Σπόγγος του Μένγκερ

Εικόνα 1: απεικόνιση του M₄, το σφουγγάρι, μετά από τέσσερις επαναλήψεις της διαδικασίας κατασκευής.

 Στα μαθηματικά, ο σπόγγος του Μένγκερ (επίσης γνωστός ως ο κύβος του Μένγκερ, η καθολική καμπύλη του Μένγκερ,ο Ζιρπίνσκι κύβος, ή το σφουγγάρι Ζιρπίνσκι) είναι ένα καμπυλωτό φράκταλ. Είναι μια τρισδιάστατη γενίκευση του μονοδιάστατου σύνολου Cantor και δισδιάστατου χαλιού Ζιρπίνσκι. Περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Karl Menger το 1926, στο μελέτες για την έννοια της τοπολογικής διάστασης.

Κατασκευή

Εικόνα 3: γλυπτική αναπαράσταση των επαναλήψεων 0 (κάτω) και 3 (πάνω).

1. Ξεκινήστε με ένα κύβο (Εικόνα 2 - το πρώτο από τα αριστερά).
2. Χωρίστε κάθε πλευρά του κύβου σε 9 τετράγωνα, σαν τον Κύβο του Ρούμπικ. Αυτό θα διαιρέσει τον κύβο στο 27 μικρότερους κύβους.
3. Αφαιρέστε το μικρότερο κύβο στη μέση του κάθε προσώπου, και αφαιρέστε το μικρότερο κύβο στο κέντρο του μεγαλύτερου κύβου, αφήνοντας 20 μικρότερους κύβους (Εικόνα 2 - δεύτερος από αριστερά). Αυτό είναι ένα επίπεδο-1 Menger σφουγγάρι (που μοιάζει με ένα Κενό Κύβο).
4. Επαναλάβετε τα βήματα 2 και 3 για κάθε ένα από τα υπόλοιπα μικρότερα κύβους, και να συνεχίσει να επαναλαμβάνεται επ ' άπειρον.

Εικόνα 2: εικόνα της επαναληπτικής κατασκευής της Menger σφουγγάρι μέχρι M₃, η τρίτη επανάληψη.

Menger σφουγγάρι animation μέσω της (4) αναδρομή βήματα.

Ιδιότητες

Αλήθεια προβολή της διατομής του επιπέδου 4 Menger σφουγγάρι μέσω του κέντρου βάρους της και είναι κάθετος σε ένα χώρο διαγώνιο. Σε αυτό το διαδραστικό SVG, οι διατομές είναι αλήθεια-προβολή και κλίμακα.

Το ν στάδιο του σπόγγου του Μένγκερ, Mν, αποτελείται από 20ⁿ μικρότερους κύβους, το καθένα με μήκος πλευράς (1/3)ⁿ. Ο συνολικός όγκος των M,_n είναι έτσι (20/27)ⁿ. Η συνολική επιφάνεια των M,_n , δίνεται από την έκφραση 2(20/9)ⁿ + 4(8/9)ⁿ. Συνεπώς, η κατασκευή του όγκου τείνει στο μηδέν, ενώ η επιφάνεια αυξάνει χωρίς όριο. Ακόμη επιλεγμένη επιφάνεια της κατασκευής θα είναι καλά τρυπημένη όπως η κατασκευή συνεχίζεται, έτσι ώστε το όριο δεν είναι ούτε στερεό ούτε μία επιφάνεια, έχει τοπολογική διάσταση 1 και είναι, κατά συνέπεια, προσδιορίζονται ως καμπύλη.

Κάθε πρόσωπο της κατασκευής γίνεται Sierpinski carpet, και το σημείο τομής των σφουγγαριών με κάθε διαγώνιο του κύβου ή οποιοδήποτε μέσον του πρόσωπα είναι ένα σύνολο Cantor. Η διατομή του το σφουγγάρι μέσα από το κέντρο βάρους και είναι κάθετο σε ένα χώρο diagonal είναι ένα κανονικό εξάγωνο τρύπησε με εξάγραμμα τοποθετημένα σε εξαπλή συμμετρία. Ο αριθμός αυτών των εξαγράμμων, κατά φθίνουσα μέγεθος, δίνεται από ${\displaystyle }$με ${\displaystyle }$.

${\displaystyle }$

MegaMenger

Ένα μοντέλο tetrix προβληθούν μέσα από το κέντρο του Cambridge Επίπεδο-3 MegaMenger στο 2015 Cambridge Science Festival