Ευκλείδεια μετρική: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε

Ενδογραμμικά

Τρέχουσα έκδοση από την 16:13, 19 Ιανουαρίου 2022

Η ευκλείδεια μετρική είναι η συνάρτηση $d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} \,$ που αντιστοιχεί σε δύο διανύσματα $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \,$ του $n-$ διάστατου διανυσματικού χώρου $\mathbb {R} ^{n}\,$ , $\mathbf {x} =\{x_{1},\dots ,x_{n}\},\mathbf {y} =\{y_{1},\dots ,y_{n}\}\,$ στον αριθμό

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+(y_{2}-x_{2})^{2}+\dots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-x_{i})^{2}}}.

Η συνάρτηση μετράει τη "συνήθη" (ευκλείδεια) απόσταση μεταξύ δύο σημείων στον επίπεδο , $n-$ διάστατο χώρο κάνοντας επανειλημμένη χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Ειδικές Περιπτώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία διάσταση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο για δύο μονοδιάστατα σημεία $P=(p_{x})\,$ και $Q=(q_{x})\,$ , η ευκλείδεια απόσταση είναι:

{\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|

Δύο διαστάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για δύο δισδιάστατα σημεία στο επίπεδο, $P=(p_{x},p_{y})\,$ και $Q=(q_{x},q_{y})\,$ , η ευκλείδεια απόσταση είναι:

{\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

@@ Γραμμή 1: / Γραμμή 1: @@
+{{χωρίς παραπομπές}}Η '''ευκλείδεια [[Μετρική (μαθηματικά)|μετρική]]''' είναι η συνάρτηση <math> d:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}\,</math> που αντιστοιχεί σε δύο [[διάνυσμα|διανύσματα]] <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}\,</math>του <math>n-</math>διάστατου [[διανυσματικός χώρος|διανυσματικού χώρου]]  <math>\mathbb{R}^n\,</math>,  <math>\mathbf{x}=\{x_1, \dots, x_n\}, \mathbf{y}=\{y_1, \dots, y_n\}\,</math> στον αριθμό<center><math>d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+\dots + (y_n-x_n)^2}= \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i-x_i)^2}.</math></center> Η συνάρτηση μετράει τη "συνήθη" (ευκλείδεια) απόσταση μεταξύ δύο [[Σημείο|σημείων]] στον επίπεδο , <math>n-</math>διάστατο χώρο κάνοντας επανειλημμένη χρήση του [[Πυθαγόρειο Θεώρημα|Πυθαγόρειου θεωρήματος]].
-{{χωρίς παραπομπές}}
-{{μορφοποίηση}}
-== Ορισμός ==
-Η '''ευκλείδεια [[Μετρική (μαθηματικά)|μετρική]]''' είναι μία συνάρτηση:
-<math> d:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}\,</math> που αντιστοιχεί σε δύο [[διάνυσμα|διανύσματα]] <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}\,</math>του <math>n-</math>διάστατου [[διανυσματικός χώρος|διανυσματικού χώρου]]  <math>\mathbb{R}^n\,</math>,  <math>\mathbf{x}=\{x_1, \dots, x_n\}, \mathbf{y}=\{y_1, \dots, y_n\}\,</math> τον αριθμό
-<center><math>d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+\dots + (y_n-x_n)^2}= \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i-x_i)^2}.</math></center> Η συνάρτηση μετράει τη "συνήθη"(Ευκλείδεια) απόσταση μεταξύ δύο [[Σημείο|σημείων]] στον επίπεδο , <math>n-</math>διάστατο χώρο κάνοντας επανειλημμένη χρήση του [[Πυθαγόρειο Θεώρημα|Πυθαγόρειου θεωρήματος]].
 == Ειδικές Περιπτώσεις ==
 === Μία διάσταση ===
-Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο για δύο μονοδιάστατα σημεία <math>P=(p_x)\,</math> και <math>Q=(q_x)\,</math>, η Ευκλείδεια απόσταση είναι:
+Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο για δύο μονοδιάστατα σημεία <math>P=(p_x)\,</math> και <math>Q=(q_x)\,</math>, η ευκλείδεια απόσταση είναι:
 :<math>\sqrt{(p_x-q_x)^2} = | p_x-q_x |</math>
 === Δύο διαστάσεις ===
-Για δύο δισδιάστατα σημεία στο επίπεδο, <math>P=(p_x,p_y)\,</math> και <math>Q=(q_x,q_y)\,</math>, η Ευκλείδεια απόσταση είναι:
+Για δύο δισδιάστατα σημεία στο επίπεδο, <math>P=(p_x,p_y)\,</math> και <math>Q=(q_x,q_y)\,</math>, η ευκλείδεια απόσταση είναι:
 :<math>\sqrt{(p_x-q_x)^2 + (p_y-q_y)^2}</math>