Ανισότητα Σάμιουελσον

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στην στατιστική, η ανισότητα Σάμιουελσον λέει ότι για κάθε $x_{1},\ldots ,x_{n}$, ισχύει ότι

${\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{i}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}},$

όπου ${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ είναι η δειγματική μέση τιμή και $s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$ είναι η δειγµατική διακύµανση.

Δηλαδή σε μία δειγματοληψία, κάθε ένα από τα δείγματα είναι στο διάστημα ${\big [}{\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}},{\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}{\big ]}$.

Απόδειξη

Η απόδειξη που θα δούμε βασίζεται στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς και ακολουθεί αυτή στην εργασία του Άρνολντ.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα αποδείξουμε την ανισότητα για $i=n$. Θεωρούμε τα διανύσματα $\mathbf {a} =(x_{1},\ldots ,x_{n-1})$ και $\mathbf {b} =(1,\ldots ,1)$. Από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, έχουμε ότι

$|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |\leq \lVert \mathbf {a} \rVert \cdot \lVert \mathbf {b} \rVert .$

Το εσωτερικό τους γινόμενο δίνεται από

$|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |=\left|\sum _{j=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{j})\right|=\left|(n-1){\overline {x}}-(n\cdot {\overline {x}}-x_{n})\right|=\left|x_{n}-{\overline {x}}\right|.$

Το δεξί μέλος της ανισότητας δίνεται από

$\lVert \mathbf {a} \rVert \cdot \lVert \mathbf {b} \rVert ={\sqrt {\sum _{i=1}^{n-1}1^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}}={\sqrt {(n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}}$

Συνδυάζοντας τα δύο μέλη, λαμβάνουμε

$\left|x_{n}-{\overline {x}}\right|\leq {\sqrt {(n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}}$.

Υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη,

$\left|x_{n}-{\overline {x}}\right|^{2}\leq (n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{i})^{2}$,

και προσθέτοντας τον όρο $(n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{n})^{2}$ και στα δύο μέλη,

$n\cdot \left|x_{n}-{\overline {x}}\right|^{2}\leq (n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n}({\overline {x}}-x_{i})^{2}$.

Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι

$\left|x_{n}-{\overline {x}}\right|\leq {\sqrt {{\frac {n-1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}}$

Από τον ορισμό της δειγµατικής διακύµανσης έχουμε ότι

$\left|x_{n}-{\overline {x}}\right|\leq s{\sqrt {n-1}}$.

Σχέση με ανισότητα Τσεμπισιόφ

Η ανισότητα Τσεμπισιόφ μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να δώσει ένα λιγότερο ισχυρό φράγμα για την απόκλιση $|{\overline {x}}-x_{i}|$. Για κάθε τυχαία μεταβλητή $X$ η ανισότητα Τσεμπισιόφ λέει ότι για κάθε $\alpha >0$,

$\Pr \left(\left|X-E[X]\right|\leq \alpha \right)\leq {\frac {\mathrm {Var} (X)}{\alpha ^{2}}}$.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή $X$ για την οποία $\Pr(X=x_{i})={\tfrac {1}{n}}$ για κάθε $1\leq i\leq n$. Τότε ισχύει ότι $E[X]={\overline {x}}$ και $\sigma ^{2}=\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}({\overline {x}}-x_{i})^{2}=s$. Για $\alpha =\sigma ^{2}$ η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει ότι

$\Pr \left(|X-{\overline {x}}|\leq s{\sqrt {n}}\right)>1-{\frac {1}{n}}.$

Επομένως, με πιθανότητα $1-1/n$ (δηλαδή πάντοτε αφού κάθε τιμή έχει πιθανότητα να επιλεγεί $1/n$) ισχύει ότι,

$|X-{\overline {x}}|\leq s{\sqrt {n}},$

που είναι ισοδύναμο ότι για κάθε $1\leq i\leq n$,

$|x_{i}-{\overline {x}}|\leq s{\sqrt {n}}.$

Σε σχέση με την ανισότητα Σάμιουελσον είναι λιγότερο ισχυρό αφού ${\sqrt {n}}\geq {\sqrt {n-1}}$, αλλά η ανισότητα μπορεί να δώσει φράγματα για κάποιο δοθέν ποσοστό των δειγμάτων.

Γενικεύσεις

Διάφορες γενικεύσεις της ανισότητας Σάμιουελσον έχουν μελετηθεί.

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Τσεμπισιόφ