Weinberger 1960), και αυτή είναι η καλύτερη δυνατή εκτίμηση για τη συνεχή Πουανκαρέ όσον αφορά τη διάμετρο και μόνο. Για τις ομαλές συναρτήσεις, αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως μια εφαρμογή της ισοπεριμετρικής ανισότητας σε επίπεδο συνόλων των συναρτήσεων. Σε μια διάσταση, αυτή είναι η ανισότητα Wirtinger για συναρτήσεις.

Ωστόσο, σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις η σταθερά C μπορεί να προσδιοριστεί συγκεκριμένα. Για παράδειγμα, για p = 2,είναι γνωστό ότι πάνω από το χώρο του ορθογώνιου ισοσκελούς τριγώνου C = 1/π ( < d/π όπου $\scriptstyle{d=\sqrt{2}}$). (Βλέπε, για παράδειγμα, Kikuchi & Liu 2007.)

Παραπομπές

• Acosta, Gabriel; Durán, Ricardo G. (2004), "An optimal Poincaré inequality in L¹ for convex domains", Proc. Amer. Math. Soc. 132 (1): 195–202 (electronic), doi:10.1090/S0002-9939-03-07004-7 
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial differential equations, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 
• Fumio, Kikuchi; Xuefeng, Liu (2007), "Estimation of interpolation error constants for the P0 and P1 triangular finite elements", Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg. 196 (37–40): 3750–3758, doi:10.1016/j.cma.2006.10.029 
• Garroni, Adriana; Müller, Stefan (2005), "Γ-limit of a phase-field model of dislocations", SIAM J. Math. Anal. 36 (6): 1943–1964 (electronic), doi:10.1137/S003614100343768X 
• Payne, L. E.; Weinberger, H. F. (1960), "An optimal Poincaré inequality for convex domains", Archive for Rational Mechanics and Analysis: 286–292, ISSN 0003-9527 

Δείτε επίσης

• Ανρί Πουανκαρέ