Ευκλείδειος χώρος

Ένα σημείο Α στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο μπορεί να ορισθεί από τρεις συντεταγμένες ($x_{1},x_{2},x_{3}$).

Ο Ευκλείδειος χώρος είναι ο θεμελιώδης χώρος της κλασικής γεωμετρίας. Αρχικά ήταν ο τρισδιάστατος χώρος της Ευκλείδειας γεωμετρίας, αλλά στα σύγχρονα μαθηματικά υπάρχουν Ευκλείδειοι χώροι οποιουδήποτε αριθμού (ακέραιου μη αρνητικού) διαστάσεων, συμπεριλαμβανομένου του τρισδιάστατου χώρου και του Ευκλείδειου επιπέδου (δύο διαστάσεων). Εισήχθη ως έννοια από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη της Αλεξάνδρειας και ο χαρακτηρισμός Ευκλείδειος χρησιμοποιείται για να τον διακρίνει από άλλους χώρους που ανακαλύφθηκαν αργότερα στη φυσική και τα σύγχρονα μαθηματικά.

Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες εισήγαγαν την έννοια του Ευκλείδειου χώρου για να περιγράψουν τον χώρο του αντιληπτού φυσικού κόσμου, όπως παρατηρείται στην καθημερινή ζωή, σύμφωνα με την διαίσθηση και την λογική.

Μετά την εισαγωγή των μη Ευκλείδεων γεωμετριών στα τέλη του 19ου αιώνα, παρουσιάστηκε η ανάγκη επαναπροσδιορισμού των Ευκλείδειων χώρων μέσω της αξιωματικής μεθόδου, δηλ. χρησιμοποιώντας θεμελιώδη αξιώματα τα οποία ορίζουν τις ιδιότητες του χώρου. Ένας άλλος ορισμός των Ευκλείδειων χώρων, μέσω των διανυσματικών χώρων και της γραμμικής άλγεβρας, έχει αποδειχθεί ότι είναι ισοδύναμος με τον αξιωματικό ορισμό. Αυτός είναι ο ορισμός που χρησιμοποιείται πιο συχνά στα σύγχρονα μαθηματικά.

Γενικότερα, οι Ευκλείδειοι χώροι αποτελούνται από σημεία, τα οποία καθορίζονται μόνο από τις ιδιότητες που πρέπει να έχουν για να σχηματίσουν έναν Ευκλείδειο χώρο.

Υπάρχει ουσιαστικά μόνο ένας Ευκλείδειος χώρος της κάθε διάστασης, εννοώντας ότι όλοι οι Ευκλείδειοι χώροι μιας δεδομένης διάστασης είναι ισομορφικοί (άρα και ισοδύναμοι) μεταξύ τους. Επομένως, σε πολλές περιπτώσεις, είναι δυνατόν να εργαστούμε σε ένα συγκεκριμένο Ευκλείδειο χώρο, που είναι γενικά ο πραγματικός n-διάστατος χώρος $\mathbb {R} ^{n},$ χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινόμενο. Ένας ισομορφισμός από έναν Ευκλείδειο χώρο στο $\mathbb {R} ^{n}$, συσχετίζει κάθε σημείο με μια ν-άδα (πλειάδα) πραγματικών αριθμών ($x_{1},x_{2},x_{3},...x_{n}$), οι οποίοι ορίζουν αυτό το σημείο στον Ευκλείδειο χώρο και ονομάζονται Καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου.

Ορισμός

Πρέπει να σημειωθεί ότι για τις συντεταγμένες των σημείων του χώρου, στην μαθηματική σημειογραφία συνήθως χρησιμοποιούνται σύμβολα με αριθμητικούς δείκτες, όπως π.χ. $x_{1},x_{2},x_{3},...x_{n}$, και όχι αλφαβητικά σύμβολα του τύπου $x,y,z$ κλπ, διότι απλά ένας Ευκλείδειος χώρος μπορεί έχει περισσότερες διαστάσεις από τον αριθμό γραμμάτων της αλφαβήτου.

