Στα μαθηματικά, η ανισότητα Νέσμπιττ αφορά οποιουσδήποτε τρεις θετικούς πραγματικούς αριθμούς και λέει ότι[1][2]:117-118[3]:84[4]
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν .
Αποδείξεις
Η ανισότητα αυτή είναι γνωστή για τους πολλούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να αποδειχθεί.[5][6]:21
Με ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου
Θεωρούμε , και . Τότε, έχουμε ότι
- , , και .
Επομένως, η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως εξής:
Αναδιατάσσοντας τους όρους, έχουμε την ισοδύναμη ανισότητα
η οποία είναι ισοδύναμη με την
Η ανισότητα αυτή προκύπτει από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για όρους,
- .
Επίσης, προκύπτει και την σχετικά πιο απλή ειδική περίπτωση της ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για όρους
- για οποιοδήποτε .
Και από τις δύο αυτές ανισότητες λαμβάνουμε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν , που είναι ισοδύναμο με .
Με ανισότητα Τζένσεν
Έστω το άθροισμα των τριών αριθμών. Τότε η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως
Θεωρούμε την συνάρτηση ,
Η είναι κυρτή στο διάστημα καθώς
- και για κάθε .
Επομένως, εφαρμόζοντας την ανισότητα Τζένσεν για την και τους
η οποία είναι ισοδύναμη με
Από την ανισότητα Τζένσεν, προκύπτει η ισότητα αν και μόνο αν .
Με ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς
Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής μορφή της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς,
Επιστρέφοντας στην ανισότητα Νέσμπιττ, προσθέτουμε και στα δύο μέλη της ανισότητας, λαμβάνοντας την ισοδύναμη
Παραγοντοποιώντας το αριστερό μέλος, λαμβάνουμε
που είναι επίσης ισοδύναμη με
|
|
(1)
|
Θέτοντας , , και , , στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, αποδεικνύουμε αυτή την ανισότητα.
Με ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου
Στην προηγούμενη απόδειξη μπορούμε να αποδείξουμε την (1 χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου για τους αριθμούς , και . Συγκεκριμένα, λαμβάνουμε
Αναδιατάσσοντας τους όρους, καθώς είναι θετικοί, λαμβάνουμε
η οποία είναι ισοδύναμη της ανισότητας Νέσμπιττ.
Με ανισότητα της αναδιάταξης
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, αφού η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς τα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι , και επομένως έχουμε ότι και ότι
Επομένως από την ανισότητα της αναδιάταξης έχουμε ότι
και
Αθροίζοντας της δύο ανισότητες, λαμβάνουμε
Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ανισότητα Νέσμπιττ.
Ιστορία
Η ανισότητα αυτή πήρε το όνομα της από τον Μ. Α. Νέσμπιττ που τη δημοσίευσε ως πρόβλημα στο περιοδικό Educational Times το 1902.[1]
Η ανισότητα Νέσμπιττ είναι μία ειδική περίπτωση της ανισότητας Σαπίρο, η οποία μελετάει κάτω φράγματα για το εξής κυκλικό άθροισμα αριθμών [7]:440-443
Παραπομπές
- ↑ 1,0 1,1 Nesbitt, A. M. (1902). «Problem 15114». Educational Times 55. https://archive.org/details/educationaltimes55educ/page/232/mode/2up.
- ↑ Venkatachala, B. J. (2018). Inequalities : an approach through problems (Second έκδοση). Singapore. ISBN 9789811087325.
- ↑ Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge, UK. ISBN 9780511817106.
- ↑ Στεργίου,, Χ.· Σκομπρης, Ν. (2005). Αλγεβρικές Ανισότητες. Σαββάλας. ISBN 9789604235582.
- ↑ Ψύχας, Βαγγέλης. «Ανισότητες Ι: Βασικές Ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.
- ↑ Στεργίου, Μπάμπης. «Μαθηματικοί Διαγωνισμοί: Εισαγωγή στις ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.
- ↑ Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). Classical and new inequalities in analysis. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7.