Κλειστότητα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε

Ενδογραμμικά

Έκδοση από την 09:01, 18 Ιουλίου 2022

Περιγραφικά, μπορούμε να ορίσουμε την ιδιότητα της κλειστότητας σε μια πράξη που έχει οριστεί σε ένα σύνολο ως έξης :

Για κάθε ζεύγος στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο και έχουν σαν αποτέλεσμα της πράξης ένα στοιχείο, το στοιχείο αυτό ανήκει επίσης στο σύνολο.

Πιο αυστηρά με συμβολισμούς:^[1]

Έστω ένα σύνολο

S

, μία δυαδική πράξη

\cdot

στο σύνολο (δηλαδή

\cdot :S\times S\to S

) και ένα σύνολο

H\subseteq S

. Τότε το

(H,\cdot )

ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας ανν

\forall a,b\in H.a\cdot b\in H

.

Τότε λέμε ότι το $H$ είναι κλειστό ως προς την πράξη $\cdot$ .^[2]

Παραδείγματα

Το $(\mathbb {Z} ,-)$ δηλαδή οι ακέραιοι με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς κάθε ακέραιος έχει έναν ακέραιο αντίστροφο.
Το $(\mathbb {N} ,-)$ δηλαδή οι φυσικοί αριθμοί με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους δεν ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς για παράδειγμα $3-5=-2$ , που δεν ανήκει στο $\mathbb {N}$ .
Έστω $H=\{2k:k\in \mathbb {N} \}$ , το σύνολο των ζυγών φυσικών αριθμών και $+$ η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το $(H,+)$ ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο ζυγών είναι ζυγός.
Έστω $H=\{k^{3}:k\in \mathbb {N} \}$ , το σύνολο των κύβων φυσικών αριθμών και $+$ η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το $(H,+)$ δεν ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο κύβων δεν είναι κατά ανάγκη κύβος είναι κύβος (π.χ. $1^{3}+2^{3}=9$ που δεν είναι κύβος).
Εξ'ορισμού σε κάθε μονοειδές, ομάδα, σώμα, δακτύλιο, το σύνολο μαζί με τις αντίστοιχες πράξεις ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας.

Παραπομπές

↑ Fraleigh, John B. (2013). A first course in abstract algebra (Seventh έκδοση). Harlow, Essex: Pearson Education. σελ. 21. ISBN 9781292037592.
↑ Μαρμαρίδης, Νίκος. «Σημειώσεις στην Θεωρία Δακτυλίων» (PDF). Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. σελ. 1. Ανακτήθηκε στις 18 Ιουλίου 2022.

[1] Fraleigh, John B. (2013). A first course in abstract algebra (Seventh έκδοση). Harlow, Essex: Pearson Education. σελ. 21. ISBN 9781292037592.

[2] Μαρμαρίδης, Νίκος. «Σημειώσεις στην Θεωρία Δακτυλίων» (PDF). Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. σελ. 1. Ανακτήθηκε στις 18 Ιουλίου 2022.

[1]

[2]

@@ Γραμμή 1: / Γραμμή 1: @@
-Απλά και περιγραφικά μπορούμε να ορίσουμε την ιδιότητα της '''κλειστότητας''' σε μια πράξη που έχει οριστεί σε ένα [[σύνολο]] ως έξης :
+Περιγραφικά, μπορούμε να ορίσουμε την ιδιότητα της '''κλειστότητας''' σε μια πράξη που έχει οριστεί σε ένα [[σύνολο]] ως έξης :
-:Για κάθε ζεύγος στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο της ομάδος και έχουν σαν αποτέλεσμα της πράξης ένα στοιχείο, το στοιχείο αυτό ανήκει επίσης στο σύνολο της ομάδος
+:Για κάθε ζεύγος στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο και έχουν σαν αποτέλεσμα της πράξης ένα στοιχείο, το στοιχείο αυτό ανήκει επίσης στο σύνολο.
-Πιο αυστηρά με συμβολισμούς:
+Πιο αυστηρά με συμβολισμούς:<ref>{{cite book |last=Fraleigh |first=John B. |title=A first course in abstract algebra |year=2013 |publisher=Pearson Education |location=Harlow, Essex |isbn=9781292037592 |pages=21 |edition=Seventh}}</ref>
+:Έστω ένα σύνολο <math>S</math>, μία [[Δυαδική πράξη|δυαδική πράξη]] <math>\cdot</math> στο σύνολο (δηλαδή <math>\cdot : S \times S \to S</math>) και ένα σύνολο <math>H \subseteq S</math>. Τότε το <math>(H , \cdot)</math> ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας ανν
-:Έστω <math>(G , \cdot)</math> ένα σύνολο και μια πράξη δηλαδή καλώς ορισμένη συνάρτηση  f:●(GXG)→G
+::<math>\forall a, b \in H. a \cdot b \in H</math>.
+Τότε λέμε ότι το <math>H</math> είναι '''κλειστό ως προς''' την πράξη <math>\cdot</math>.<ref>{{cite web |last=Μαρμαρίδης |first=Νίκος |title=Σημειώσεις στην Θεωρία Δακτυλίων |url=http://users.uoi.gr/abeligia/RingTheory2020/RingTheory_NM.pdf |publisher=Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων |accessdate=18 Ιουλίου 2022 |pages=1}}</ref>
+== Παραδείγματα ==
-Αν  ꓯ( α , β ) є (GXG)→α●β є G
+* Το <math>(\Z, -)</math> δηλαδή οι ακέραιοι με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς κάθε ακέραιος έχει έναν ακέραιο [[Αντίστροφος|αντίστροφο]].
+* Το <math>(\N, -)</math> δηλαδή οι φυσικοί αριθμοί με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους '''δεν''' ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς για παράδειγμα <math>3 - 5 = -2</math>, που δεν ανήκει στο <math>\N</math>.
+* Έστω <math>H = \{ 2k : k \in \N \}</math>, το σύνολο των ζυγών φυσικών αριθμών και <math>+</math> η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το <math>(H, +)</math> ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο ζυγών είναι ζυγός.
+* Έστω <math>H = \{ k^3 : k \in \N \}</math>, το σύνολο των [[Κύβος (άλγεβρα)|κύβων]] φυσικών αριθμών και <math>+</math> η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το <math>(H, +)</math> '''δεν''' ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο κύβων δεν είναι κατά ανάγκη κύβος είναι κύβος (π.χ. <math>1^3 + 2^3 = 9</math> που δεν είναι κύβος).
+* Εξ'ορισμού σε κάθε [[Μονοειδές|μονοειδές]], [[Ομάδα|ομάδα]], [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]], [[Δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιο]], το σύνολο μαζί με τις αντίστοιχες πράξεις ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας.
+== Παραπομπές ==
+<references/>
 [[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]]