Θεωρία αριθμών

Θεωρία Αριθμών είναι ο κλάδος των Θεωρητικών μαθηματικών, που ασχολείται με τις ιδιότητες των ακεραίων αριθμών, καθώς και με προβλήματα που προκύπτουν από τη μελέτη αυτή.

Ανάλογα από το είδος των προβλημάτων και από τις μεθόδους επίλυσής τους η Θεωρία Αριθμών χωρίζεται σε επιμέρους κλάδους.

Η Θεωρία Αριθμών, από τη σκοπιά του ευρύτερου κλάδου της Άλγεβρας, συχνά αποκαλείται ως Αριθμητική.

Σημαντικοί κλάδοι της θεωρίας αριθμών είναι η Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών, η Αναλυτική Θεωρία Αριθμών, η Γεωμετρική Θεωρία Αριθμών, η Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και η Πιθανοθεωρητική Θεωρία Αριθμών.

Η Στοιχειώδης Θεωρία Αριθμών ασχολείται με τη μελέτη του δακτυλίου των ακεραίων αριθμών και επεκτάσεών του χωρίς όμως τη χρήση εργαλείων από άλλους κλάδους των μαθηματικών.

Σημαντικά θεωρήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι το Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής, το Μικρό θεώρημα του Φερμά, το θεώρημα του Όιλερ και το Κινεζικό Θεώρημα Υπολοίπων. Εξέχουσα θέση κατέχει επίσης το έργο του γερμανού μαθηματικού επιστήμονα Καρλ Φρίντριχ Γκάους, το οποίο αποτέλεσε τομή στην Ιστορία των Μαθηματικών.

Βασικό αντικείμενο μελέτης της θεωρίας αριθμών είναι οι πρώτοι αριθμοί.

Η θεωρία αριθμών βρίσκει ευρεία εφαρμογή στην Κρυπτογραφία.

Ο γνωστός και διακεκριμένος μαθηματικός Καρλ Φρίντριχ Γκάους, ανέφερε ότι «τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η θεωρία αριθμών η βασίλισσα των μαθηματικών».

Κριτήρια διαιρετότητας

Η μελέτη της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών μπορεί να μας δώσει κάποια κριτήρια διαιρετότητας για τους ακεραίους. Για παράδειγμα ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν το τελευταίο του ψηφίο διαιρείται με το 5, δηλ. είναι 0 ή 5. Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 (είναι άρτιος) αν το τελευταίο του ψηφίο διαιρείται με το 2, δηλ. είναι 0, 2, 4, 6, 8. Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 αν τα δύο τελευταία του ψηφία διαιρούνται με το 4· με το 8 αν τα τρία τελευταία του ψηφία διαιρούνται με το 8.

Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 3 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Αντίστοιχο κριτήριο ισχύει και για το 9.

Ένας αριθμός διαιρείται με το 7 αν: αποσπάσουμε το τελευταίο ψηφίο και αφαιρέσουμε το διπλάσιό του από τον αριθμό που σχηματίζεται από τα ψηφία που έμειναν και δούμε ότι είναι πολλαπλάσιο του 7. Για παράδειγμα, το 5537 διαιρείται με το 7; διπλασιάζω το τελευταίο ψηφίο 7 και το αφαιρώ από το 553: 553 - 7 x 2 = 539. Το 539 διαιρείται με το 7; 53 - 9 x 2 = 35. To 35 διαιρείται με το 7; ναι, άρα και το 539, όπως και το 5537. Το αποτελέσμα πρέπει να είναι σε απολύτη τιμή διότι αν θέλουμε να ακολουθήσουμε την παραπάνω διαδικασία με το αριθμό 119 για παράδειγμα, έχουμε 9 x 2 = 18. Άρα πρέπει απο το υπόλοιπο του αριθμού (δηλαδή το 11) να αφαιρέσουμε το 18, όμως 11 - 18 = -7. Άρα στην εξίσωση το υπόλοιπο μπαίνει σε απόλυτη τιμή. (11 - 18 = |-7| => |-7| = 7, όπου ναι το 7 διαιρείται με τον εαυτό του)

Ένας αριθμός διαιρείται με το 6 αν διαιρείται με το 2 και με το 3. Όμοια για τους σύνθετους αριθμούς· ώστε αρκεί να βρούμε κριτήρια για τους πρώτους αριθμούς. Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν τα ψηφία του προστεθούν και αφαιρεθούν εναλλάξ και ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 11. Για παράδειγμα το 613261 δίνει +6-1+3-2+6-1 = 11, που διαιρείται με το 11, άρα και ο αρχικός αριθμός.

Τα κριτήρια αυτά μας βοηθάνε να κάνουμε υπολογισμούς χρήσιμους στη Θεωρία Αριθμών ταχύτερα.