Σχέση του Λάιμπνιτς

Τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με βαρύκεντρο $\mathrm {G}$ και ένα τυχόν σημείο $\mathrm {M}$ του επιπέδου.

Στην γεωμετρία, η σχέση του Leibniz αναφέρεται στην σχέση μεταξύ των τετραγώνων των αποστάσεων ενός τυχόντος σημείου $\mathrm {M}$ από τις κορυφές ενός τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ και το βαρύκεντρο $\mathrm {G}$ του τριγώνου. Πιο συγκεκριμένα,

${\begin{aligned}\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}\\&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+{\frac {1}{3}}\cdot (\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {B\Gamma } ^{2}+\mathrm {\Gamma A} ^{2}).\end{aligned}}$

Η σχέση παίρνει το όνομα της από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς.

Αποδείξεις

Απόδειξη με θεώρημα διαμέσων

Έστω $\mathrm {M} _{A}$ το μέσο της $\mathrm {B\Gamma }$. Τότε από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο $\mathrm {BM\Gamma }$ έχουμε ότι

$\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {MM} _{A}^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}$.

Αντίστοιχα από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$,

$\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} _{A}^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}$.

Από το θεώρημα Stewart και χρησιμοποιώντας ότι $\mathrm {AG} ={\tfrac {2}{3}}\mathrm {AM} _{A}$ έχουμε ότι

${\begin{aligned}\mathrm {MA} ^{2}\cdot \mathrm {GM} _{A}+\mathrm {MM} _{A}^{2}\cdot \mathrm {AG} &=\mathrm {AM} _{A}\cdot (\mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {AG} \cdot \mathrm {GM} _{A})\Rightarrow \\{\tfrac {1}{3}}\mathrm {MA} ^{2}+{\tfrac {2}{3}}\mathrm {MM} _{A}^{2}&=\mathrm {MG} ^{2}+{\tfrac {2}{3}}\mathrm {AM} _{A}^{2}.\end{aligned}}$

Τέλος, συνδυάζοντας τις τρεις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνουμε

${\begin{aligned}\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+2\cdot \mathrm {AM} _{A}^{2}-2\cdot \mathrm {MM} _{A}^{2}+2\cdot \mathrm {MM} _{A}^{2}+{\frac {3}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}\\&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}-{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}+{\frac {3}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}\\&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}+\mathrm {B\Gamma } ^{2}.\end{aligned}}$

Απόδειξη με διανύσματα

Θα χρησιμοποιήσουμε διανύσματα για να αποδείξουμε την πρώτη σχέση. Από τις ιδιότητες του βαρυκέντρου έχουμε ότι

${\vec {\mathrm {GA} }}+{\vec {\mathrm {GB} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }}=0$.

Επεκτείνοντας το αριστερό μέλος έχουμε ότι

${\begin{aligned}\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}&=({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {GA} }})^{2}+({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {GB} }})^{2}+({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }})^{2}\\&=3\cdot \mathrm {M\Gamma } ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}+2\cdot \mathrm {MG} \cdot ({\vec {\mathrm {GA} }}+{\vec {\mathrm {GB} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }})\\&=3\cdot \mathrm {M\Gamma } ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}.\end{aligned}}$

Γενικεύσεις

Γενικά, σε ένα διανυσματικό χώρο σε κάθε πολύγωνο με κορυφές τα σημεία $\mathrm {A} _{1},\ldots ,\mathrm {A} _{n}$ και ένα τυχόν σημείο $\mathrm {M}$ του επιπέδου ισχύει ότι

$\mathrm {MA} _{1}^{2}+\ldots +\mathrm {MA} _{n}^{2}=n\cdot \mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {GA} _{1}^{2}+\ldots +\mathrm {GA} _{n}^{2}$,

όπου $\mathrm {G} ={\tfrac {1}{n}}\cdot (\mathrm {A} _{1}+\ldots +\mathrm {A} _{n})$.

Δείτε επίσης

• Πρώτο θεώρημα διαμέσων
• Θεώρημα Stewart