Στα μαθηματικά, οι τύποι του Βιετά είναι μαθηματικοί τύποι που εκφράζουν τους συντελεστές ενός πολυωνύμου ως άθροισμα γινομένων των ριζών του. Για παράδειγμα, για το τριώνυμο
,
ισχύει ότι,
και
.
Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον Φραγκίσκο Βιετά.
Σε ένα πολυώνυμο βαθμού
,
με ρίζες
έχουμε ότι[1]:65[2]:152[3]:16-17[4][5]:52[6]:323
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=-(r_{1}+\ldots +r_{n})\\{\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=((r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\ldots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}++\ldots +r_{2}r_{n})\ldots +r_{n-1}r_{n})\\&\vdots \\{\frac {a_{0}}{a_{n}}}&=(-1)^{n}\cdot r_{1}\cdot \ldots \cdot r_{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9978d40621e6b6d5546e801944aef59910e477f0)
Πιο συμπυκνωμένα, μπορεί να γραφτεί ως
![{\displaystyle {\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}=(-1)^{k}\cdot \sum _{1\leq i_{1}\leq i_{2}\leq \ldots \leq i_{k}\leq n}\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb75c31101b96c1ab0ac254a1e81be7b00a296b)
όπου το άθροισμα είναι σε ακολουθίες μεγέθους
.
Θεωρούμε το τριώνυμο
και έστω
και
οι ρίζες του. Τότε,
,
και ισχύει ότι
και
.
Το τριώνυμο
, μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως
επομένως οι ρίζες του είναι
και
. Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:
.
Το τριώνυμο
, μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως
επομένως οι ρίζες του είναι
και
. Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:
.
Θεωρούμε το τριτοβάθμιο πολυώνυμο
και έστω
,
,
οι ρίζες του. Τότε
.
Επεκτείνοντας το γινόμενο,
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=a\cdot (x-r_{1})\cdot (x-r_{2})\cdot (x-r_{3})\\&=a\cdot (x^{2}-(r_{1}+r_{2})\cdot x+r_{1}r_{2})\cdot (x-r_{3})\\&=a\cdot (x^{3}-(r_{1}+r_{2}+r_{3})\cdot x^{2}+(r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{1}r_{3})\cdot x-r_{1}r_{2}r_{3}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f886103232cb8bd8acd83ec5b7b575f0ca263ff8)
Από αυτό προκύπτει ότι
,
και
.
Το πολυώνυμο
παραγοντοποιείται ως
και επομένως οι ρίζες του είναι
,
και
. Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:
.
- Funkhouser, H. Gray (Αυγούστου 1930). «A Short Account of the History of Symmetric Functions of Roots of Equations». The American Mathematical Monthly 37 (7): 357–365. doi:10.1080/00029890.1930.11987092.
- Karayannakis, Dimitris; Aivalis, Constantine J. (2 Ιανουαρίου 2018). «Reciprocal Vieta-type formulas and some applications». Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography 21 (1): 35–39. doi:10.1080/09720529.2015.1132045.
- ↑ Βουκούτης, Ναπολέων. Πολυώνυμα. Αθήνα: Gutenberg.
- ↑ Καζαντζής, Θεόδωρος Ν. (1977). Πολυώνυμα. Θεσσαλονίκη.
- ↑ Παπαγιάννης, Ορέστης Β. Λυμέναι ασκήσεις άλγεβρας-αναλύσεως: πολυώνυμα. Αθήνα: Λεούσης-Μαστρογιάννης.
- ↑ Ποσταντζής, Δημήτρης (1977). Πολυώνυμα: Μεθοδολογία. Αθήνα.
- ↑ Ρούτσης, Νίκος (1972). Πολυώνυμα. Αθήνα.
- ↑ Μαρμαρίδης, Νικόλαος-Θεοδόσιος (2021). Βασική Θεωρία Galois. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-618-85370-2-6.