Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

en:American Mathematical Society

en:External ray Εξωτερική ακτίνα Πύλη:Μαθηματικά
Διεθνής Μαθηματική Ένωση

en:Tate–Shafarevich group Ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς

Νέο θέμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην αριθμητική γεωμετρία, η Ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς $Ш(A / K)$ μιας αβελιανής ποικιλίας $A$ ^[1](ή γενικότερα ενός ομαδικού σχήματος) που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα $K$ αποτελείται από τα στοιχεία της ομάδας Βέιλ-Σατελέ^[2] $\mathrm {WC} (A/K)=H^{1}(G_{K},A)$ , όπου $G_{K}=\mathrm {Gal} (K^{alg}/K)$ είναι η απόλυτη ομάδα Γαλουά του $K$ , που γίνεται τετριμμένη σε όλες τις συμπληρώσεις του $K$ (δηλ. e., στις πραγματικές και μιγαδικές συμπληρώσεις καθώς και στα $p$ -adic σώματα που προκύπτουν από το $K$ συμπληρώνοντας ως προς όλες τις αρχιμήδειες και μη αρχιμήδειες αποτιμήσεις $v$ ). Έτσι, από την άποψη της συνομολογίας Γαλουά, η $Ш(A / K)$ ) μπορεί να οριστεί ως εξής

\bigcap _{v}\mathrm {ker} \left(H^{1}\left(G_{K},A\right)\rightarrow H^{1}\left(G_{K_{v}},A_{v}\right)\right).

Η ομάδα αυτή εισήχθη από τους Σερζ Λανγκ και Τζον Τέιτ(^[3] ) και τον Ιγκόρ Σαφάρεβιτς(^[4]).Ο Κάσελς εισήγαγε τον συμβολισμό $Ш(A / K)$ , όπου $Ш$ αντιστοιχεί στο κυριλλικό γράμμα «Sha», για τον Σαφάρεβιτς^[5], αντικαθιστώντας τον παλαιότερο συμβολισμό $TS$ ή $TŠ$ .

Στοιχεία της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γεωμετρικά, τα μη τετριμμένα στοιχεία της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς μπορούν να θεωρηθούν ως οι ομογενείς χώροι του $A$ που έχουν $K v$ -ρητά σημεία για κάθε θέση $v$ του $K$ , αλλά κανένα $K$ -ρητό σημείο. Έτσι, η ομάδα μετρά το βαθμό στον οποίο η αρχή Χάσε δεν ισχύει για ρητές εξισώσεις με συντελεστές στο πεδίο K. Ο Καρλ-Ερικ Λιντ έδωσε ένα παράδειγμα ενός τέτοιου ομογενούς χώρου, δείχνοντας ότι η καμπύλη γένους $x 4 - 17 = 2 y 2$ έχει λύσεις στους πραγματικούς και σε όλα τα $p$ -adic σώματα, αλλά δεν έχει ρητά σημεία^[6]. Ο Ερνστ Σ. Σέλμερ έδωσε πολλά ακόμη παραδείγματα, όπως $3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0$ .^[7]

Η ειδική περίπτωση της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς για το πεπερασμένο ομαδικό σχήμα που αποτελείται από σημεία κάποιας δεδομένης πεπερασμένης τάξης $n$ μιας αβελιανής ποικιλίας σχετίζεται στενά με την ομάδα Σέλμερ^[8].

Η εικασία του Τέιτ-Σαφάρεβιτς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εικασία Τέιτ-Σαφάρεβιτς δηλώνει ότι η ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς είναι πεπερασμένη. Ο Καρλ Ρούμπιν το απέδειξε αυτό για κάποιες ελλειπτικές καμπύλες τάξης το πολύ 1 με μιγαδικό πολλαπλασιασμό.^[9] Ο Βίκτορ Α. Κολυβάγκιν το επέκτεινε σε σπονδυλωτές ελλειπτικές καμπύλες πάνω σε ρητούς αριθμούς αναλυτικού βαθμού το πολύ 1 (Το θεώρημα της δομοστοιχειωτής μορφής έδειξε αργότερα ότι η υπόθεση της σπονδυλωτότητας ισχύει πάντα).^[10]

