Δακτύλιος Γκόρενσταϊν

Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, ένας τοπικός δακτύλιος Γκόρενσταϊν είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος R με πεπερασμένη αμφιμονότιμη διάσταση ως R-module. Υπάρχουν πολλές ισοδύναμες συνθήκες, μερικές από τις οποίες παρατίθενται παρακάτω, που συχνά λένε ότι ένας δακτύλιος Γκόρενσταϊν είναι αυτοδυϊκος με κάποια έννοια.

Οι δακτύλιοι Γκόρενσταϊν εισήχθησαν από τον Γκροτένιεκ στο σεμινάριό του το 1961 (δημοσιευμένο στο (Hartshorne 1967)). Το όνομα προέρχεται από μια ιδιότητα δυαδικότητας των μοναδιαίων επίπεδων καμπυλών που μελετήθηκε από τον Γκόρενσταϊν (1952) (ο οποίος αρέσκονταν να ισχυρίζεται ότι δεν καταλάβαινε τον ορισμό ενός δακτυλίου Γκόρενσταϊν. Η περίπτωση των δακτυλίων μηδενικών διαστάσεων είχε μελετηθεί από τον Μακόλεϊ (1934). Οι Σερ (1961) και Μπας (1963) δημοσιοποίησαν την έννοια των δακτυλίων Γκορενστάιν.

Οι δακτύλιοι Φρομπένιους είναι μη αντιμεταθετικά ανάλογα των μηδενικών διαστάσεων δακτυλίων Γκόρενσταϊν. Τα σχήματα Γκόρενσταϊν είναι η γεωμετρική εκδοχή των δακτυλίων Γκόρενσταϊν.

Για τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους, υπάρχει η ακόλουθη αλυσίδα εγκλεισμάτων:

   Καθολικά Αλυσοειδής δακτύλιος ⊃ δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ ⊃ δακτύλιοι Γκόρενσταϊν ⊃ πλήρεις δακτύλιοι διατομής ⊃ κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι

Ορισμοί

Ο δακτύλιος Γκόρενσταϊν είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός δακτύλιος τέτοιος ώστε κάθε εντοπισμός σε ένα πρώτο ιδεώδες να είναι ένας τοπικός δακτύλιος Γκόρενσταϊν, όπως ορίζεται παρακάτω. Ένας δακτύλιος Γκόρενσταϊν είναι ειδικότερα Κοεν-Μακόλεϊ.

Ένας στοιχειώδης χαρακτηρισμός είναι ο εξής: ένας τοπικός δακτύλιος Ναιτεριανός R μηδενικής διάστασης (ισοδύναμα, με R πεπερασμένου μήκους ως R-module) είναι Γκόρενσταϊν αν και μόνο αν ο Hom_R(k, R) έχει διάσταση 1 ως k-διανυσματικός χώρος, όπου k είναι το πεδίο καταλοίπων του R. Ισοδύναμα, ο R έχει απλό πυρήνα ως R-module Γενικότερα, ένας τοπικός Ναιτεριανός δακτύλιος R είναι Γκόρενσταϊν αν και μόνο αν υπάρχει μια κανονική ακολουθία a₁,...,a_n στο μέγιστο ιδεώδες του R τέτοια ώστε ο πηλίκο δακτύλιος R/( a₁,...,a_n) να είναι Γκόρενσταϊν διάστασης μηδέν.

Παραδείγματος χάριν, αν η R είναι μια αντιμεταθετική βαθμωτή άλγεβρα πάνω από ένα πεδίο k, έτσι ώστε η R να έχει πεπερασμένη διάσταση ως k-διανυσματικός χώρος, R = k ⊕ R₁ ⊕ ... ⊕ R_m, τότε η R είναι Γκόρενσταϊν αν και μόνο αν ικανοποιεί τη δυαδικότητα Πουανκαρέ, που σημαίνει ότι το κορυφαίο βαθμωτό κομμάτι R_m έχει διάσταση 1 και το γινόμενο R_a × R_m−a → R_m είναι ένα τέλειο ζεύγος για κάθε a..

Μια άλλη ερμηνεία της ιδιότητας του Γκόρενσταϊν ως ένα είδος δυαδικότητας, για όχι απαραίτητα βαθμωτούς δακτυλίους, είναι η εξής: για ένα πεδίο F, μια αντιμεταθετική F-άλγεβρα R πεπερασμένης διάστασης ως F-διανυσματικός χώρος (άρα μηδενικής διάστασης ως δακτύλιος) είναι Γκόρενσταϊν αν και μόνο αν υπάρχει ένας F-γραμμικός χάρτης e: R → F τέτοιος ώστε η συμμετρική διγραμμική μορφή (x, y) := e(xy) στον R (ως F-διανυσματικό χώρο) να είναι μη εκφυλισμένη.

