Διπλή εφαπτομένη

Η καμπύλη Τροτ (μαύρο χρώμα) έχει 28 πραγματικές απλές εφαπτόμενες (κόκκινο χρώμα). Αυτή η εικόνα δείχνει 7 από αυτές- οι υπόλοιπες είναι συμμετρικές ως προς τις περιστροφές 90° γύρω από την αρχή και τις ανακλάσεις μέσω των δύο κυανών αξόνων.

Στη γεωμετρία, μια διπλή εφαπτομένη^[1] σε μια καμπύλη C είναι μια ευθεία $L$ που αγγίζει την $C$ σε δύο διαφορετικά σημεία $P$ και $Q$ και έχει την ίδια κατεύθυνση με την $C$ σε αυτά τα σημεία. Με άλλα λόγια, η $L$ είναι εφαπτόμενη γραμμή στα σημεία $P$ και $Q$ .

Διπλές εφαπτόμενες των αλγεβρικών καμπυλών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γενικά, μια αλγεβρική καμπύλη θα έχει απείρως πολλές τέμνουσες γραμμές, αλλά μόνο πεπερασμένες διπλές εφαπτόμενες.

Το θεώρημα του Μπεζού υποδηλώνει ότι μια αλγεβρική επίπεδη καμπύλη με μια διπλή εφαπτομένη πρέπει να έχει βαθμό τουλάχιστον 4. Η περίπτωση των 28 διπλών εφαπτόμενων ενός τεταρτοβάθμιου ήταν ένα περίφημο κομμάτι της γεωμετρίας του δέκατου ένατου αιώνα, καθώς αποδείχθηκε μια σχέση με τις 27 γραμμές στην κυβική επιφάνεια.^[2]^[3]

Διπλές εφαπτόμενες πολυγώνων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι τέσσερις διπλές εφαπτόμενες δύο ασύνδετων κυρτών πολυγώνων μπορούν να βρεθούν αποτελεσματικά με έναν αλγόριθμο βασισμένο στη δυαδική αναζήτηση στον οποίο διατηρείται ένας δυαδικός δείκτης αναζήτησης στις λίστες των ακμών κάθε πολυγώνου και μετακινείται ένας από τους δείκτες αριστερά ή δεξιά σε κάθε βήμα ανάλογα με το πού διασταυρώνονται οι διπλές εφαπτόμενες γραμμές των ακμών στους δύο δείκτες. Αυτός ο υπολογισμός της διπλής εφαπτομένης είναι μια βασική υπορουτίνα στις δομές δεδομένων για τη δυναμική διατήρηση κυρτών περιβλημάτων (Όβερμαρς & φαν Λιούβεν 1981). Οι Ποκιόλα και Βέγκτερ 1996a, 1996b) περιγράφουν έναν αλγόριθμο για την αποτελεσματική απαρίθμηση όλων των τμημάτων διπλών εφαπτόμενων ευθειών που δεν τέμνουν καμία από τις άλλες καμπύλες σε ένα σύστημα πολλαπλών ασύζευκτων κυρτών καμπυλών, χρησιμοποιώντας μια τεχνική που βασίζεται στον ψευδοτριγωνισμό.^[4]

Οι διπλές εφαπτόμενες γραμμές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να επιταχύνουν την προσέγγιση του γράφου ορατότητας για την επίλυση του ευκλείδειου προβλήματος της συντομότερης διαδρομής: η συντομότερη διαδρομή μεταξύ μιας συλλογής πολυγωνικών εμποδίων μπορεί να εισέρχεται ή να εξέρχεται από το όριο ενός εμποδίου μόνο κατά μήκος μιας από τις διπλές εφαπτόμενες γραμμές του, οπότε η συντομότερη διαδρομή μπορεί να βρεθεί με την εφαρμογή του αλγορίθμου του Ντίκστρα σε ένα υπογράφημα του γράφου ορατότητας που σχηματίζεται από τις ακμές ορατότητας που βρίσκονται σε διπλές εφαπτόμενες γραμμές (Rohnert 1986).

Σχετικές έννοιες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η διπλή εφαπτομένη διαφέρει από την τέμνουσα στο ότι η τέμνουσα μπορεί να τέμνει την καμπύλη σε δύο σημεία. Μπορούμε επίσης να εξετάσουμε τις διπλές εφαπτόμενες που δεν είναι ευθείες- παραδείγματος χάριν, το σύνολο συμμετρίας μιας καμπύλης είναι ο τόπος των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται στην καμπύλη σε δύο σημεία.

Οι διπλές εφαπτόμενες σε ζεύγη κύκλων κατέχουν εξέχουσα θέση στην κατασκευή των κύκλων Μαλφάτι από τον Γιάκομπ Στάινερ το 1826, στο πρόβλημα της ζώνης^[5], το οποίο περιλαμβάνει τον υπολογισμό του μήκους της ζώνης που συνδέει δύο τροχαλίες, στο θεώρημα του Κέισι που χαρακτηρίζει σύνολα τεσσάρων κύκλων με κοινό εφαπτόμενο κύκλο και στο θεώρημα του Μονζ για την κολλησιμότητα των σημείων τομής ορισμένων διπλών εφαπτόμενων.