Παράδοξο της φιλίας

Το παράδοξο της φιλίας είναι ένα φαινόμενο που πρωτα παρατηρήθηκε από τον κοινωνιολόγο Scott L. Feld το 1991, και σύμφωνα με το οποίο οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν λιγότερους φίλους από ότι οι φίλοι τους, κατά μέσο όρο. Μπορεί να εξηγηθεί ως μια μορφή δειγματοληπτικού θορύβου, κατά τον οποίο άνθρωποι με μεγαλύτερο αριθμό φίλων έχουν αυξημένη πιθανότητα να βρεθούν φίλοι κάποιου τρίτου ατόμου. Σε αντίθεση με αυτό οι περισσότεροι άνθρωποι πιστεύουν ότι έχουν περισσότερους φίλους από τους φίλους τους.

Η ίδια παρατήρηση μπορεί να εφαρμοστεί πιο γενικά στα κοινωνικά δίκτυα, ορισμένη από διαφορετικές σχέσεις εκτός από τη φιλία: για παράδειγμα, οι συντρόφοι των πρισσότερων ανθρώπων, έχουν (κατά μέσο όρο) περισσότερους συντρόφους από ότι εκείνοι.

Μαθηματική εξήγηση

Παρά την προφανής παράδοξη φύση του, το φαινόμενο είναι αληθινό, και μπορεί να εξηγηθεί σαν συνέπεια των γενικών μαθηματικών ιδιοτήτων των κοινωνικών δυκτίων. Τα μαθηματικά πίσω από αυτό έχουν ευθεία συσχέτιση με την αριθμο-γεομετρική μέση ανισότητα και την ανισότητα Cauchy–Schwarz.

Επίσημα, ο Feld υποθέτει ότι ένα κοινωνικό δίκτυο έχει τη μορφή ενός μη κετευθηνόμενου γράφου G = (V,E), όπου το σύνολο V των κόμβων αντιστοιχεί στους ανθρώπους στο κοινωνικό δίκτυο, και το σύνολο E των ακμών αντιστοιχεί στις φιλικές σχέσεις ανάμεσα στα ζευγάρια των ανθρώπων στο γράφο. Αυτό συνεπάγεται, πως θεωρεί ότι η φιλία είναι συμμετρική σχέση: αν ο X είναι φίλος του Y, τότε ο Y είναι φίλος του X. Ορίζει το μέσο αριθμό των φίλων ενός ατόμου στο κοινωνικό δίκτυο ως τον μέσο όρο των βαθμός των κόμβων στο γράφο. Αυτό σημαίνει πως, αν ένα κόμβος v έχει d(v) ακμές που η μια άκρη τους είναι αυτός (αναπαριστούν ένα άτομο που έχει d(v) φίλους), τότε ο μέσος αριθμός μ των φίλων ενός τυχαίου ατόμου στον γράφο είναι

$\mu ={\frac {\sum _{v\in V}d(v)}{|V|}}={\frac {2|E|}{|V|}}.$

Ο μέσος αριθμός των φίλων που έχει τυπικά ένας φίλος μπορεί να διατυπωθεί διαλέγοντας, με ομοιόμορφή τυχαιότητα, μια ακμή στον γράφο (που αντιστοιχεί σε ένα ζευγάρι φίλων) και την άκρη αυτής της ακμής (ένας από τους δύο φίλους), και ξαναυπολογίζωντας τον βαθμό του συγκεκριμένου άκρου. Αυτό, μαθηματικά είναι

${\frac {\sum _{uv\in E}d(v)^{2}}{2|E|}}=\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{\mu }},$

όπου το ${\sigma }^{2}$ είναι η διακύμανση των βαθμών στο γράφο. Για ένα γράφο που έχει κόμβους με πoικιλία βαθμών (όπως σε ένα τυπικό κοινωνικό δίκτυο), και το μ και το ${\sigma }^{2}$ είναι θετικά, που συνεπάγεται πως ο μέσος βαθμός ενός φίλου είναι αυστηρά μεγαλήτερος από τον μέσο βαθμό ενός τυχαίου κόμβου.

Ένας ακόμα τρόπος να κατανοηθεί πως βγαίνει ο πρώτος τύπος είναι ως εξής. Για κάθε φιλία v-{{{1}}}, ο κόμβος u αναφέρει ότι ο v είναι φίλος του και ο v έχει d(v) φίλους. Υπάρχουν d(v) τέτοιοι φίλοι που το αναφέρουν αυτό. Συνεπώς d(v)*d(v), δηλαδή το τετράγωνο του d(v). Αυτό προσθέτεται σε όλες τις φιλίες στο κοινωνικό δίκτυο και από την πλευρά του u και απο του v, έτσι διαμορφώνετε ο αριθμιτής . Ο παρανομαστής είναι ο αριθμός όλων των φιλιών, που μετράει το σύνολο των ακμών στο δίκτυο δύο φορές (μια απο τήν πλευρά του u και μια από του v).

Μετά την ανάλυση,ο Feld συνεχίζει διατυπώνωντας κάποιες επιπλέον ποιοτικές υποθέσεις για την στατιστική συσχέτιση μεταξύ του αριθμού των φίλων που έχουν δύο φίλοι, βασισμένος σε θεωρίες των κοινωνικών δικτύν όπως η ομοφιλική μίξη, και αναλύει ότι αυτές οι υποθέσεις ισχύουν για τον αριθμό των ανθρώπων των οποίων οι φίλοι έχουν περισσότερους φίλους απ' ότι οι ίδιοι. Βασισμένος σε αυτήν την ανάλυση, συμπεραίνει ότι στα πραγματικά κοινωνικά δίκτυα, οι περισσότεροι άνθρωποι είναι πιθανότερο να έχουν λιγότερους φίλους απ' ότι ο μέσος αριθμός των φίλων των φίλων τους. Ωστόσο, αυτό το συμπέρασμα δεν είναι μαθηματικα σίγουρο, καθώς υπάρχει ένας μη κατευθηνόμενος γραφος (τέτοιος όπως ένας γράφος που διαμορφώνεται από την αφαίρεση μιας ακμής από έναν μεγάλο πλήρη γράφο) που είναι μεν λίγο απίθανο να υπάρχει ως κοινωνικό δίκτυο αλλά στην περίπτωση του οι κόμβοι έχουν ψηλότερο βαθμό από τον μέσο όρο των βαθμών των γειτόνων τους.

Εξήγηση

Οι άνθρωποι με περισσότερους φίλους είναι πιθανότερο να είναι φίλοι σου έτσι κι αλλιώς. Αυτό συμβαίνι επειδή έχουν ψηλότερη ροπή να κάνουν φίλους εξ' ορισμού.Ένα ακόμα παράδειγμα που αφορά το Twitter: Τα άτομα που ακολουθεί κάποιος σχεδόν σίγουρα έχουν περισσότερους ακόλουθους απ' ότι ο ίδιος. Αυτό συμβαίνει επειδή οι άνθρωποι έχουν περισσότερες πιθανότητες να ακολουθούν αυτούς που είναι δημοφιλής απ ότι αυτούς που δεν είναι. Συνεπώς, πάνω από το 98% των χρηστών είναι υποκείμενα του παράδοξου της φιλίας.

Εφαρμογές

Από την ανάληση του παράδοξου της φιλίας, συνεπάγεται ότι οι φίλοι τυχαίων ατόμων έχουν περισσότερες πιθανότητες να έχουν μεγαλύτερο βαθμό, δηλαδή να είναι πιο κεντρικοί. Αυτή η παρατήρηση χρησιμοποείτε για την πρόβλεψη και την καθυστέρηση της εξάπλωσης επιδημιών, χρησιμοποιώντας αυτήν την τυχαία επιλογή, διαλέγουμε ορισμένα άτομα για να μετράμε την μόλυνση, αποφεύγωντας τους πολύπλοκους υπολογισμούς του βαθμού κεντρικότητας όλων των κόμβων ενός δικτύου.
Μια PloS One έρευνα ανακάλυψε ότι αυτοί που είναι στο κέντρο του κοινωνικού τους δικτύου μπορούν να εντοπίσουν μια γρίπη περίπου 2 βδομάδες πριν από τις παραδοσιακές μεθόδους. Ανακάληψαν ότι το να χρησιμοποιούν το παράδοξο της φιλίας για να αναλύσουν την υγεία κεντρικών φίλων είναι "ένας ιδανικός τρόπος να προβλέψουν τα ξεσπάσματα, αφού λεπτομερής πληροφορία δεν υπάρχει στις περισσότερες ομάδες, και το να την δημιουργήσουν θα ήταν μια χρονοβόρα και ακριβή διαδικασία". To “γενικευμένο παράδοξο της φιλίας” αναφέρει ότι το παράδοξο της φιλίας εφαρμόζετε και σε άλλα χαραχτηριστικά. Για παράδειγμα οι φίλοι σας είναι κατά μέσο όρο πιθανότατα πιο πλούσιοι απο εσάς η οι followers στο Twitter έχουν περισσότερους followers από εσάς.

Δείτε επίσης

• Self-evaluation maintenance theory

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Strogatz, Steven (September 17, 2012). «Friends You Can Count On». New York Times. http://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/09/17/friends-you-can-count-on/. Ανακτήθηκε στις 17 January 2013.