Επιφάνεια του Ένεπερ

Τμήμα της επιφάνειας του Ένεπερ

Στη διαφορική γεωμετρία και την αλγεβρική γεωμετρία, η επιφάνεια του Ένεπερ είναι μια αυτοτελή επιφάνεια που μπορεί να περιγραφεί παραμετρικά με:

${\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{3}}u\left(1-{\tfrac {1}{3}}u^{2}+v^{2}\right),\\y&={\tfrac {1}{3}}v\left(1-{\tfrac {1}{3}}v^{2}+u^{2}\right),\\z&={\tfrac {1}{3}}\left(u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}$

Εισήχθη από τον Άλφρεντ Ένεπερ το 1864 σε σχέση με τη θεωρία των ελάχιστων επιφανειών.

Η παραμετροποίηση Βάιερστρας-Ένεπερ είναι πολύ απλή, $f(z)=1,g(z)=z$, και η πραγματική παραμετρική μορφή μπορεί εύκολα να υπολογιστεί από αυτήν. Η επιφάνεια είναι συζυγής με τον εαυτό της.

Οι συνεπαγωγικές μέθοδοι της αλγεβρικής γεωμετρίας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ανακαλυφθεί ότι τα σημεία της επιφάνειας Ένεπερ που δόθηκε παραπάνω ικανοποιούν την πολυωνυμική εξίσωση βαθμού 9

${\begin{aligned}&64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\\&{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\\&{}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\end{aligned}}$

Ομοίως, το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο με τις δεδομένες παραμέτρους είναι $a+bx+cy+dz=0,\$ όπου ${\begin{aligned}a&=-\left(u^{2}-v^{2}\right)\left(1+{\tfrac {1}{3}}u^{2}+{\tfrac {1}{3}}v^{2}\right),\\b&=6u,\\c&=6v,\\d&=-3\left(1-u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}$

Οι συντελεστές του ικανοποιούν την έμμεση πολυωνυμική εξίσωση 6ου βαθμού

${\begin{aligned}&162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\\&{}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\end{aligned}}$

Ο Ιακωβιανός πίνακας και ο προσδιοριστής, η Καμπυλότητα του Γκάους και η μέση καμπυλότητα είναι

${\begin{aligned}J&={\frac {1}{81}}(1+u^{2}+v^{2})^{4},\\K&=-{\frac {4}{9}}{\frac {1}{J}},\\H&=0.\end{aligned}}$

Η συνολική καμπυλότητα είναι - $-4\pi$. Ο Όσερμαν απέδειξε ότι μια πλήρης ελάχιστη επιφάνεια στον $\mathbb {R} ^{3}$ με ολική καμπυλότητα -$-4\pi$ είναι είτε το κατενοειδές είτε η επιφάνεια Ένεπερ.

Μια άλλη ιδιότητα είναι ότι όλες οοι δικυβικές ελάχιστες επιφάνειες Μπεζιέ είναι, μέχρι έναν affine μετασχηματισμό, κομμάτια της επιφάνειας.

Μπορεί να γενικευτεί σε περιστροφικές συμμετρίες υψηλότερης τάξης με τη χρήση της παραμετροποίησης Βάιεστρας-Ένεπερ $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ για ακέραιο k>1. Μπορεί επίσης να γενικευτεί σε υψηλότερες διαστάσεις- είναι γνωστό ότι υπάρχουν επιφάνειες τύπου Ένεπερ στον $\mathbb {R} ^{n}$ για n μέχρι 7.

Δείτε επίσης για αλγεβρικές επιφάνειες Ἐνεπερ υψηλότερης τάξης.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Enneper surface», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035710 
• Mathematical Sciences Research Institute - The Generalized Enneper's Surfaces (Archived)
• Harvey Mudd College - Enneper's Surface (Archived)

Βιβλιογραφία

• Differential Geometry and Its Applications"
• Minimal Surfaces, Stratified Multivarifolds, and the Plateau Problem
• "Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica"
• "A Survey on Classical Minimal Surface Theory"
• "Minimal Surfaces"
• "Advanced Materials, Structures and Mechanical Engineering:"