Υπόθεση συσχέτισης ζεύγους του Μοντγκόμερι

Ο Χιου Μοντγκόμερι στο Όμπερβολφάχ το 2008

Στα μαθηματικά, η υπόθεση συσχέτισης ζεύγους του Μοντγκόμερι είναι μια εικασία του Χιου Μοντγκόμερι (Hugh Montgomery, 1973) ότι η συσχέτιση ζεύγους μεταξύ ζευγών μηδενικών της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν (κανονικοποιημένη ώστε να έχει μοναδιαία μέση απόσταση) είναι

$1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{\!2},$

η οποία, όπως του επισήμανε ο Φρίμαν Ντάισον, είναι η ίδια με τη συνάρτηση συσχέτισης ζεύγους τυχαίων ερμιτιανών πινάκων.

Υπόθεση

Με την προϋπόθεση ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής.

Έστω $\alpha \leq \beta$ σταθερό, τότε η υπόθεση δηλώνει

$\lim _{T\to \infty }{\frac {\#\{(\gamma ,\gamma '):0<\gamma ,\gamma '\leq T{\text{ and }}2\pi \alpha /\log(T)\leq \gamma -\gamma '\leq 2\pi \beta /\log(T)\}}{{\frac {T}{2\pi }}\log {T}}}=\int \limits _{\alpha }^{\beta }1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}\mathrm {d} u$

και όπου κάθε $\gamma ,\gamma '$ είναι το φανταστικό μέρος των μη τετριμμένων μηδενικών συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν, δηλαδή ${\tfrac {1}{2}}+i\gamma$.

Επεξήγηση

Άτυπα, αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να βρεθεί ένα μηδέν σε ένα πολύ μικρό διάστημα μήκους 2πL/log(T) σε απόσταση 2πu/log(T) από ένα μηδέν 1/2+iT είναι περίπου L φορές η παραπάνω έκφραση. (Ο παράγοντας 2π/log(T) είναι ένας παράγοντας κανονικοποίησης που μπορεί να θεωρηθεί ανεπίσημα ως η μέση απόσταση μεταξύ των μηδενικών με φανταστικό μέρος περίπου T). Ο Άντριου Οντλίζκο (1987) Andrew Odlyzko (1987) έδειξε ότι η εικασία υποστηρίζεται από υπολογισμούς των μηδενικών σε μεγάλη κλίμακα σε υπολογιστή. Η εικασία έχει επεκταθεί σε συσχετίσεις περισσότερων από δύο μηδενικών, καθώς και σε συναρτήσεις ζήτα αυτομορφικών παραστάσεων (Ρούντνικ & Σάρνακ (Rudnick & Sarnak 1996)). Το 1982 ένας μαθητής του Μοντγκόμερι, ο Αλί Ερχάν Οζλούκ, απέδειξε την εικασία της συσχέτισης ζεύγους για ορισμένες από τις συναρτήσεις L του Ντίριχλετ.A.E. Ozluk (1982)

Η σύνδεση με τους τυχαίους μοναδιαίους πίνακες θα μπορούσε να οδηγήσει σε μια απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν (RH). Η εικασία Χίλμπερτ-Πόλια ισχυρίζεται ότι τα μηδενικά της συνάρτησης Ζήτα του Ρίμαν αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές ενός γραμμικού τελεστή και συνεπάγεται την RH. Ορισμένοι πιστεύουν ότι αυτή είναι μια πολλά υποσχόμενη προσέγγιση (Άντριου Οντλίζκο Andrew Odlyzko (1987)).

Ο Μοντγκόμερι μελετούσε τον μετασχηματισμό Φουριέ F(x) της συνάρτησης συσχέτισης ζεύγους και έδειξε (υποθέτοντας την υπόθεση Ρίμαν) ότι ήταν ίση με |x| για |x| < 1. Οι μέθοδοί του δεν ήταν σε θέση να την προσδιορίσουν για |x| ≥ 1, αλλά υπέθεσε ότι ήταν ίση με 1 για αυτά τα x, γεγονός που συνεπάγεται ότι η συνάρτηση συσχέτισης ζεύγους είναι όπως παραπάνω. Παρακινήθηκε επίσης από την ιδέα ότι η υπόθεση Ρίμαν δεν είναι ένας τοίχος από τούβλα, και θα πρέπει να αισθάνεται κανείς ελεύθερος να κάνει ισχυρότερες εικασίες.

Υπόθεση F(α) ή υπόθεση ισχυρής συσχέτισης ζεύγους

Έστω και πάλι ${\tfrac {1}{2}}+i\gamma$ και ${\tfrac {1}{2}}+i\gamma '$ για τα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν. Ο Μοντγκόμερι εισήγαγε τη συνάρτηση

$F(\alpha ):=F_{T}(\alpha )=\left({\frac {T}{2\pi }}\log(T)\right)^{-1}\sum \limits _{0<\gamma ,\gamma '\leq T}T^{i\alpha (\gamma -\gamma ')}w(\gamma -\gamma ')$

για $T>2,\;\alpha \in \mathbb {R}$ και κάποια συνάρτηση βάρους $w(u):={\tfrac {4}{(4+u^{2})}}$.

Οι Μοντγκόμερι και Γκόλντστον απέδειξαν, σύμφωνα με την υπόθεση Ρίμαν, ότι για $|\alpha |\leq 1$ η συνάρτηση αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα

$F(\alpha )=T^{-2|\alpha |}\log(T)(1+{\mathcal {o}}(1))+|\alpha |+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty .$

Η πραγματική γραμμή περιγράφει τη συνάρτηση συσχέτισης δύο σημείων του τυχαίου πίνακα τύπου GUE. Οι μπλε κουκκίδες περιγράφουν τις κανονικοποιημένες αποστάσεις των μη τετριμμένων μηδενικών της συνάρτησης συνάρτησης Ρίμαν, των πρώτων 10⁵ μηδενικών.

