Αλγεβρικός χώρος

Στα μαθηματικά, οι αλγεβρικοί χώροι αποτελούν μια γενίκευση των σχημάτων της αλγεβρικής γεωμετρίας, που εισήχθησαν από τον Μίκαελ Άρτιν για χρήση στη θεωρία παραμορφώσεων. Ενστικτωδώς, τα σχήματα δίνονται με τη συγκόλληση μεταξύ αφινικών σχημάτων χρησιμοποιώντας την τοπολογία Ζαρίσκι, ενώ οι αλγεβρικοί χώροι δίνονται με τη συγκόλληση μεταξύ αφινικών σχημάτων χρησιμοποιώντας τη λεπτότερη étale τοπολογία. Εναλλακτικά, μπορεί κανείς να θεωρήσει ότι τα σχήματα είναι τοπικά ισομορφικά με τα αφινικά σχήματα στην τοπολογία Ζαρίσκι, ενώ οι αλγεβρικοί χώροι είναι τοπικά ισομορφικοί με τα αφινικά σχήματα στην étale τοπολογία.

Η προκύπτουσα κατηγορία των αλγεβρικών χώρων επεκτείνει την κατηγορία των σχημάτων και επιτρέπει διάφορες φυσικές κατασκευές που χρησιμοποιούνται στην κατασκευή των χώρων moduli αλλά δεν είναι πάντα δυνατές στην υποκατηγορία των σχημάτων, όπως η λήψη του πηλίκου μιας ελεύθερης δράσης από μια πεπερασμένη ομάδα (βλ. το θεώρημα Κίλ-Μόρι).

Ορισμός

Υπάρχουν δύο συνήθεις τρόποι για να οριστούν οι αλγεβρικοί χώροι: μπορούν να οριστούν είτε ως πηλίκα σχημάτων μέσω των étale σχέσεων ισοδυναμίας, είτε ως κυψέλες σε ένα μεγάλο étale χώρο που είναι τοπικά ισομορφικές με σχήματα. Αυτοί οι δύο ορισμοί είναι ουσιαστικά ισοδύναμοι.

Αλγεβρικοί χώροι ως πηλίκα σχημάτων

Ένας αλγεβρικός χώρος X περιλαμβάνει ένα σχήμα U και ένα κλειστό υποσύστημα R ⊆ U × U που ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο συνθήκες:

1. Το R είναι μια σχέση ισοδυναμίας ως υποσύνολο του U × U

2. Οι προβολές p_i: R → U σε κάθε παράγοντα είναι étale χάρτες.

Ορισμένοι συγγραφείς, όπως ο Κνούτσον, προσθέτουν μια επιπλέον προυπόθεση ότι ένας αλγεβρικός χώρος πρέπει να είναι οιονεί διαχωρισμένος, που σημαίνει ότι ο διαγώνιος χάρτης είναι οιονεί συμπαγής.

Ωστόσο, μπορεί κανείς να υποθέσει ότι τα R και U είναι affine σχήματα. Κάτι τέτοιο σημαίνει ότι η θεωρία των αλγεβρικών χώρων δεν εξαρτάται από την πλήρη θεωρία των σχημάτων και μπορεί πράγματι να χρησιμοποιηθεί ως (γενικότερη) αντικατάσταση αυτής της θεωρίας.

Αν R είναι η τετριμμένη σχέση ισοδυναμίας πάνω σε κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα του U (δηλαδή για όλα τα x, y που ανήκουν στην ίδια συνδεδεμένη συνιστώσα του U, έχουμε xRy αν και μόνο αν x=y), τότε ο αλγεβρικός χώρος θα είναι ένα σχήμα με τη συνήθη έννοια. Εφόσον ένας γενικός αλγεβρικός χώρος X δεν ικανοποιεί αυτή την απαίτηση, επιτρέπει σε μία μόνο συνδεδεμένη συνιστώσα του U να καλύψει τον X με πολλά "φύλλα". Το σύνολο σημείων που υποκρύπτει τον αλγεβρικό χώρο X δίνεται τότε από το |U| / |R| ως σύνολο κλάσεων ισοδυναμίας.

