Ακολουθίες του Κωσύ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
(Ανακατεύθυνση από Ακολουθίες του Cauchy)
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
(a) The plot of a Cauchy sequence (x_n), shown in blue, as x_n versus n If the space containing the sequence is complete, the "ultimate destination" of this sequence (that is, the limit) exists.
(b) A sequence that is not Cauchy. The elements of the sequence fail to get arbitrarily close to each other as the sequence progresses.

Στα μαθηματικά μια Ακολουθία του Κωσύ (γαλλικά: suite de Cauchy, [koʃi], αγγλικά: Cauchy sequence, /ˈkoʊʃi), που ονομάστηκε έτσι προς τιμή του γάλλου μαθηματικού Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, είναι μια ακολουθία της οποίας τα στοιχεία έχουν όλο και μικρότερη απόσταση όσο η ακολουθία εξελίσσεται[1]. Πιο συγκεκριμένα, δίνεται οποιαδήποτε μικρή θετική απόσταση, σχεδόν ένα πεπερασμένο αριθμό στοιχείων της ακολουθίας είναι μικρότερη από την δεδομένη απόσταση ο ένας από τον άλλο.

Η χρησιμότητα των ακολούθιων Κωσύ (που είναι γνωστές όλες αυτές οι ακολουθίες να συγκλίνουν σε ένα όριο) έγκειται στο γεγονός ότι σ' ένα πλήρες μετρικό χώρο το κριτήριο σύγκλισης εξαρτάται μόνο από τους όρους της ίδιας της ακολουθίας, αντίθετα με τον ορισμό της σύγκλισης που χρησιμοποιεί την οριακή τιμή, καθώς και τους όρους. Συχνά χρησιμοποιούνται σε αλγόριθμους, τόσο θεωρητικα και εφαρμοσμένα,όπου μια επαναληπτική διαδικασία μπορεί να σχετικά εύκολα να παράγει μια ακολουθία Κωσύ , που αποτελείται από τις επαναλήψεις, εκπληρώνοντας έτσι μια λογική κατάσταση, όπως τερματισμός.

Οι παραπάνω έννοιες δεν είναι τόσο άγνωστες όσο φαίνονται αρχικά. Η συνήθης αποδοχή του γεγονότος ότι κάθε πραγματικός αριθμός x έχει μια δεκαδική επέκταση αποτελεί έμμεση παραδοχή ότι μια συγκεκριμένη ακολουθία Κωσύ ρητών αριθμών (οι όροι της οποίας είναι οι διαδοχικές αποκοπές δεκαδικής επέκτασης του x) έχει ένα πραγματικό όριο x.Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να είναι δύσκολο να περιγραφεί ο x ανεξάρτητα από το ότι μια τέτοια περιορισμένη διαδικασία περιλαμβάνει ρητούς αριθμούς.

Γενικεύσεις των ακολουθιών Κωσύ σε πιο αφηρημένους ενιαίους χώρους υπάρχουν με τη μορφή των φίλτρων Κωσύ και δικτύων Κωσύ .

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στους πραγματικούς αριθμούς:[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία πραγματική ακολουθία (x_n)_{n\in\N} είναι Κωσύ ανν (αν και μόνο αν) για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει |x_n - x_m|<\varepsilon.

όπου οι κατακόρυφες ράβδοι υποδηλώνουν την απόλυτη τιμή. Με παρόμοιο τρόπο μπορεί κανείς να ορίσει ακολουθίες Κωσύ των ρητών ή μιγαδικών αριθμών. Ο Κωσύ διατύπωσε μια τέτοια κατάσταση απαιτώντας x_m - x_n να είναι απειροελάχιστη για κάθε ζεύγος άπειρων m, n.

Σε μετρικό χώρο:[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία ακολουθία (x_n)_{n\in\N} ορισμένη στον μετρικό χώρο (Μ, d) είναι ακολουθία Κωσύ ανν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει d(x_n, x_m)<\varepsilon.