Ο Montgomery υπέθεσε, η οποία είναι τώρα γνωστή ως η υπόθεση F(α) ή υπόθεση ισχυρής συσχέτισης ζεύγους, ότι για $|\alpha |>1$ έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση

$F(\alpha )=1+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty$

για $\alpha$ σε ένα περιορισμένο διάστημα.

Αριθμητικός υπολογισμός από τον Οντλίζκο

Στη δεκαετία του 1980, παρακινούμενος από την εικασία του Μοντγκόμερι, ο Οντλίζκο ξεκίνησε μια εντατική αριθμητική μελέτη της στατιστικής των μηδενικών του ζ(s). Επιβεβαίωσε την κατανομή των αποστάσεων μεταξύ των μη τετριμμένων μηδενικών χρησιμοποιώντας λεπτομερείς αριθμητικούς υπολογισμούς και απέδειξε ότι η εικασία του Μοντγκόμερι θα ήταν αληθής και ότι η κατανομή θα συμφωνούσε με την κατανομή των αποστάσεων των ιδιοτιμών των τυχαίων πινάκων GUE χρησιμοποιώντας τον Cray X-MP. Το 1987 ανέφερε τους υπολογισμούς στην εργασία Άντριου Οντλίζκο Andrew Odlyzko (1987).

Για μη τετριμμένα μηδενικά, 1/2 + iγ_n, οι κανονικοποιημένες αποστάσεις ας είναι

$\delta _{n}={\frac {\gamma _{n+1}-\gamma _{n}}{2\pi }}\,{\log {\frac {\gamma _{n}}{2\pi }}}.$

Τότε αναμένουμε τον ακόλουθο τύπο ως όριο για $M,N\to \infty$:

${\frac {1}{M}}\{(n,k)\mid N\leq n\leq N+M,\,k\geq 0,\,\delta _{n}+\delta _{n+1}+\cdots +\delta _{n+k}\in [\alpha ,\beta ]\}\sim \int _{\alpha }^{\beta }\left(1-{\biggl (}{\frac {\sin {\pi u}}{\pi u}}{\biggr )}^{2}\right)du$

Με βάση έναν νέο αλγόριθμο που ανέπτυξαν οι Οντλίζκο και Άρνολντ Σένχαγκε, ο οποίος τους επέτρεψε να υπολογίσουν μια τιμή ζ(1/2 + it) σε μέσο χρόνο t^ε βημάτων, ο Οντλίζκο υπολόγισε εκατομμύρια μηδενικά σε ύψη γύρω στο 10²⁰ και έδωσε κάποιες αποδείξεις για την εικασία GUE.

Το σχήμα περιέχει τα πρώτα 10⁵ μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν. Όσο περισσότερα μηδενικά δειγματοληπτούνται, τόσο περισσότερο η κατανομή τους προσεγγίζει το σχήμα του τυχαίου πίνακα GUE.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (2005).
• Broad, William J. (8 Αυγούστου 2015). «29 U.S. Scientists Praise Iran Nuclear Deal in Letter to Obama». The New York Times. Ανακτήθηκε στις 9 Αυγούστου 2015. 
• Brockman, John (1996). «Chap. 9 The Pattern-Recognizer». Digerati: Encounters with the Cyber Elite. HardWired. ISBN 978-1888869040. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 7 Οκτωβρίου 1999. 
• Borwein, Jonathan; Bradley, David M.; Crandall, Richard (2000). «Computational Strategies for the Riemann Zeta Function». J. Comput. Appl. Math. 121 (1–2): 247–296. doi:10.1016/S0377-0427(00)00336-8. Bibcode: 2000JCoAM.121..247B. http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf. 
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (2002). «Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments». J. Comput. Appl. Math. 142 (2): 435–439. doi:10.1016/S0377-0427(02)00358-8. Bibcode: 2002JCoAM.142..435C. MR 1906742. 
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1997). «Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms». Proc. Amer. Math. Soc. 125 (9): 2543–2550. doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
• Κανονική κατανομή
• Θεωρία πιθανοτήτων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices
• Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Quantum Mesoscopic Phenomena and Mesoscopic Devices in Microelectronics
• Limit Theorems in Probability, Statistics and Number Theory: In Honor of ...
• The Semicircle Law, Free Random Variables and Entropy....
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

• Ozluk, A.E. (1982), Pair Correlation of Zeros of Dirichlet L-functions, Ph. D. Dissertation, Ann Arbor: Univ. of Michigan 
• Katz, Nicholas M.; Sarnak, Peter (1999), «Zeroes of zeta functions and symmetry», Bulletin of the American Mathematical Society, New Series 36 (1): 1–26, doi:10.1090/S0273-0979-99-00766-1, ISSN 0002-9904 
• Montgomery, Hugh L. (1973), «The pair correlation of zeros of the zeta function», Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 181–193 
• Odlyzko, A. M. (1987), «On the distribution of spacings between zeros of the zeta function», Mathematics of Computation 48 (177): 273–308, doi:10.2307/2007890, ISSN 0025-5718 
• Rudnick, Zeév; Sarnak, Peter (1996), «Zeros of principal L-functions and random matrix theory», Duke Mathematical Journal 81 (2): 269–322, doi:10.1215/S0012-7094-96-08115-6, ISSN 0012-7094