Έστω Y ένας αλγεβρικός χώρος που ορίζεται από μια σχέση ισοδυναμίας S ⊂ V × V. Το σύνολο Hom(Y, X) των μορφισμών αλγεβρικών χώρων ορίζεται τότε από τη συνθήκη ότι κάνει την ακολουθία καθόδου.

$\mathrm {Hom} (Y,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (V,X){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\mathrm {Hom} (S,X)$

ακριβείς (ο ορισμός αυτός έχει ως κίνητρο ένα θεώρημα καθόδου του Γκρότεντιεκ για επιφανειακούς étale χάρτες αφινικών σχημάτων). Με αυτούς τους ορισμούς, οι αλγεβρικοί χώροι σχηματίζουν μια κατηγορία.

Έστω U ένα affine σχήμα πάνω από ένα πεδίο k που ορίζεται από ένα σύστημα πολυωνύμων g(x), x = (x₁, ..., x_n), έστω

$k\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\$

συμβολίζει το δακτύλιο των αλγεβρικών συναρτήσεων στο x πάνω από το k, και έστω X = {R ⊂ U × U} είναι ένας αλγεβρικός χώρος.

Τα κατάλληλα στελέχη Õ_{X, x} στο X ορίζονται τότε ως οι τοπικοί δακτύλιοι των αλγεβρικών συναρτήσεων που ορίζονται από Õ_{U, u}, όπου u ∈ U είναι ένα σημείο που βρίσκεται πάνω από το x και Õ_{U, u} είναι ο τοπικός δακτύλιος που αντιστοιχεί στο u του δακτυλίου

k{x₁, ..., x_n} / (g)

των αλγεβρικών συναρτήσεων στο U.

Ένα σημείο σε έναν αλγεβρικό χώρο λέγεται λείο αν Õ_{X, x} ≅ k{z₁, ..., z_d} για κάποια απροσδιόριστα z₁, ..., z_d. Η διάσταση του X στο x ορίζεται τότε απλώς ως d.

Ένας μορφισμός f: Y → X αλγεβρικών χώρων λέγεται étale στο y ∈ Y (όπου x = f(y)) αν ο επαγόμενος χάρτης στα στελέχη

Õ_{X, x} → Õ_{Y, y}

είναι ισομορφισμός.

Το δομικό δεμάτι O_X στον αλγεβρικό χώρο X ορίζεται συσχετίζοντας τον δακτύλιο των συναρτήσεων O(V) στον V (που ορίζεται από étale χάρτες από τον V στην affine γραμμή A¹ με την έννοια που μόλις ορίστηκε) με κάθε αλγεβρικό χώρο V που είναι étale πάνω στον X.

Αλγεβρικοί χώροι ως δεμάτια

Ένας αλγεβρικός χώρος ${\mathfrak {X}}$ μπορεί να οριστεί ως δεμάτι συνόλων

${\mathfrak {X}}:({\text{Sch}}/S)_{\text{et}}^{op}\to {\text{Sets}}$

έτσι ώστε

1. Υπάρχει επίρριψη etale μορφισμός $h_{X}\to {\mathfrak {X}}$
2. ο διαγώνιος μορφισμός $\Delta _{{\mathfrak {X}}/S}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$ είναι αναπαραστάσιμος.

Η δεύτερη προϋπόθεση είναι ισοδύναμη με την ιδιότητα ότι, δεδομένων των σχημάτων $Y,Z$ και μορφισμών $h_{Y},h_{Z}\to {\mathfrak {X}}$, το ινώδες γινόμενο των δεμάτιων τους

$h_{Y}\times _{\mathfrak {X}}h_{Z}$

μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα σχήμα πάνω στο $S$. Σημειώστε ότι ορισμένοι συγγραφείς, όπως ο Κνούτσον, προσθέτουν μια επιπλέον προϋπόθεση ότι ένας αλγεβρικός χώρος πρέπει να είναι οιονεί διαχωρισμένος, που σημαίνει ότι ο διαγώνιος χάρτης είναι οιονεί συμπαγής.