Σε γενικές γραμμές, οι όροι της ακολουθίας έρχονται όλο και πιο κοντά μεταξύ τους με τρόπο που να δείχνει ότι η ακολουθία θα έπρεπε να έχει όριο στο Μ. Παρ 'όλα αυτά, το εν λόγω όριο δεν υπάρχει πάντα.

Πληρότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι ακολουθίες Κωσύ δεν είναι αναγκαστικά συγκλίνουσες. Ένας μετρικός χώρος στον οποίο κάθε ακολουθία Κωσύ είναι και συγκλίνουσα ονομάζεται πλήρης.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι πραγματικοί αριθμοί είναι πλήρης σύμφωνα με το μετρικό που επάγεται από τη συνήθη απόλυτη τιμή, και μία από τις τυποποιημένες κατασκευές των πραγματικών αριθμών περιλαμβάνει ακολουθίες Κωσύ ρητών αριθμών.

Ένα μάλλον διαφορετικό τύπο παραδείγματος παρέχεται από ένα μετρικό χώρο ο οποίος έχει την διακριτή μετρική (όπου οποιαδήποτε δύο διακριτά σημεία βρίσκονται σε απόσταση 1 από το άλλο). Κάθε ακολουθία Κωσύ των στοιχείων του πρέπει να είναι σταθερή πέρα από κάποιο σταθερό σημείο, και συγκλίνει στον ενδεχόμενο επανάληπτικό όρο.

Αντι-παράδειγμα: ρητών αριθμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ρητοί αριθμοί Q δεν είναι πλήρης (για τη συνήθη απόσταση): Υπάρχουν ακολουθίες ρητών που συγκλίνουν (in R) σε άρρητους αριθμούς. Αυτες είναι Κωσύ ακολουθίες που δεν έχουν κανένα όριο στο Q. Στην πραγματικότητα, εάν ένας πραγματικός αριθμός x είναι άρρητος, τότε η ακολουθία (x_n), της οποίας, ο νιοστός όρος είναι η περικοπή στις θέσεις n ψηφίων της δεκαδικής επέκτασης του x δίνει μια ακολουθία Κωσύ ρητών αριθμών με άρρητο όριο x. Οι άρρητοι αριθμοί σίγουρα υπάρχουν, για παράδειγμα:

  • Η ακολουθία που ορίζεται από:x_0=1, x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{2}{x_n}}{2} αποτελείται από ρητούς αριθμούς (1, 3/2, 17/12,...) η οποία προκύπτει από τον ορισμό. Ωστόσο, συγκλίνει στην άρρητη τετραγωνική ρίζα του δύο, (δείτε Βαβυλωνιακή μέθοδος υπολογισμού τετραγωνικής ρίζας).
  • Η ακολουθία x_n = F_n / F_{n-1}\, των διαδοχικών αναλογιών αριθμοί Fibonacci οι οποίοι,αν δεν συγκλιίνει ή συγκλίνει σε ένα όριο \phi ικανοποιώντας \phi^2 = \phi+1,και κανένας ρητός αριθμός δεν έχει αυτή την ιδιότητα. Αν κάποιος θεωρεί ότι αυτό ως μια ακολουθία πραγματικών αριθμών, που ωστόσο, συγκλίνει προς τον πραγματικό αριθμό \varphi = (1+\sqrt5)/2, την Χρυσή Τομή, η οποία είναι παράλογη.
  • Οι τιμές της εκθετικής, του ημιτόνου και του συνημιτόνου συναρτήσεις, exp(x), sin(x), cos(x), είναι γνωστές ως μη λογικές για κάθε λογική τιμή του x≠0, αλλά κάθε μία μπορεί να οριστεί ως το όριο μιας ορθολογικής ακολουθίας Κωσύ , χρησιμοποιώντας, για παράδειγμα, οι σειρές Maclaurin .

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρούμε την ακολουθία x_n=F_{n+1}/F_n στον, όπου F_n, n=1,2,.. οι αριθμοί Φιμπονάτσι. Οι όροι της ακολουθίας x_n είναι ρητοί αριθμοί. Στον χώρο των πραγματικών αριθμών η ακολουθία αυτή συγκλίνει στη χρυσή τομή \phi = (1+\sqrt5)/2. Στον χώρο των ρητών αριθμών η ακολουθία αυτή δε συγκλίνει, αφού το φ είναι άρρητος, είναι όμως Κωσύ.

Αντιπαράδειγμα: ανοικτό σύνολο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το ανοικτό σύνολοX=(0, 2) του συνόλου των πραγματικών αριθμών με μία συνήθη απόσταση στο R δεν είναι πλήρης χώρος: υπάρχει μία ακολουθία x_n=1/n σε αυτό, η οποία είαναι Κωσύ (για αυθαίρετα μικρή απόσταση δεσμευμένο d>0 όλοι οι όροι x_n of n > 1/d ταιριάζουν στο (0, d) ανοικτό), ωστόσο δε συγκλίνουν στο X— 'όριο', του αριθμού 0, δεν ανήκει στον χώρο X.

Άλλες Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία(με όριο s, λέμε) ότι είναι ακολουθία Κωσύ , αν , για κάθε δεδομένο πραγματικό αριθμό ε > 0, πέρα από κάποιο σταθερό σημείο,κάθε όρος της ακολουθίας βρίσκεται σε κοντινή απόσταση μεταξύ του ε/2 και του s, έτσι ώστε οποιηδήποτε δύο όροι της ακολουθίας βρίσκονται σε κοντινή απόσταση ε μεταξύ τους.
  • Κάθε Κωσύ ακολουθία πραγματικών(ή μιγαδικών) αριθμών είναι φραγμένη (από μερικούς N, όλοι οι όροι της ακολουθίας από τον N-οστό απέχουν απόσταση ίση με 1 ο ένας από τον άλλλο,και αν το Mη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή των όρων συμπεριλαμβανομένου και του N-οστού, τότε κανένας όρος της ακολουθίας δεν έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τον M+1).
  • Σε ένα μετρικό χώρο, μία Κωσύ ακολουθία η οποία συγκλίνει σε μία υπακολουθία με όριο s είναι η ίδια η συγκλίνουσα (με το ίδιο όριο), δεδομένου ότι κάθε πραγματικός αριθμός r > 0,πέρα κάποιο σταθερό σημείο στην αρχική ακολουθία, κάθε όρος της υπακολουθίας βρίσκεται σε κοντινή απόσταση r/2 από το s, και κάθε δύο όρων της αρχικής ακολουθίας βρίσκονται σε κοντινή απόσταση r/2 ο ένας από τον άλλο, έτσι κάθε όρος της αρχικής ακολουθίας βρίσκεται σε κοντινή απόσταση r από το s.

Αυτές οι δύο τελευταίες ιδιότητες, μαζί με ένα λήμμα που χρησιμοποιούνται για την απόδειξη του Θεωρήματος Bolzano–Weierstrass , να δώσει μία τυπική απόδειξη της πληρότητας των πραγματικών αριθμών, στενά συνδεδεμένη τόσο με το θεώρημα Bolzano-Weierstrass και το Θεώρημα Heine–Borel. Το εν λόγω λήμμα δηλώνει ότι κάθε φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών έχει μία συγκλίνουσα υπακολουθία. Δεδομένου του γεγονότος αυτού, κάθε Κωσύ ακολουθία πραγματικών αριθμών έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία, και ως εκ τούτου, είναι η ίδια η συγκλίνουσα. Θα πρέπει να σημειωθεί, ωστόσο, ότι αυτή η απόδειξη της πληρότητας των πραγματικών αριθμών καθιστά εμμέσως απαραίτητη τη χρήση του αξιώματος του ελαχίστου άνω φράγματος. Η εναλλακτική προσέγγιση, που αναφέρθηκε παραπάνω, της κατασκευής δηλαδή των πραγματικών αριθμών ως την πληρότητα των ρητών αριθμών, καθιστά την πληρότητα των πραγματικών αριθμών ταυτολογία.

One of the standard illustrations of the advantage of being able to work with Κωσύ sequences and make use of completeness is provided by consideration of the summation of an άπειρες σειρές of real numbers (or, more generally, of elements of any complete νορμικού γραμμικού χώρου, or Χώρου Banach ). Such a series  \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} is considered to be convergent if and only if the sequence of μερικό άθροισμαs (s_{m}) is convergent, where  s_{m} = \sum_{n=1}^{m} x_{n}. It is a routine matter to determine whether the sequence of partial sums is Κωσύ or not, since for positive integers p > q,

 s_{p} - s_{q} = \sum_{n=q+1}^{p} x_{n}.

If f \colon M \rightarrow N is a uniformly continuous map between the metric spaces M and N and (xn) is a Κωσύ sequence in M, then (f(x_n)) is a Κωσύ sequence in N. If (x_n) and (y_n) are two Κωσύ sequences in the rational, real or complex numbers, then the sum (x_n + y_n) and the product (x_n y_n) are also Κωσύ sequences.

Γενικεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε τοπολογικούς Διανυσματικούς Χώρους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει επίσης μια έννοια της ακολουθίας Κωσύ για ένα τοπολογικό διανυσματικό χώρο X: διαλέγωντας μια βάση B για τον X κοντά στο 0, τότε (x_k) είναι ακολουθία Κωσύ αν για κάθε V \in B υπάρχει N τ.ω. οποτεδήποτε n,m>N, x_n-x_m είναι στοιχείο του V.

Σε τοπολογικές ομάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεδομένου ότι o ορισμός τοπολογικού διανυσματικού χώρου ως προς μια Κωσύ ακολουθία απαιτεί μόνο να υπάρχει μια συνεχής λειτουργία «αφαίρεσης», μπορεί κάλλιστα να αναφέρεται στο πλαίσιο μιας τοπολογικής ομάδας: Μια ακολουθία (x_k) σε μια τοπολογική ομάδα G είναι μια ακολουθία Κωσύ αν για κάθε ανοικτή περιοχή U της ταυτοτικής στο G υπάρχει κάποιος αριθμός N τέτοιος ώστε κάθε φορά m,n>Nέπεται ότι x_nx_m^{-1} \in U.

Σε ομάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει επίσης μια έννοια της Κωσύ ακολουθίας σε μια ομάδα G: Έστω H=(H_r) είναι μια φθίνουσα ακολουθία κανονικών υποομάδων της G με πεπερασμένο δείκτη. Στη συνέχεια, μια ακολουθία (x_n) στη G λέγεται ότι είναι Κωσύ αν και μόνο αν για κάθε r υπάρχει N τέτοιο ώστε \forall m, n> N, x_n x_m ^ {- 1} \in H_r.


Γενικεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

There is also a concept of Κωσύ sequence for a topological vector space X: Pick a local base B for X about 0; then (x_k) is a Κωσύ sequence if for each member V\in B, there is some number N such that whenever n,m > N, 
x_n - x_m is an element of V. If the topology of X is compatible with a translation-invariant metric d, the two definitions agree.

Σε τοπολογικές ομάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Since the topological vector space definition of Κωσύ sequence requires only that there be a continuous "subtraction" operation, it can just as well be stated in the context of a topological group: A sequence (x_k) in a topological group G is a Κωσύ sequence if for every open neighbourhood U of the identity in G there exists some number N such that whenever  m,n>N it follows that x_n x_m^{-1} \in U. As above, it is sufficient to check this for the neighbourhoods in any local base of the identity in G.

As in the construction of the completion of a metric space, one can furthermore define the binary relation on Κωσύ sequences in G that (x_k) and (y_k) are equivalent if for every open neighbourhood U of the identity in G there exists some number N such that whenever  m,n>N it follows that x_n y_m^{-1} \in U. This relation is an equivalence relation: It is reflexive since the sequences are Κωσύ sequences. It is symmetric since y_n x_m^{-1} = (x_m y_n^{-1})^{-1} \in U^{-1} which by continuity of the inverse is another open neighbourhood of the identity. It is transitive since x_n z_l^{-1} = x_n y_m^{-1} y_m z_l^{-1} \in U' U'' where U' and U'' are open neighbourhoods of the identity such that U'U'' \subseteq U; such pairs exist by the continuity of the group operation.