O Ευκλείδειος χώρος μπορεί να ορισθεί με διάφορους τρόπους, μερικοί από τους οποίους αναφέρονται παρακάτω:

Κλασική γεωμετρία (αξιώματα του Ευκλείδη)

Στην κλασική γεωμετρία ο Ευκλείδειος χώρος ορίζεται από 5 θεμελιώδη αξιώματα του Ευκλείδη:

1. "Από δύο σημεία διέρχεται μία και μοναδική ευθεία"
2. "Μια πεπερασμένη ευθεία μπορεί να επεκταθεί απεριόριστα"
3. "Ένας κύκλος ορίζεται από ένα κέντρο και μια απόσταση(ακτίνα)"
4. "Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες"
5. Το αξίωμα παραλληλίας: "Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες, τότε αυτές οι δύο αν επεκταθούν επ' αόριστον θα τμηθούν απ' την μεριά που οι εσωτερικές γωνίες που σχηματίζονται έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο κάθετες"

Το τελευταίο αξίωμα επαναδιατυπώθηκε το 1795 από τον Βρετανό μαθηματικό Playfair στο πιο γνωστό σήμερα: "Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μία μόνο ευθεία παράλληλη προς αυτή".

Αξίζει να σημειωθεί ότι αν αγνοηθεί το πέμπτο αξίωμα, τότε προκύπτουν ενδιαφέροντες μη Ευκλείδειοι χώροι μερικοί από τους είναι:

• Ο υπερβολικός χώρος, όπου ο αριθμός των παράλληλων γραμμών (όχι ευθειών) από σημείο είναι άπειρες.
• Ο σφαιρικός χώρος, όπου ο αριθμός των παράλληλων γραμμών (όχι ευθειών) από σημείο είναι μηδέν.
• O χώρος Μινκόβσκι, όπου οι παράλληλες είναι ασυμπτωτικές υπερβολές.

Ευκλείδειος διανυσματικός χώρος

Ένα σημείο Α στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο μπορεί να ορισθεί ως ένα διάνυσμα V. Τα διανύσματα $j_{1},j_{2},j_{3}$ είναι τα μοναδιαία διανύσματα βάσης.

Ένας άλλος τρόπος ορισμού ενός Ευκλείδειου χώρου $\mathbb {R} ^{n}$, είναι να ορίσουμε όλα τα σημεία του χώρου με όρους ορθογώνιων διανυσμάτων βάσης (ορθοκανονική βάση). Η ορθοκανονική βάση είναι ένα σύνολο μοναδιαίων (μήκους 1) διανυσμάτων, πλήθους $n$, τα οποία είναι όλα ορθογώνια μεταξύ τους. Κάθε σημείο στον χώρο μπορεί να ορισθεί ως διάνυσμα ως εξής:

$V=x_{1}j_{1}+x_{2}j_{2}+x_{3}j_{3}+...+x_{n}j_{n}$

ή αλλιώς

$V=\sum _{i=1}^{n}x_{i}j_{i}$

όπου:

$V$ είναι το διάνυσμα που ορίζει το σημείο.

$x_{1},x_{2},x_{3},...x_{n}$ είναι πραγματικοί αριθμοί. Ένας για κάθε διάσταση. Βαθμωτά (δηλ. μονόμετρα) μεγέθη.

$j_{1},j_{2},j_{3},...j_{n}$ είναι τα μοναδιαία διανύσματα βάσης. Ένα για κάθε διάσταση. Διανυσματικά μεγέθη.

Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφθεί και υπό την μορφή γινομένου πινάκων:

$V={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\ ...\ x_{n}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}j_{1}\\j_{2}\\j_{3}\\\vdots \\j_{n}\\\end{bmatrix}}=x_{1}j_{1}+x_{2}j_{2}+x_{3}j_{3}+...+x_{n}j_{n}$

όπου ο πρώτος πίνακας απεικονίζει τις Καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου και ο δεύτερος πίνακας αποτελεί την βάση του χώρου.

