Ανοικτό σύνολο

Παράδειγμα: Ο μπλε κύκλος αντιπροσωπεύει το σύνολο των σημείων (x ,y) που ικανοποιούν το x² + y² = r². Ο κόκκινος δίσκος αντιπροσωπεύει το σύνολο των σημείων (x ,y) που ικανοποιούν το x² + y² < r². Το κόκκινο σύνολο είναι ένα ανοιχτό σύνολο, το μπλε σύνολο είναι το σύνορό του και η ένωση των κόκκινων και μπλε συνόλων είναι ένα κλειστό σύνολο.

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στην τοπολογία, ένα ανοικτό σύνολο είναι μια αφηρημένη έννοια που γενικεύει την ιδέα ενός ανοικτού διαστήματος στην πραγματική γραμμή. Το απλούστερο παράδειγμα είναι στους μετρικούς χώρους όπου ανοικτά σύνολα μπορούν να οριστούν ως εκείνα τα σύνολα που περιέχουν μια σφαίρα γύρω από κάθε ένα από τα σημεία τους (ή, ισοδύναμα, ένα σετ είναι ανοιχτό αν δεν περιέχει κανένα από τα όρια του). Ωστόσο, ένα ανοιχτό σύνολο γενικά μπορεί να είναι πολύ αφηρημένο: κάθε συλλογή συνόλων μπορεί να ονομαστεί ανοιχτή, αρκεί να είναι ανοιχτή η ένωση ενός αυθαίρετου αριθμού ανοιχτών συνόλων, η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ανοικτή, και ο ίδιος ο χώρος είναι ανοιχτός. Αυτές οι συνθήκες είναι πολύ χαλαρές και επιτρέπουν τεράστια ευελιξία στην επιλογή των ανοικτών συνόλων. Στις δύο ακραίες περιπτώσεις, κάθε σετ μπορεί να είναι ανοιχτό (που ονομάζεται διακριτή τοπολογία), ή κανένα σύνολο δεν μπορεί να είναι ανοιχτό εκτός από τον ίδιο τον χώρο και το κενό σύνολο (η αδιάκριτη τοπολογία).

Στην πράξη, ωστόσο, τα ανοιχτά σύνολα επιλέγονται συνήθως να είναι παρόμοια με τα ανοιχτά διαστήματα της πραγματικής γραμμής. Η έννοια ενός ανοιχτού συνόλου παρέχει έναν θεμελιώδη τρόπο στο να μιλάμε για την εγγύτητα των σημείων σε ένα τοπολογικό χώρο, χωρίς να έχουμε ρητά οριστεί μια έννοια της απόστασης. Μόλις γίνει μια επιλογή ανοιχτών συνόλων, οι ιδιότητες της συνέχειας, της συνεκτικότητας και της συμπάγειας, οι οποίες χρησιμοποιούν τις έννοιες της εγγύτητας, μπορούν να οριστούν χρησιμοποιώντας αυτά τα ανοικτά σύνολα.

Κάθε επιλογή ανοιχτών συνόλων για έναν χώρο ονομάζεται τοπολογία. Παρόλο που τα ανοιχτά σύνολα και οι τοπολογίες που συνιστούν έχουν κεντρική σημασία στην γενική τοπολογία, χρησιμοποιούνται επίσης ως οργανωτικό εργαλείο σε άλλους σημαντικούς κλάδους των μαθηματικών. Παραδείγματα τοπολογιών περιλαμβάνουν την τοπολογία Ζαρίσκι στην αλγεβρική γεωμετρία που αντικατοπτρίζει την αλγεβρική φύση των ποικιλιών και την τοπολογία σε μια διαφορική πολλαπλότητα στη διαφορική τοπολογία όπου κάθε σημείο εντός του χώρου περιέχεται σε ένα ανοιχτό σύνολο που είναι ομοιομορφικό με μια ανοιχτή μπάλα σε ένα ευκλείδειο χώρο πεπερασμένης διάστασης.

Κίνητρο

Διαισθητικά, ένα ανοιχτό σύνολο παρέχει μια μέθοδο για την διάκριση δύο σημείων. Για παράδειγμα, εάν γύρω από ένα σημείο σε ένα τοπολογικό χώρο υπάρχει μια ανοικτό σύνολο που δεν περιέχει άλλο (διακριτό) σημείο, τα δύο σημεία αναφέρονται ως τοπολογικά διακριτά. Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να μιλάμε για το αν δύο υποσύνολα ενός τοπολογικού χώρου είναι "κοντά" χωρίς συγκεκριμένα να ορίσουμε μια μετρική στον τοπολογικό χώρο. Επομένως, οι τοπολογικοί χώροι μπορούν να θεωρηθούν ως γενίκευση των μετρικών χώρων.

Στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, κάποιος έχει τη φυσική ευκλείδεια μετρική. δηλαδή, μια συνάρτηση που μετρά την απόσταση μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών: d(x ,y) = |x-y|. Επομένως, δεδομένου ενός πραγματικού αριθμού, μπορεί κανείς να μιλήσει για το σύνολο όλων των σημείων κοντά στον εν λόγω πραγματικό αριθμό. δηλαδή, εντός της απόστασης ε από αυτόν τον πραγματικό αριθμό (θα αναφερόμαστε σε αυτόν τον πραγματικό αριθμό ως x ). Στην ουσία, τα σημεία με απόσταση μικρότερη του ε από το x, προσεγγίζουν τον x σε ακρίβεια βαθμού ε. Σημειώστε ότι πάντα ε> 0, αλλά όσο το ε γίνεται μικρότερο, παίρνουμε σημεία που προσεγγίζουν το x σε υψηλότερο βαθμό ακρίβειας. Για παράδειγμα, αν x = 0 και ε = 1, τα σημεία με απόσταση μικρότερη του ε από το x είναι ακριβώς τα σημεία του διαστήματος (-1, 1), δηλαδή, το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών μεταξύ -1 και 1. Ωστόσο, με ε = 0,5, τα σημεία με απόσταση μικρότερη του ε από το x είναι ακριβώς τα σημεία του (-0,5, 0,5). Είναι σαφές ότι αυτά τα σημεία προσεγγίζουν το x με μεγαλύτερο βαθμό ακρίβειας σε σχέση με το ε = 1 που είχαμε επιλέξει προηγουμένως.

Η προηγούμενη συζήτηση δείχνει, για την περίπτωση x = 0, ότι κάποιος μπορεί να προσεγγίσει το x σε υψηλότερους βαθμούς ακρίβειας ορίζοντας το ε να είναι μικρότερο. Συγκεκριμένα, τα σύνολα της μορφής (-ε, ε) μας δίνουν πολλές πληροφορίες σχετικά με τα σημεία κοντά στο x = 0. Έτσι, αντί να μιλάμε για μια συγκεκριμένη ευκλείδεια μετρική, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει σύνολα για να περιγράψει σημεία κοντά στο x. Αυτή η καινοτόμος ιδέα έχει σοβαρές συνέπειες. Συγκεκριμένα, ορίζοντας διαφορετικές συλλογές συνόλων που περιέχουν 0 (διαφορετικές από τα σύνολα (-ε, ε)), μπορεί να βρεθούν διαφορετικά αποτελέσματα όσον αφορά την απόσταση μεταξύ 0 και άλλων πραγματικών αριθμών. Παραδείγματος χάριν, εάν ορίσουμε το R ως το μοναδικό σετ για «μέτρηση της απόστασης», όλα τα σημεία είναι κοντά στο 0 δεδομένου ότι υπάρχει μόνο ένας πιθανός βαθμός ακρίβειας που μπορεί να επιτευχθεί στην προσέγγιση 0: το να ανήκει στο R. Έτσι, διαπιστώνουμε ότι κατά κάποιον τρόπο, κάθε πραγματικός αριθμός είναι σε απόσταση 0 από το 0. Μπορεί να βοηθήσει στην περίπτωση αυτή να σκεφτούμε το μέτρο ως δυαδική συνθήκη, όλα τα πράγματα στο R είναι εξίσου κοντά στο 0, ενώ οποιοδήποτε στοιχείο που δεν βρίσκεται στο R δεν είναι κοντά στο 0.

Γενικά, αναφέρουμε την οικογένεια συνόλων που περιέχουν το 0, που χρησιμοποιείται για την προσέγγιση 0, ως βάση γειτονιών. Ένα μέλος αυτής της βάσης αναφέρεται ως ανοιχτό σύνολο. Στην πραγματικότητα, κάποιος μπορεί να γενικεύσει αυτές τις έννοιες σε ένα αυθαίρετο σύνολο Χ, και όχι μόνο τους πραγματικούς αριθμούς. Σε αυτή την περίπτωση, δεδομένου ενός σημείου x αυτού του σετ, μπορεί να οριστεί μια συλλογή από σύνολα "γύρω" από το(δηλαδή, που περιέχουν το) x, που χρησιμοποιείται για την προσέγγιση του x. Φυσικά, αυτή η συλλογή θα πρέπει να ικανοποιεί ορισμένες ιδιότητες (γνωστές ως αξιώματα) γιατί αλλιώς μπορεί να μην έχουμε μια καλά καθορισμένη μέθοδο μέτρησης της απόστασης. Για παράδειγμα, κάθε σημείο στο X πρέπει να προσεγγίζει το x σε κάποιο βαθμό ακρίβειας. Έτσι το X πρέπει να είναι σε αυτή την οικογένεια. Αφού αρχίσουμε να ορίζουμε "μικρότερα" σύνολα που περιέχουν το x, τείνουμε να προσεγγίζουμε το x σε μεγαλύτερο βαθμό ακρίβειας. Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, μπορεί κανείς να ορίσει τα εναπομείναντα αξιώματα που πρέπει να ικανοποιήσει η οικογένεια των συνόλων γύρω από το x.