Για έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο (R, m, k) με διάσταση Κρουλ n, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα

• Η R διαθέτει πεπερασμένη αμφιμονότιμη διάσταση ως R-module,
• Το R έχει αμφιμονότιμη διάσταση n ως R-module,
• Η ομάδα $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ για i ≠ n ενώ $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;$
• $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ για κάποιο i > n,
• $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ για όλα τα i < n και $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;$
• Το R είναι ένας n -διάστατος δακτύλιος Γκόρενσταϊν.

Ένας (όχι απαραίτητα αντιμεταθετικός) δακτύλιος R ονομάζεται Γκόρενσταϊν αν ο R έχει πεπερασμένη αμφιμονότιμη διάσταση τόσο ως αριστερό R-σύνολο όσο και ως δεξιό R-σύνολο. Αν ο R είναι τοπικός δακτύλιος, ο R λέγεται τοπικός δακτύλιος Γκόρενσταϊν.

Παραδείγματα

• Κάθε τοπικός πλήρης δακτύλιος τομής, και ειδικότερα κάθε κανονικός τοπικός δακτύλιος, είναι Γκόρενσταϊν.
• Ο δακτύλιος R = k[x,y,z]/(x², y², xz, yz, z²−xy)είναι ένας 0-διάστατος δακτύλιος Γκορένσταϊν που δεν είναι πλήρης δακτύλιος τομής. Πιο αναλυτικά: μια βάση για τον R ως k-διανυσματικό χώρο δίνεται από: $\{1,x,y,z,z^{2}\}.$ Rείναι Γκόρενσταϊν επειδή ο πυρήνας έχει διάσταση 1 ως k-διανυσματικός χώρος, που εκτείνεται από το z². Εναλλακτικά, μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι ο R ικανοποιεί τη δυαδικότητα Πουανκαρέ όταν τον βλέπουμε ως βαθμωτό δακτύλιο με τα x, y, z όλα του ίδιου βαθμού. Τέλος. Ο R δεν είναι μια πλήρης διατομή επειδή έχει 3 γεννήτορες και ένα ελάχιστο σύνολο 5 (όχι 3) σχέσεων.

• Ο δακτύλιος R = k[x,y]/(x², y², xy) είναι ένας 0-διάστατος δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ που δεν είναι δακτύλιος Γκόρενσταϊν. Πιο αναλυτικά: μια βάση για τον R ως k-διανυσματικό χώρο προκύπτει από: $\{1,x,y\}.$ R δεν είναι Γκόρενσταϊν επειδή ο πυρήνας έχει διάσταση 2 (όχι 1) ως k-διανυσματικός χώρος, που καλύπτεται από τα x και y.

Ιδιότητες

• Ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος είναι Γκόρενσταϊν αν και μόνο αν η ολοκλήρωσή του είναι Γκόρενσταϊν.

• Η κανονική ενότητα ενός τοπικού δακτυλίου Γκόρενσταϊν R είναι ισόμορφη με τον R. Από γεωμετρικής άποψης, προκύπτει ότι το τυπικό σύμπλεγμα δυϊσμού ενός σχήματος Γκόρενσταϊν X πάνω από ένα πεδίο είναι απλά μια δέσμη γραμμών (θεωρούμενη ως σύμπλεγμα σε βαθμό -dim(X))- αυτή η δέσμη γραμμών ονομάζεται κανονική δέσμη του X. Χρησιμοποιώντας την κανονική δέσμη, η δυϊκότητα Σερ παίρνει την ίδια μορφή για τα σχήματα Γκόρενσταϊν όπως και στην ομαλή περίπτωση.

• Στο πλαίσιο των βαθμωτών δακτυλίων R, η κανονική ενότητα ενός δακτυλίου Γκόρενσταϊν R είναι ισομορφική με τον R με κάποια μετατόπιση βαθμού.

• Για έναν τοπικό δακτύλιο Γκόρενσταϊν (R, m, k) διάστασης n, η τοπική δυαδικότητα Γκρότεντιεκ παίρνει την ακόλουθη μορφή. Έστω E'(k) το επιρριπτικό περίβλημα του υπολειμματικού πεδίου k ως R-module. Τότε, για κάθε πεπερασμένης παραγωγής R-μονάδα M και ακέραιο αριθμό i, η τοπική ομάδα συνομολογίας $H_{m}^{i}(M)$ είναι διπλή της $\operatorname {Ext} _{R}^{n-i}(M,R)$ με την έννοια ότι:

$H_{m}^{i}(M)\cong \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Ext} _{R}^{n-i}(M,R),E(k)).$

• Ο Στάνλεϊ έδειξε ότι για μια πεπερασμένα παραγόμενη αντιμεταθετική διαβαθμισμένη άλγεβρα R πάνω από ένα πεδίο k έτσι ώστε R να είναι ένα ολοκληρωτικό πεδίο, η ιδιότητα Γκόρενσταϊν εξαρτάται μόνο από την ιδιότητα Κοέν-Μακόλεϊ μαζί με τη σειρά Χίλμπερτ.

$f(t)=\sum \nolimits _{j}\dim _{k}(R_{j})t^{j}.$

Συγκεκριμένα, ένα βαθμωτό πεδίο R είναι Γκόρενσταϊν αν και μόνο αν είναι Κοέν-Μακόλεϊ και η σειρά Χίλμπερτ είναι συμμετρική με την έννοια ότι

$f\left({\tfrac {1}{t}}\right)=(-1)^{n}t^{s}f(t)$

για κάποιο ακέραιο s, όπου n είναι η διάσταση του R.

Έστω (R, m, k) ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος με συνδιάσταση ολοκλήρωσης c, που σημαίνει ότι c = dim_k(m/m²) − dim(R). Με γεωμετρικούς όρους, αυτό ισχύει για έναν τοπικό δακτύλιο ενός υποσχήματος συνδιαστάσεων c σε ένα κανονικό σχήμα. Για c το πολύ 2, ο Σερ έδειξε ότι ο R είναι Γκόρενσταϊν αν και μόνο αν είναι πλήρης τομή. Υπάρχει επίσης ένα θεώρημα δομής για δακτυλίους Γκόρενσταϊν συνδιαστάσεων 3 σε όρους των Πφαφιάν ενός λοξό-συμμετρικού πίνακα, από τους Μπούχσμπαουμ και Άιζενμπαντ. Το 2011, ο Μάιλς Ριντ επέκτεινε αυτό το θεώρημα δομής σε περίπτωση συνδιαστάσεων 4.

Δημοσιεύσεις

• Bass, Hyman (1963), «On the ubiquity of Gorenstein rings», Mathematische Zeitschrift 82: 8–28, doi:10.1007/BF01112819, ISSN 0025-5874 
• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen–Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7 
• Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1 
• Gorenstein, Daniel (1952), «An arithmetic theory of adjoint plane curves», Transactions of the American Mathematical Society 72: 414–436, doi:10.2307/1990710, ISSN 0002-9947 
• Local Cohomology. A seminar given by A. Grothendieck, Harvard University, Fall 1961, Lecture Notes in Mathematics, 41, Berlin-New York: Springer-Verlag, 1967 
• Huneke, Craig (1999), «Hyman Bass and ubiquity: Gorenstein rings», Algebra, K-Theory, Groups, and Education, American Mathematical Society, σελ. 55–78, doi:10.1090/conm/243/03686 
• Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics, 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5 
• Macaulay, Francis Sowerby (1934), «Modern algebra and polynomial ideals», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (1): 27–46, doi:10.1017/S0305004100012354, ISSN 0305-0041 
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd έκδοση), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 
• Reid, Miles (Nov 2011), Jungkai Alfred Chen, επιμ., Gorenstein in codimension 4 – the general structure theory, Advanced Studies in Pure Mathematics, 65: Algebraic Geometry in East Asia – Taipei 2011, σελ. 201-227, https://homepages.warwick.ac.uk/~masda/codim4/structure4.pdf 
• Serre, Jean-Pierre (1961), Sur les modules projectifs, Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, 14, σελ. 1–16, http://www.numdam.org/item?id=SD_1960-1961__14_1_A2_0 
• «Hilbert functions of graded algebras», Advances in Mathematics 28 (1): 57–83, 1978, doi:10.1016/0001-8708(78)90045-2 

Δείτε επίσης

• Regular ring (in commutative algebra)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Commutative Ring Theory
• Rings Close to Regular
• Modules over Commutative Regular Rings

Σημειώσεις

• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
• Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769 
• Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, New York-London: Interscience Publishers, a division of John Wiley & Sons ; reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) (ISBN 0-88275-228-6)