Παραγοντικό

Στα μαθηματικά τo παραγοντικό ενός φυσικού αριθμού ν συμβολίζεται με ν!, διαβάζεται νι παραγοντικό, και είναι το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων με ν.

ν! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ ν

Για παράδειγμα,

2!=1·2= 2

3!=1·2·3= 6

4!=1·2·3·4= 24

5!=1·2·3·4·5= 120

8!=1·2·3·4·5·6·7·8= 40.320

10!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10= 3.628.800

12!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12= 479.001.600

Το παραγοντικό ενός αριθμού ν εκφράζει και το πλήθος των δυνατών μεταθέσεων των ν στοιχείων ενός συνόλου, δηλαδή το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να βάλουμε σε μια σειρά τα ν στοιχεία ενός συνόλου.

• Συμβατικά 0! = 1! = 1
• Ισχύει η σχέση ν! = (ν-1)! ∙ ν.

Από τους τετραγωνιστές του κύκλου Λ.Σ. και Χ.Τ.

Υπάρχει η σχέση : (απόδειξη ότι το 0!=1)

4!=5!/5=24

3!=4!/4=6

2!=3!/3=2

1!=2!/2=1

0!=1!/1=1

Επιπλέον θέσαμε ένα νέο παραγοντικό ενός αριθμού ν που εκφράζει το άθροισμα των αριθμών που πολλαπλασιάζονται για να υπάρξει το ν! Το συμβολίζουμε με το ανάποδο θαυμαστικό ¡

ν¡=ν+(ν-1)+(ν-2)+3+2+1

Έτσι έχουμε:

1¡=1

2¡=3

3¡=6

4¡=10

5¡=15

6¡=21

7¡=28

Διαπιστώνουμε ότι: 3!=1*2*3=6=1+2+3=3¡

Επίσης αποδεικνύεται ότι ν!= (ν+1)!/(ν+1)

Για παράδειγμα 5!=5*4*3*2*!=120 Βάσει της προηγούμενης σχέσης πράγματι αποδεικνύεται πως 5!=6!/6=6*5*4*3*2*!/6=6*120/6=120

Βάσει της παραπάνω σχέσης βλέπουμε πως πράγματι 0!=1 όπως είχαμε προαναφέρει καθώς 0!=1!/1=1/1=1

Υπάρχει στη συνέχεια ένας παρόμοιος όρος για έναν φυσικό αριθμό ο οποίος συμβολίζεται με !ν και διαβάζεται νι αντιπαραγοντικό.Αντιστοιχεί στο πηλίκο όλων των ακέραιων θετικών αριθμών μικρότερων ή ίσων με ν.

!ν=1/1•1/2•1/3...•1/ν

Για παράδειγμα,

!2=1•1/2=0.5

!3=1•1/2•1/3=0.166666667

!4=1•1/2•1/3•1/4=0.0416666668

Όπως παρατηρούμε οι αριθμοί αυτοί δεν ευννοούν στις πράξεις συνεπώς δεν χρησιμοποιούνται συχνά.

•Ισχύει ν!•!ν=1

αφού ν!•!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]•[1•(1/ν-χ)•...•(1/ν-2)•(1/ν-1)•(1/ν)] ή ν!•!ν=1•1 ή ν!•!ν=1

•Ισχύει ν!/!ν=ν!^2

αφού ν!/!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]÷[1•(1/ν-χ)•...•(1/ν-2)•(1/ν-1)•(1/ν)] ή ν!/!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]÷[1/[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]] μετατρέπουμε το σύνθετο κλάσμα σε απλό άρα θα έχουμε

ν!/!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]•[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν] ή ν!/!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]^2 ή ν!/!ν=ν!^2 •Συμβατικά !0=!1=1

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Παραγοντικό (N≤40000)