Αν θεωρήσουμε δύο βαθμωτά μεγέθη α, β και τρία διανύσματα u ,v και w, τότε ένας χώρος για να είναι Ευκλείδειος πρέπει να ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα:

Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης διανυσμάτων	u + (v + w) = (u + v) + w
Αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης διανυσμάτων	v + w = w + v
Ταυτοτικό στοιχείο της πρόσθεσης διανυσμάτων	v + 0 = v
Αντίθετο στοιχείο της πρόσθεσης διανυσμάτων	−v, έτσι ώστε v + (−v)=0
Επιμεριστική ιδιότητα σε σχέση με την πρόσθεση διανυσμάτων	α(u + v) = αu + αv
Συμβατότητα του βαθμωτού πολλαπλασιασμού με τον πολλαπλασιασμό πεδίων	α(βv) = (αβ)v
Ταυτοτικό στοιχείο του βαθμωτού πολλαπλασιασμού	1v = v

Πρέπει να σημειωθεί ότι όλες οι παραπάνω εξισώσεις είναι γραμμικές (δηλ. της μορφής y=ax+b). Για αυτόν τον λόγο ο Ευκλείδειος χώρος χαρακτηρίζεται ως γραμμικός χώρος.

Ιδιότητες του Ευκλείδειου χώρου

Άλλος ένας τρόπος ορισμού του Ευκλείδειου χώρου $\mathbb {R} ^{n}$ είναι βάσει των ιδιοτήτων του. Ένας χώρος μπορεί να χαρακτηριστεί ως Ευκλείδειος εφόσον διαθέτει τις παρακάτω ιδιότητες:

• Δεν υπάρχει προτιμώμενο σημείο αναφοράς (δηλ. αρχής των αξόνων). Οποιοδήποτε σημείο του χώρου είναι το ίδιο κατάλληλο με οποιοδήποτε άλλο σημείο του χώρου ως επιλογή σημείου αναφοράς.
• Δεν υπάρχει προτιμώμενη διεύθυνση του χώρου. Ο χώρος μπορεί να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση.
• Δεν υπάρχει συγκεκριμένος τρόπος ορισμού ενός σημείου στο άπειρο.
• Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων $p$ και $q$, με συντεταγμένες $p=(x_{1},x_{2},x_{3},...x_{n})$ και $q=(y_{1},y_{2},y_{3},...y_{n})$, ορίζεται από την σχέση:

$|p-q|={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}+...+(x_{n}-y_{n})^{2}}}$

ή αλλιώς $|p-q|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$

• Είναι επίπεδος χώρος. Δηλ. ισχύει το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη (αξίωμα παραλληλίας) και το Πυθαγόρειο θεώρημα.
• Είναι γραμμικός χώρος (όπως ήδη αναφέρθηκε παραπάνω).
• Είναι συνεχής. Δηλ. είναι παραγωγίσιμος σε κάθε σημείο του.

Βιβλιογραφία

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th έκδοση), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0  Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th έκδοση), New York: John Wiley & Sons|Wiley, ISBN 0-471-84819-0 
• Artin, Emil (1988), Geometric Algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., σελ. x+214, doi:10.1002/9781118164518, ISBN 0-471-60839-4  Artin, Emil (1988), Geometric Algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., σελ. x+214, doi:10.1002/9781118164518, ISBN 0-471-60839-4  Artin, Emil (1988), Geometric Algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., σελ. x+214, doi:10.1002/9781118164518, ISBN 0-471-60839-4 
• Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (4th έκδοση). Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0.  Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (4th έκδοση). Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0.  Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (4th έκδοση). Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0. 
• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3  Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3 
• Coxeter, H.S.M. (1973) [1948]. Regular Polytopes (3rd έκδοση). New York: Dover. Schläfli ... discovered them before 1853 -- a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived of the possibility of geometry in more than three dimensions. 
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Euclidean Space", Hazewinkel, Michiel (ed.), Εγκυκλοπαίδεια των Μαθηματικών, Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN   Solomentsev, E.D. (2001) [1994],