Κωνική δέσμη

Στην αλγεβρική γεωμετρία, μια Κωνική δέσμη είναι μια συγκεκριμένη αλγεβρική ποικιλία. Ιστορικά, αυτές οι επιφάνειες εμφανίζονταν ως λύσεις μιας καρτεσιανής εξίσωσης της μορφής

$X^{2}+aXY+bY^{2}=P(T).$

Θεωρητικά, θεωρούνται επιφάνειες Σέβερι-Μπράουερ. Πιο συγκεκριμένα, πρόκειται για επιφάνειες Σατελέ. Λαμβάνονται ως κάλυψη βαθμού 2 μιας τυπικής κανονικής επιφάνειας.

Επίσης µπορούν να θεωρηθούν, µε ισοµορφισµό, ότι σχετίζονται µε ένα σύµβολο $(a,P)$ στη δεύτερη οµάδα συνοµολογίας του σώµατος Γκαλουά $k$.

Πρόκειται για επιφάνειες που η ομάδα των διαιρετών τους είναι γνωστή και οι οποίες, για τις απλούστερες, μοιράζονται με τις επιφάνειες (en)3 του Ντελ Πέτσο την ιδιότητα να είναι ρητές. Ωστόσο, πολλά σύγχρονα μαθηματικά προβλήματα παραμένουν ανοικτά, ιδίως, για τις μη ρητές επιφάνειες, δηλαδή της ύπαρξης, σε αυτές τις επιφάνειες, τουλάχιστον μιας αλγεβρικής καμπύλης.

Προσέγγιση

Για να περιγράψουμε σωστά μια Κωνική δέσμη , πρέπει πρώτα να ελαττώσουμε την τετραγωνική μορφή της αριστερής πλευράς. Μετά από μια απλή αλλαγή μεταβλητής, προκύπτει μια απλή έκφραση του τύπου $X^{2}-aY^{2}=P(T)$.

Δεύτερον, πρέπει να τοποθετηθούμε σε έναν προβολικό χώρο ώστε να ολοκληρώσουμε την επιφάνεια στο άπειρο.

Για να επιτευχθεί αυτό, γράφουμε την εξίσωση σε ομογενείς συντεταγμένες και εκφράζουμε πρώτα το ορατό μέρος της ίνας. Για $t\in A_{k}^{1}$ et $(x:y:z)\in P_{k}^{2}$ επαληθεύουμε $X^{2}-aY^{2}=P(T)Z^{2}$.

Αυτό δεν είναι αρκετό για να ολοκληρωθεί η ίνα (καθαρά και ομαλά), και στη συνέχεια επανασυνδέεται στο άπειρο με μια κλασική αλλαγή των σχημάτων :

Από το άπειρο, (δηλαδή μέσω της αλλαγής $t\mapsto t'={\frac {1}{t}}$), η ίδια ίνα (εκτός από τις ίνες $t=0,$ et $t'=0$), γράφεται ως το σύνολο των λύσεων της $X'^{2}-aY'^{2}=P^{*}(T')Z'^{2}$ όπου το $P^{*}(T')$ εμφανίζεται φυσικά ως το αντίστροφο πολυώνυμο του P {\displaystyle P}. Η αλλαγή των χαρτών $(x':y':z')$. αναλύεται παρακάτω.

Η ίνα F_a,P

Για να προχωρήσουμε λίγο παραπέρα, απλοποιώντας το ερώτημα, περιοριζόμαστε στην περίπτωση όπου το σώμα $k$ είναι χαρακτηριστικό μηδέν και συμβολίζουμε με $m$ έναν μη μηδενικό φυσικό αριθμό. Συμβολίζουμε με $P(T)$ ένα πολυώνυμο με συντελεστές στο σώμα $k$, βαθμού $2m$ ή $2m-1$, αλλά χωρίς πολλαπλές ρίζες. Θεωρήστε το κλιμάκιο $a\in k^{*}\setminus k^{*2}$, ένα μη τετραγωνικό στοιχείο του βασικού πεδίου.

Ορίζουμε $P^{*}(T)=T^{2m}P({1overT});$ το αντίστροφο πολυώνυμο του P, και συμβολίζουμε $F_{a,P}$ την ίνα που ορίζεται ως εξής:

Ορισμός: $F_{a,P}$ είναι η επιφάνεια που προκύπτει από τη συγκόλληση των δύο επιφανειών $U$ και $U'$ της ${P}_{1,k}\times {A}_{k}^{1}$ των εξισώσεων $X^{2}-aY^{2}=P(T)Z^{2}$ και $X'^{2}-aY'^{2}=P^{*}(T')Z'^{2}$ κατά μήκος των ανοικτών $\lbrace T\neq 0\rbrace$ και $\lbrace T'\neq 0\rbrace$ με τους ισομορφισμούς $x'=x,$ , $y'=y,$ και $z'=zt^{m}$.

Δείχνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα:

Βασική ιδιότητα:

Η επιφάνεια $F_{a,P}$ είναι μια $k-$ καθαρή και λεία επιφάνεια- η εφαρμογή $p$ ορίζεται από την $p:((x:y:z),t)\rightarrow t$ στην $U$ και $p:((x':y':z'),t')\rightarrow t'$ στην $U'$ παρέχει στην $F_{a,P}$ μια δομή ινών κωνικών στην ${P}_{1,k}$.

Τα πλεονεκτήματα αυτής της προσέγγισης

Παρέχει ένα απλό μοντέλο ενός κωνικού με ίνες. Πάνω απ' όλα, καθιστά δυνατή την έκφραση της κάλυψης αυτής της ινώδους κωνικής ως εκείνη μιας τυπικής κανονικής επιφάνειας. Η τυπική γλώσσα, με όρους συνομολογίας, είναι εύκολα κατανοητή. Παραδείγματος χάριν, ας εξετάσουμε το πρόβλημα της μονομερούς ρητότητας.

Unirationality

Το ερώτημα της Unirationality αυτών των αλγεβρικών επιφανειών είναι ένα ανοιχτό ζήτημα. Η ιδέα είναι να σχεδιάσουμε μια αλγεβρική καμπύλη στην επιφάνεια (δηλαδή επιτρέπονται μόνο πολυωνυμικές ακυρώσεις) όπου οι συντελεστές της βρίσκονται στο πεδίο βάσης.

Η ύπαρξη μιας τέτοιας καμπύλης ικανοποιεί έναν ορισμένο τύπο εικασίας για τις επιφάνειες Σεβέρι-Μπράουερ: δείτε Εικασίες Μαζούρ. Μπορεί να ερμηνευτεί με όρους συνομολογίας ως εξής:

Έστω $K$ ένα σώμα και ${overlineK}$ το διαχωρίσιμο κλείσιμό του- η ομάδα συνομολογίας Γκαλουά $Br(K)=H^{2}(K,{\overline {K}}^{*})$ είναι η ομάδα Μπράουερ του σώματος $K$.

Σημειώνουμε $_{2}Br(K)$ την υποομάδα της $Br(K)$ που σχηματίζεται από τα στοιχεία που εξαλείφονται με το 2.

Αν $A$ και $B$ είναι δύο στοιχεία του $K^{*}$, το σύμβολο Λεζάντρ $(A,B)_{K}\in H^{2}(K,\mu _{2})=\ _{2}Br(K)\subset Br(K)$ των κλάσεων των $A$ και $B$ στο $K^{*}/K^{*2}=H^{1}(K,\mu _{2})$ χαρακτηρίζει την κωνική της εξίσωσης: ${X^{2}-AY^{2}-BZ^{2}=0}$ στον $K-$ισομορφισμό.

Συμπεραίνουμε ότι η κωνική ${X^{2}-AY^{2}-BZ^{2}=0}$ έχει ρητά σημεία σε ένα υπερσώμα $L$ του $K$ αν και μόνο αν η εικόνα $(A,B)_{L}\in _{2}Br(L)$ του $(A,B)_{K}\in _{2}Br(K)$ από τον περιοριστικό μορφισμό είναι κοινότοπη.

Η unirationality της ίνας μεταφράζεται σε αυτή τη μορφή λαμβάνοντας $K=k(T)$ όπου $k$ είναι ένα αριθμητικό πεδίο. Γενικά, περιοριζόμαστε στην περίπτωση όπου το σύμβολο γράφεται $(a,P(T))_{k(T)}$ με $a$ ένα στοιχείο του $k$.

Αν $\beta (U)\in k(U)$ είναι ένα μη σταθερό ρητό κλάσμα, σημειώνουμε $\beta ^{*}:Br(k(T))\to Br(k(U))$ τον μορφισμό περιορισμού που σχετίζεται με την έγχυση του σώματος $k(T)$ στο σώμα $k(U)$ που μεταθέτει το $T$ πάνω στο $\beta (U)$.

Έχουμε $\beta ^{*}(a,P(T))_{k(T)}=(a,P(\beta (U))_{k(U)}$.

Σε αυτή τη διατύπωση, η unirationality της ίνας σε κωνικές $X^{2}-aY^{2}=P(T)Z^{2}$ ισοδυναμεί με την ύπαρξη ενός μη σταθερού ρητού κλάσματος ${\beta (U)\in k(U)}$ τέτοιο ώστε $(a,P(\beta (U))_{k(U)}$ είναι το ουδέτερο στοιχείο του $Br(k(U))$.

Πράγματι, αυτό απλά μεταφράζει την ιδέα ότι υπάρχουν τρία ρητά κλάσματα $X(u)$ ; $Y(u)$ ; $\beta (u)$ που ορίζονται πάνω στο $K$ έτσι ώστε η ισότητα $X(u)^{2}-aY(u)^{2}=P(\beta (u))$ να είναι αληθής στο $K(u)$.

Τέλος, δεδομένου ότι το σώμα $k$ έχει χαρακτηριστική 0, η ακριβής ακολουθία του Φαντέεφ (βλ. παρακάτω) μας επιτρέπει να εκφράσουμε τη μηδενικότητα ενός στοιχείου του $Br(k(U))$ σε όρους υπολοίπων.

Βιβλιογραφία

• Robin Hartshorne (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9. 
• David Cox· :en:John Little· :en:Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms (second έκδοση). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2. 
• David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο