Αρμονική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, τη μαθηματική φυσική και στη θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών, μια αρμονική συνάρτηση είναι μια διπλά συνεχής διαφορική συνάρτηση f:U→R (όπου U ένα ανοικτό υποσύνολο του Rⁿ), η οποία ικανοποιεί την εξίσωση Λαπλας π.χ

${\partial ^{2}f \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial x_{2}^{2}}+...+{\partial ^{2}f \over \partial x_{n}^{2}}=0$ ,παντού στο U.

Αυτό συνήθως γράφεται ως: $\nabla \ ^{2}f=0$ ή $\bigtriangleup f=0$.

Ετυμολογία του όρου "αρμονική"

Ο όρος "αρμονική" στην ονομασία αρμονική συνάρτηση προέρχεται από την αρμονική κίνηση στην οποία υποβάλλεται ένα σημείο σε μια τεντωμένη χορδή. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης για αυτόν τον τύπο κίνησης μπορεί να εκφραστεί με όρους ημιτόνων και συνημιτόνων, συναρτήσεις δηλαδή που αναφέρονται ως αρμονικές. Η ανάλυση Φουριέ περιλαμβάνει επεκταμένες περιοδικές συναρτήσεις στο μοναδιαίο κύκλο με όρους μιας σειράς αυτών των αρμονικών συναρτήσεων. Αναλογιζόμενοι υψηλότερης τάξης αναλογίες των αρμονικών στη μοναδιαία n-σφαίρα, έχουμε τις σφαιρικές αρμονικές. Οι συναρτήσεις αυτές ικανοποιούν την εξίσωση του Λαπλάς, για αυτό και με την πάροδο του χρόνου, ο όρος "αρμονική" κατέληξε να αναφέρεται σε όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση Λαπλάς.

Παραδείγματα

Παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων με δύο μεταβλητές είναι:

• Το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος μιας ολόμορφης συνάρτησης
• Η συνάρτηση $\,\!f(x,y)=e^{x}\sin y$, αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του παραπάνω παραδείγματος, καθώς $f(x,y)=\operatorname {Im} (e^{x+iy})$ και να $e^{x+iy}$ είναι ολόμορφη συνάρτηση.
• Η συνάρτηση

$\,\!f(x_{1},x_{2})=\ln(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$

ορίζεται $\mathbb {R} ^{2}\setminus \lbrace 0\rbrace$ (π. χ. το ηλεκτρικό δυναμικό που οφείλεται σε μια γραμμή, και το δυναμικό βαρύτητας που οφείλεται σε μια μεγάλη κυλινδρική μάζα).

Παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων τριών μεταβλητών δίνονται στον παρακάτω πίνακα με $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$:

Συνάρτηση	Σημείο Ανωμαλίας
${\frac {1}{r}}$	Μοναδιαίο σημειακό φορτίο στην αρχή των αξόνων
${\frac {x}{r^{3}}}$	x-προσανατολισμένο δίπολο στην αρχή των αξόνων
$-\ln(r^{2}-z^{2})\,$	Ευθεία μοναδιαίας πυκνότητας φορτίου σε ολόκληρο το z-άξονα
$-\ln(r+z)\,$	Ευθεία μοναδιαίας πυκνότητας φορτίου στον αρνητικό z-άξονα
${\frac {x}{r^{2}-z^{2}}}\,$	Ευθεία x-προσανατολισμένων διπόλων σε ολόκληρο τον άξονα z
${\frac {x}{r(r+z)}}\,$	Ευθεία x-προσανατολισμένων διπόλων στον αρνητικό άξονα z

Αρμονικές συναρτήσεις που προκύπτουν στη φυσική προσδιορίζονται από τα ανώμαλα σημεία και τις συνοριακές συνθήκες (όπως είναι οι οριακές συνθήκες Dirichlet ή οι Neumann οριακές συνθήκες). Στις περιοχές χωρίς όρια, προσθέτοντας το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος κάθε συνάρτησης παράγεται μια αρμονική συνάρτηση με το ίδιο ανώμαλο σημείο. Σε αυτή την περίπτωση, η αρμονική συνάρτηση δεν καθορίζεται από το ανώμαλο σημείο της, ωστόσο, μπορούμε να κάνουμε τη λύση μοναδική  σε φυσικές καταστάσεις, απαιτώντας ότι η λύση τείνει στο 0, τείνοντας στο άπειρο. Η μοναδικότητα προκύπτει από το θεώρημα του Liouville.