Αλγεβρικοί χώροι και συστήματα

Οι αλγεβρικοί χώροι είναι παρόμοιοι με τα σχήματα και μεγάλο μέρος της θεωρίας των σχημάτων επεκτείνεται στους αλγεβρικούς χώρους. Παραδείγματος χάριν, οι περισσότερες ιδιότητες των μορφισμών σχημάτων ισχύουν και για τους αλγεβρικούς χώρους, μπορεί κανείς να ορίσει τη συνομολογία των οιονεί συνεκτικών δεμάτιων, η οποία έχει τις συνήθεις ιδιότητες περατότητας για τους κατάλληλους μορφισμούς, και ούτω καθεξής.

• Οι κατάλληλοι αλγεβρικοί χώροι πάνω από ένα πεδίο διάστασης ένα (καμπύλες) είναι σχήματα.
• Οι Μη ιδιάζοντες κατάλληλοι αλγεβρικοί χώροι διάστασης δύο πάνω από ένα πεδίο (λείες επιφάνειες) είναι σχήματα.
• Τα αντικείμενα οιονεί διαχωρισμένων ομάδων στην κατηγορία των αλγεβρικών χώρων πάνω από ένα πεδίο είναι σχήματα, αν και υπάρχουν αντικείμενα μη οιονεί διαχωρισμένων ομάδων που δεν είναι σχήματα.
• Τα αντικείμενα αντιμεταθετικών ομάδων στην κατηγορία των αλγεβρικών χώρων πάνω από ένα αυθαίρετο σχήμα που είναι κατάλληλα, τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης, επίπεδα και συνομολογικά επίπεδα στη διάσταση 0 είναι σχήματα.
• Δεν είναι σχήμα κάθε μοναδιαία αλγεβρική επιφάνεια.
• Το παράδειγμα του Χιρονάκα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει έναν μη ιδιάζων 3-διάστατο κατάλληλο αλγεβρικό χώρο που δεν είναι σχήμα, ο οποίος δίνεται από το πηλίκο ενός σχήματος με μια ομάδα τάξης 2 που δρα ελεύθερα. Αυτό δείχνει μια διαφορά μεταξύ σχημάτων και αλγεβρικών χώρων: το πηλίκο ενός αλγεβρικού χώρου από μια διακριτή ομάδα που ενεργεί ελεύθερα είναι ένας αλγεβρικός χώρος, αλλά το πηλίκο ενός σχήματος από μια διακριτή ομάδα που ενεργεί ελεύθερα δεν χρειάζεται να είναι σχήμα (ακόμη και αν η ομάδα είναι πεπερασμένη).
• Κάθε οιονεί διαχωρισμένος αλγεβρικός χώρος περιέχει ένα πυκνό ανοικτό αφινικό υποσύστημα, και το συμπλήρωμα ενός τέτοιου υποσυστήματος έχει πάντα συνδιάσταση ≥ 1. Έτσι οι αλγεβρικοί χώροι είναι κατά μία έννοια "κοντά" στα affine σχήματα.
• Το πηλίκο των μιγαδικών αριθμών με ένα πλέγμα είναι ένας αλγεβρικός χώρος, αλλά δεν είναι ελλειπτική καμπύλη, παρόλο που ο αντίστοιχος αναλυτικός χώρος είναι ελλειπτική καμπύλη (ή ακριβέστερα είναι η εικόνα μιας ελλειπτικής καμπύλης υπό τον συναρτητή από μιγαδικούς αλγεβρικούς χώρους σε αναλυτικούς χώρους). Στην πραγματικότητα αυτό το πηλίκο αλγεβρικού χώρου δεν είναι σχήμα, δεν είναι πλήρες και δεν είναι καν οιονεί διαχωρισμένο. Αυτό δείχνει ότι αν και το πηλίκο ενός αλγεβρικού χώρου από μια άπειρη διακριτή ομάδα είναι ένας αλγεβρικός χώρος, μπορεί να έχει παράξενες ιδιότητες και μπορεί να μην είναι ο αλγεβρικός χώρος που "περίμενε" κανείς. Παρόμοια παραδείγματα δίνονται από το πηλίκο της μιγαδικής αφινικής γραμμής με τους ακέραιους αριθμούς, ή το πηλίκο της μιγαδικής αφινικής γραμμής μείον την αρχή με τις δυνάμεις κάποιου αριθμού: και πάλι ο αντίστοιχος αναλυτικός χώρος είναι ποικιλία, αλλά ο αλγεβρικός χώρος δεν είναι.

