Κοπούλα (θεωρία πιθανοτήτων)

Στην θεωρία των πιθανοτήτων και στατιστική, ένα επίπεδο είναι μια πολυμεταβλητή κατανομή πιθανότητας για την οποία η οριακή πιθανότητα κατανομής ειναι ομοιόμορφη.Copulas χρησιμοποιείται για να περιγράψει την εξάρτηση μεταξύ τυχαίων μεταβλητών.Το όνομα του προέρχεται απο το λατινικό 'link' ή ΄tie' αλλά είναι άσχετο με τη γραμματική copulas στη γλωσσολογία.

Το θεώρημα του Sklar ορίζει ότι κάθε πολυμεταβλητή κοινής διανομής μπορεί να γραφεί σε όρους μονοδιάστατης οριακής κατανομής λειτουργιών και ένα copula το οποίο περιγράφει τη δομή εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών.

Copulas είναι δημοφιλής στην υψηλές διαστατικές στατιστικές εφαρμογές καθώς επιτρέπουν την εύκολη μοντελοποιήση και εκτίμηση της κατανομής των τυχαίων διανυσμάτων με εκτίμηση περιθωριακή και copula ξεχωριστά.Υπάρχουν πολλές παραμετρικές οικογένειες copula διαθέσιμες,οι οποίες έχουν συνήθως παραμέτρους που ελέγχουν τη δύναμη εξάρτησης.Μερικές δημοφιλείς copula περιγράφονται παρακάτω.

Μαθηματικός Ορισμός

Θεωρούμε ένα τυχαίο διάνυσμα$(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$.  Ας υποθέσουμε ότι οι περιθωριακοί είναι συνεχής,δηλαδή το οριακό CDFs $F_{i}(x)=\mathbb {P} [X_{i}\leq x]$ είναι συνεχής συνάρτηση.Εφαρμόζοντας την πιθανότητα για την μετατροπή του κάθε στοιχείου,το τυχαίο διάνυσμα

$(U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})=\left(F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}),\dots ,F_{d}(X_{d})\right)$

έχει ομοιόμορφα κατανεμημένα περιθωριακοί.

Το επίπεδο της $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$ ορίζεται ως η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής της $(U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})$:

$C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\mathbb {P} [U_{1}\leq u_{1},U_{2}\leq u_{2},\dots ,U_{d}\leq u_{d}].$

Το επίπεδο C περιέχει όλες τις πληροφορίες σχετικά με τη δομή εξάρτησης μεταξύ των εξαρτημάτων του $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$ , ενώ το οριακό αθροιστικές συναρτήσεις κατανομής $F_{i}$ περιέχει όλες τις πληροφορίες σχετικά με τις περιθωριακές κατανομές.

Η σημασία των παραπάνω  είναι ότι η αντιστροφή αυτων των βημάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή ψευδοτυχαίων δειγμάτων από γενικές κατηγορίες πολυμεταβλητών κατανομής πιθανοτήτων.Δηλαδή,δωθείσας μιας διαδικασίας για τη δημιουργία δείγματος $(U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})$  από το επίπεδο διανομής,το απαιτούμενο δείγμα μπορεί να κατασκευαστεί ως

$(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})=\left(F_{1}^{-1}(U_{1}),F_{2}^{-1}(U_{2}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d})\right).$

Οι αντίστροφες $F_{i}^{-1}$  είναι μη προβληματικές καθώς η$F_{i}$ θεωρήθηκε ότι είναι συνεχής.Ο παραπάνω τύπος για το επίπεδο λειτουργίας μπορεί να ξαναγραφεί έτσι ώστε να ανταποκρίνεται σε αυτό,όπως:

$C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\mathbb {P} [X_{1}\leq F_{1}^{-1}(u_{1}),X_{2}\leq F_{2}^{-1}(u_{2}),\dots ,X_{d}\leq F_{d}^{-1}(u_{d})].$

Ορισμός

Στην πιθανοτική όρους, $C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]$ είναι ένα d-διάστατο επίπεδο αν C είναι μια κοινή αθροιστική συνάρτηση κατανομής μιας d-διάστατο τυχαίο διάνυσμα του μοναδιαίου κύβου $[0,1]^{d}$ με στολή περιθωριακοί.

Στην αναλυτική άποψη, $C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]$ είναι ένα d-διάστατο επίπεδο αν

• $C(u_{1},\dots ,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots ,u_{d})=0$ το επίπεδο είναι μηδέν, εάν ένα από τα ορίσματα είναι μηδέν,
• $C(1,\dots ,1,u,1,\dots ,1)=u$το επίπεδο είναι ίση με u αν ένα όρισμα είναι το u και όλους τους άλλους 1,
• C είναι d-μη φθίνουσα, δηλαδή, για κάθε hyperrectangle $B=\prod _{i=1}^{d}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{d}$ το Γ-ο όγκος του B είναι μη αρνητικός:

  $\int _{B}dC(u)=\sum _{\mathbf {z} \in \times _{i=1}^{d}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0,$

πού την $N(\mathbf {z} )=\#\{k:z_{k}=x_{k}\}$.