Ζεύγος Κάσελς-Τέιτ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η αντιστοίχιση Κάσελς-Τέιτ είναι μια διγραμμική αντιστοίχιση $Ш(A) \times Ш(Â) \to Q / Z$ , όπου $A$ είναι μια αβελιανή ποικιλία και $Â$ είναι η διπλή της. Ο Κάσελς την εισήγαγε για ελλειπτικές καμπύλες, όταν η $A$ μπορεί να ταυτιστεί με την $Â$ και η σύζευξη είναι μια εναλλασσόμενη μορφή.^[11] Ο πυρήνας αυτής της μορφής είναι η υποομάδα των διαιρετών στοιχείων, η οποία είναι τετριμμένη αν η εικασία Τέιτ-Σαφάρεβιτς είναι αληθής. Ο Τέιτ επέκτεινε την αντιστοίχιση σε γενικές αβελιανές ποικιλίες, ως παραλλαγή της δυϊκότητας Τέιτ.^[12] Μια επιλογή της πόλωσης στην A δίνει έναν χάρτη από την $A$ στην $Â$ , ο οποίος επάγει μια διγραμμική ζεύξη στην $Ш(A)$ με τιμές στην $Q / Z$ , αλλά σε αντίθεση με την περίπτωση των ελλειπτικών καμπυλών αυτή δεν χρειάζεται να είναι εναλλασσόμενη ή ακόμη και ασυμμετρική.

Για μια ελλειπτική καμπύλη, ο Κάσελς έδειξε ότι η αντιστοίχιση είναι εναλλασσόμενη και μια συνέπεια είναι ότι αν η τάξη του $Ш$ είναι πεπερασμένη τότε είναι τετράγωνο. Για πιο γενικές αβελιανές ποικιλίες, για πολλά χρόνια θεωρούνταν μερικές φορές λανθασμένα ότι η τάξη της $Ш$ είναι τετράγωνο όποτε είναι πεπερασμένη- το λάθος αυτό προήλθε από μια εργασία του Σουίνερτον-Ντάιερ,^[13] ο οποίος παρέθεσε λανθασμένα ένα από τα αποτελέσματα του Τέιτ.^[12]] Οι Πούνεν και Στολ έδωσαν μερικά παραδείγματα όπου η τάξη είναι δύο φορές τετράγωνο, όπως η Ιακωβιανή μιας ορισμένης καμπύλης γένους 2 πάνω στους ορθολογικούς, της οποίας η ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς έχει τάξη 2,^[14] και ο Στάιν έδωσε μερικά παραδείγματα όπου η δύναμη ενός περιττού πρώτου που διαιρεί την τάξη είναι περιττή^[15].

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Cassels, John William Scott (1962), «Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups», Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series 12: 259–296, doi:10.1112/plms/s3-12.1.259, ISSN 0024-6115
Cassels, John William Scott (1962b), «Arithmetic on curves of genus 1. IV. Proof of the Hauptvermutung», Journal für die reine und angewandte Mathematik 211 (211): 95–112, doi:10.1515/crll.1962.211.95, ISSN 0075-4102, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002179873
Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, London Mathematical Society Student Texts, 24, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, https://books.google.com/books?id=zgqUAuEJNJ4C
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, 201, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5
Greenberg, Ralph (1994), «Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives», στο: Serre, Jean-Pierre; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L., επιμ., Motives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1637-0
Kolyvagin, V. A. (1988), «Finiteness of E(Q) and SH(E,Q) for a subclass of Weil curves», Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya 52 (3): 522–540, 670–671, 954295, ISSN 0373-2436
Lang, Serge; Tate, John (1958), «Principal homogeneous spaces over abelian varieties», American Journal of Mathematics 80 (3): 659–684, doi:10.2307/2372778, ISSN 0002-9327
Lind, Carl-Erik (1940). Untersuchungen über die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins (Διδακτορική διατριβή). 1940. University of Uppsala. 97 pp. MR 0022563.
Poonen, Bjorn; Stoll, Michael (1999), «The Cassels-Tate pairing on polarized abelian varieties», Annals of Mathematics, Second Series 150 (3): 1109–1149, doi:10.2307/121064, ISSN 0003-486X
Rubin, Karl (1987), «Tate–Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with complex multiplication», Inventiones Mathematicae 89 (3): 527–559, doi:10.1007/BF01388984, ISSN 0020-9910
Selmer, Ernst S. (1951), «The Diophantine equation ax³+by³+cz³=0», Acta Mathematica 85: 203–362, doi:10.1007/BF02395746, ISSN 0001-5962
Shafarevich, I. R. (1959), «The group of principal homogeneous algebraic manifolds», Doklady Akademii Nauk SSSR 124: 42–43, ISSN 0002-3264 English translation in his collected mathematical papers
Stein, William A. (2004), «Shafarevich–Tate groups of nonsquare order», Modular curves and abelian varieties, Progr. Math., 224, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, σελ. 277–289, http://wstein.org/papers/nonsquaresha/final2.pdf
Swinnerton-Dyer, P. (1967), «The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer, and of Tate», στο: Springer, Tonny A., επιμ., Proceedings of a Conference on Local Fields (Driebergen, 1966), Berlin, New York: Springer-Verlag, σελ. 132–157, https://books.google.com/books/?id=I983HAAACAAJ
Tate, John (1958), WC-groups over p-adic fields, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, 13, Paris: Secrétariat Mathématique, http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__265_0
Tate, John (1963), «Duality theorems in Galois cohomology over number fields», Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, σελ. 288–295, http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/
Weil, André (1955), «On algebraic groups and homogeneous spaces», American Journal of Mathematics 77 (3): 493–512, doi:10.2307/2372637, ISSN 0002-9327
Konstantinous, Alexandros (2024-04-25). «A note on the order of the Tate-Shafarevich group modulo squares». arXiv:2404.16785 [math.NT].

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
Commutative Algebra: Expository Papers Dedicated to David Eisenbud on the ..
Multiplicative Ideal Theory in Commutative Algebra: A Tribute to the Work of ...
Recent Advances in Hodge Theory: Period Domains, Algebraic Cycles, and ...
Lectures On Riemann Surfaces - Proceedings Of The College On Riemann Surfaces

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ «AV -- J.S. Milne». www.jmilne.org. Ανακτήθηκε στις 12 Ιουνίου 2024.
↑ «Weil-Châtelet group - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 12 Ιουνίου 2024.
↑ Lang & Tate 1958.
↑ Shafarevich 1959.
↑ «Igor Shafarevich - The Mathematics Genealogy Project». mathgenealogy.org. Ανακτήθηκε στις 12 Ιουνίου 2024.
↑ Lind 1940.
↑ Selmer 1951.
↑ Cassels, J. W. S. (1962). «Arithmetic on Curves of Genus 1 : III. The Tate-Šafarevič and Selmer Groups» (στα αγγλικά). Proceedings of the London Mathematical Society s3-12 (1): 259–296. doi:10.1112/plms/s3-12.1.259. http://doi.wiley.com/10.1112/plms/s3-12.1.259.
↑ Rubin 1987.
↑ Kolyvagin 1988.
↑ Cassels 1962.
↑ ^12,0 ^12,1 Tate 1963.
↑ Swinnerton-Dyer 1967.
↑ Poonen & Stoll 1999.
↑ Stein 2004.