Αλγεβρικοί χώροι και αναλυτικοί χώροι

Οι αλγεβρικοί χώροι πάνω από τους μιγαδικούς αριθμούς σχετίζονται στενά με τους αναλυτικούς χώρους και τις πολλαπλότητες Μόισεζον.

Σε γενικές γραμμές, η διαφορά μεταξύ των μιγαδικών αλγεβρικών χώρων και των αναλυτικών χώρων είναι ότι οι μιγαδικοί αλγεβρικοί χώροι σχηματίζονται με τη συγκόλληση αφινικών κομματιών χρησιμοποιώντας την étale τοπολογία, ενώ οι αναλυτικοί χώροι σχηματίζονται με τη συγκόλληση με την κλασική τοπολογία. Ειδικότερα, υπάρχει ένας συναρτητής από σύνθετους αλγεβρικούς χώρους πεπερασμένου τύπου σε αναλυτικούς χώρους. Οι πολλαπλότητες Χοπφ παρέχουν παραδείγματα αναλυτικών επιφανειών που δεν προέρχονται από έναν ορθό αλγεβρικό χώρο (αν και μπορεί κανείς να κατασκευάσει μη ορθούς και μη διαχωρισμένους αλγεβρικούς χώρους των οποίων ο αναλυτικός χώρος είναι η επιφάνεια Χοπφ). Είναι επίσης δυνατόν διαφορετικοί αλγεβρικοί χώροι να αντιστοιχούν στον ίδιο αναλυτικό χώρο: για παράδειγμα, μια ελλειπτική καμπύλη και το πηλίκο της C από το αντίστοιχο πλέγμα δεν είναι ισόμορφοι ως αλγεβρικοί χώροι, αλλά οι αντίστοιχοι αναλυτικοί χώροι είναι ισόμορφοι.

Ο Αρτίν απέδειξε ότι οι κατάλληλοι αλγεβρικοί χώροι πάνω από τους μιγαδικούς αριθμούς είναι λίγο-πολύ ίδιοι με τους χώρους Μόισεζον.

Γενίκευση

Μια εκτεταμένη γενίκευση των αλγεβρικών χώρων προκύπτει από τις αλγεβρικές στοίβες. Στην κατηγορία των στοιβών μπορούμε να σχηματίσουμε ακόμη περισσότερα πηλίκα με δράσεις ομάδων απ' ό,τι στην κατηγορία των αλγεβρικών χώρων (το πηλίκο που προκύπτει αποκαλείται πηλίκο στοίβας).

Βιβλιογραφία

• Artin, Michael (1969), «The implicit function theorem in algebraic geometry», στο: Abhyankar, Shreeram Shankar, επιμ., Algebraic geometry: papers presented at the Bombay Colloquium, 1968, of Tata Institute of Fundamental Research studies in mathematics, 4, Oxford University Press, σελ. 13–34, https://books.google.com/books/?id=3evuAAAAMAAJ 
• Artin, Michael (1971), Algebraic spaces, Yale Mathematical Monographs, 3, Yale University Press, ISBN 978-0-300-01396-2, https://books.google.com/books/about/Algebraic_spaces.html?id=Gl7vAAAAMAAJ 
• Knutson, Donald (1971), Algebraic spaces, Lecture Notes in Mathematics, 203, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0059750, ISBN 978-3-540-05496-2 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο