Ακολουθίες του Cauchy

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Ακολουθίες του Cauchy ονομάζονται οι ακολουθίες των οποίων οι όροι έχουν όλο και μικρότερη απόσταση όσο η ακολουθία εξελίσσεται. Ονομάστηκαν προς τιμή του γάλλου μαθηματικού Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ (Augustin-Louis Cauchy).

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία πραγματική ακολουθία (x_n)_{n\in\N} είναι Κωσύ ανν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει |x_n - x_m|<\varepsilon.

Μία ακολουθία (x_n)_{n\in\N} ορισμένη στον μετρικό χώρο (Μ, d) είναι ακολουθία Κωσύ ανν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει d(x_n, x_m)<\varepsilon.

Οι ακολουθίες Κωσύ δεν είναι αναγκαστικά συγκλίνουσες. Ένας μετρικός χώρος στον οποίο κάθε ακολουθία Κωσύ είναι και συγκλίνουσα ονομάζεται πλήρης.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρούμε την ακολουθία x_n=F_{n+1}/F_n στον, όπου F_n, n=1,2,.. οι αριθμοί Φιμπονάτσι. Οι όροι της ακολουθίας x_n είναι ρητοί αριθμοί. Στον χώρο των πραγματικών αριθμών η ακολουθία αυτή συγκλίνει στη χρυσή τομή \phi = (1+\sqrt5)/2. Στον χώρο των ρητών αριθμών η ακολουθία αυτή δε συγκλίνει, αφού το φ είναι άρρητος, είναι όμως Κωσύ.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]