[[Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Συναρτησιακή ανάλυση]

[[Κατηγορία:Μαθηματικά προβλήματα]

[[Κατηγορία:Διάσταση]

[[Κατηγορία:Επιστήμη υπολογιστών]

[[Κατηγορία:Βελτιστοποίηση] [[Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Διάσταση] [[Κατηγορία:Γενική τοπολογία]

[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά] [[Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις] [[Κατηγορία:Ζήτα και L-συναρτήσεις]

[[Κατηγορία:Μαθηματικοί οργανισμοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικά] [[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]

[[Κατηγορία:Καναδοί μαθηματικοί]

[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Φράκταλ] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα] [[Κατηγορία:Πληροφοριακά συστήματα]

{{authority control} {{Portal bar|Βιογραφίες|Μαθηματικά} {{DEFAULTSORT:Μιγαδική αναλυτική ποικιλία } [[Κατηγορία:Βραβεία μαθηματικών] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Ρώσοι μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Γάλλοι χημικοί] [[Κατηγορία:Βραβεία Νόμπελ] [[Κατηγορία:Βραβευμένοι με Νόμπελ Φυσικής]

[[Κατηγορία:Ιστότοπος-επέκταση] [[Κατηγορία:Ψηφιακές βιβλιοθήκες]

[[Κατηγορία: Κατηγορία:Γάλλοι εκδότες] [[Κατηγορία:Εκδοτικοί οίκοι]

[[Κατηγορία:Μουσεία στο Παρίσι [[Κατηγορία:Νομισματικά μουσεία

[[Κατηγορία:Ιλιάδα [[Κατηγορία:Ήφαιστος

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
πρόχειρο

Επίσημη ιστοσελίδα

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

{Authority control}}

Κατηγορία:Εθνικές βιβλιοθήκες]] [Κατηγορία:Βιβλιοθήκες στη Σαουδική Αραβία]]

[Κατηγορία:Ιστορικές βιβλιοθήκες]] [Κατηγορία:Τορίνο]]

Κατηγορία:Βιβλιοθήκες ανά χώρα]]

Κατηγορία:Ψηφιακές βιβλιοθήκες]]

Κατηγορία:Ερευνητικά κέντρα ανά χώρα]] Κατηγορία:Πανεπιστήμια ανά χώρα]]

{commonscat}}

Άλλο θἐμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

List of national and state libraries
de:Liste der Nationalbibliotheken
es:Anexo:Bibliotecas nacionales

Κατάλογος Εθνικών Βιβλιοθηκών

[1] «AV -- J.S. Milne». www.jmilne.org. Ανακτήθηκε στις 12 Ιουνίου 2024.

[2] «Weil-Châtelet group - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 12 Ιουνίου 2024.

[FOOTNOTELangTate1958-3] Lang & Tate 1958.

[FOOTNOTEShafarevich1959-4] Shafarevich 1959.

[5] «Igor Shafarevich - The Mathematics Genealogy Project». mathgenealogy.org. Ανακτήθηκε στις 12 Ιουνίου 2024.

[FOOTNOTELind1940-6] Lind 1940.

[FOOTNOTESelmer1951-7] Selmer 1951.

[8] Cassels, J. W. S. (1962). «Arithmetic on Curves of Genus 1 : III. The Tate-Šafarevič and Selmer Groups» (στα αγγλικά). Proceedings of the London Mathematical Society s3-12 (1): 259–296. doi:10.1112/plms/s3-12.1.259. http://doi.wiley.com/10.1112/plms/s3-12.1.259.

[FOOTNOTERubin1987-9] Rubin 1987.

[FOOTNOTEKolyvagin1988-10] Kolyvagin 1988.

[FOOTNOTECassels1962-11] Cassels 1962.

[FOOTNOTETate1963-12] 12,0 ^12,1 Tate 1963.

[FOOTNOTESwinnerton-Dyer1967-13] Swinnerton-Dyer 1967.

[FOOTNOTEPoonenStoll1999-14] Poonen & Stoll 1999.

[FOOTNOTEStein2004-15] Stein 2004.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

Ἀλλο θέμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

θέματα για διόρθωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θέμα επεξεργασίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Νέο θέμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στοιχεία της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εικασία του Τέιτ-Σαφάρεβιτς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ζεύγος Κάσελς-Τέιτ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Άλλο θἐμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]