Σε ομάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

There is also a concept of Κωσύ sequence in a group G: Let H=(H_r) be a decreasing sequence of normal subgroups of G of finite index. Then a sequence (x_n) in G is said to be Κωσύ (w.r.t. H) if and only if for any r there is N such that \forall m,n > N, x_n x_m^{-1} \in H_r.

Technically, this is the same thing as a topological group Κωσύ sequence for a particular choice of topology on G, namely that for which H is a local base.

The set C of such Κωσύ sequences forms a group (for the componentwise product), and the set C_0 of null sequences (s.th. \forall r, \exists N, \forall n > N, x_n \in H_r) is a normal subgroup of C. The factor group C/C_0 is called the completion of G with respect to H.

One can then show that this completion is isomorphic to the inverse limit of the sequence (G/H_r).

An example of this construction, familiar in number theory and algebraic geometry is the construction of the p-adic completion of the integers with respect to a prime p. In this case, G is the integers under addition, and Hr is the additive subgroup consisting of integer multiples of pr.

If H is a cofinal sequence (i.e., any normal subgroup of finite index contains some H_r), then this completion is canonical in the sense that it is isomorphic to the inverse limit of (G/H)_H, where H varies over all normal subgroups of finite index. For further details, see ch. I.10 in Lang's "Algebra".

Στα εποικοδομητικά μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

In constructive mathematics, Κωσύ sequences often must be given with a modulus of Κωσύ convergence to be useful. If (x_1, x_2, x_3, ...) is a Κωσύ sequence in the set X, then a modulus of Κωσύ convergence for the sequence is a function \alpha from the set of natural numbers to itself, such that \forall k \forall m, n > \alpha(k), |x_m - x_n| < 1/k.

Clearly, any sequence with a modulus of Κωσύ convergence is a Κωσύ sequence. The converse (that every Κωσύ sequence has a modulus) follows from the well-ordering property of the natural numbers (let \alpha(k) be the smallest possible N in the definition of Κωσύ sequence, taking r to be 1/k). However, this well-ordering property does not hold in constructive mathematics (it is equivalent to the principle of excluded middle). On the other hand, this converse also follows (directly) from the principle of dependent choice (in fact, it will follow from the weaker AC00), which is generally accepted by constructive mathematicians. Thus, moduli of Κωσύ convergence are needed directly only by constructive mathematicians who (like Fred Richman) do not wish to use any form of choice.

That said, using a modulus of Κωσύ convergence can simplify both definitions and theorems in constructive analysis. Perhaps even more useful are regular Κωσύ sequences, sequences with a given modulus of Κωσύ convergence (usually \alpha(k) = k or \alpha(k) = 2^k). Any Κωσύ sequence with a modulus of Κωσύ convergence is equivalent (in the sense used to form the completion of a metric space) to a regular Κωσύ sequence; this can be proved without using any form of the axiom of choice. Regular Κωσύ sequences were used by Errett Bishop in his Foundations of Constructive Analysis, but they have also been used by Douglas Bridges in a non-constructive textbook (ISBN 978-0-387-98239-7). However, Bridges also works on mathematical constructivism; the concept has not spread far outside of that milieu.

Σε ένα υπερπραγματικό συνεχές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία πραγματική ακολουθία \langle u_n: n\in \mathbb{N} \rangle έχει μία φυσική υπερπραγματική επέκταση, ορισμένη για υπερπραγματικες τιμές H του δείκτη n εκτός από τη συνήθη φυσική n. Η ακολουθία του Κωσύ αν και μόνον αν για κάθε άπειρη H και K, τις τιμές και είναι απείρως κοντά, δηλαδή για κάθε άπειρο H and K, οι τιμές u_H και u_K είναι απείρως κοντά.

\, \mathrm{st}(u_H-u_K)= 0

όπου "st" είναι η συνήθης μερική συνάρτηση.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]