Τα ανώμαλα σημεία των παραπάνω αρμονικών συναρτήσεων εκφράζονται ως "φορτία" και "πυκνότητες φορτίων" χρησιμοποιώντας την ορολογία της ηλεκτροστατικής. Έτσι η αντίστοιχη αρμονική συνάρτηση θα είναι ανάλογη με το ηλεκτροστατικό δυναμικό λόγω αυτών των κατανομών του φορτίου. Κάθε ανωτέρω συνάρτηση όταν πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά, που περιστρέφεται, ή/και μια σταθερά που προστίθεται, θα παράξει μια άλλη αρμονική συνάρτηση. Η αντιστροφή κάθε συνάρτησης, θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση η οποία έχει ανώμαλα σημεία της εικόνες των αρχικών ανώμαλων σημείων σε ένα σφαιρικό "καθρέφτη". Ακόμη, το άθροισμα δύο αρμονικών συναρτήσεων θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση.

Τέλος, παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων n μεταβλητών είναι:

• Οι σταθερές, γραμμικές και συναφής συναρτήσεις σε όλο το Rⁿ (για παράδειγμα, το ηλεκτρικό δυναμικό μεταξύ των πλακών του πυκνωτή, και η βαρύτικό δυναμικό της πλάκας)
• Η συνάρτηση$\,\!f(x_{1},\dots ,x_{n})=({x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2})^{1-n/2}$ στο $\mathbb {R} ^{n}\setminus \lbrace 0\rbrace$ για n > 2.

Παρατηρήσεις

Το σύνολο των αρμονικών συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα ανοικτό δοσμενο σύνολο U μπορεί να θεωρηθεί ως ο πυρήνας ενός τελεστή Λαπλας Δ και για το λόγο αυτό αποτελεί διανυσματικό χώρο πάνω στο R; το άθροισμα, η διαφορά και το βαθμωτό γινόμενο αρμονικών συναρτήσεων είναι επίσης αρμονικά.

Εάν f είναι μια αρμονική συνάρτηση στο σύνολο U, τότε όλες οι μερικές παράγωγοι της f θα είναι αρμονικές συναρτήσεις στο U.

Κατά κάποιο τρόπο, οι αρμονικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των ολομορφικών συναρτήσεων.

Όλες οι αρμονικές συναρτήσεις είναι αναλυτικές, μπορούν δηλαδή να εκφραστούν τοπικά σα δυναμοσειρές. Αυτός είναι ένας γενικός κανόνας για τους ελλειπτικούς τελεστές, μεγαλύτερο παράδειγμα των οποίων αποτελεί ο τελεστής Λαπλας.

Το ομοιόμορφο όριο μιας συγκλίνουσας ακολουθίας αρμονικών συναρτήσεων είναι κι αυτό αρμονικό. Αυτό ισχύει καθώς κάθε συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί την ιδιότητα της μέσης τιμής είναι αρμονική.

Ας εξεταστεί η ακολουθία $fn(x,y)={1 \over n}\exp(nx)\cos(ny)$ , ορισμένη στο $(-\infty ,0)\times R$. Η ακολουθία αυτή είναι αρμονική και συγκλίνει ομοιόμορφα στη μηδενική συνάρτηση. Παρ' όλα αυτά πρέπει να σημειωθεί ότι οι μερικές παράγωγοι της δεν συγκλίνουν στη μηδενική συνάρτηση(δηλαδή την παράγωγο της μηδενικής συνάρτησης). Με το παράδειγμα αυτό τονίζεται η σημασία που παίζει η ιδιότητα της μέσης τιμής και η συνέχεια για να υποστηριχθεί ότι το όριο είναι αρμονικό.

Σύνδεση με τη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων

Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος κάθε ολόμορφης συνάρτησης δίνουν αρμονικές συναρτήσεις στον R² (αυτές αποτελούν ένα ζευγάρι σηζυγών αρμονικών συναρτήσεων). Αντιστρόφως, κάθε αρμονική συνάρτηση u σε ένα ανοιχτό υποσύνολο Ω του R² είναι τοπικά το πραγματικό μέρος μιας ολόμορφης συνάρτησης. Αυτό είναι άμεσα αντιληπτό παρατηρώντας την z = x + iy. Η μιγαδική συνάρτηση g(z) := u_x − i u_y είναι ολόμορφη στο Ω επειδή ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann. Ως εκ τούτου, το g έχει τοπικά μια παράγουσα f, και το u είναι το πραγματικό μέρος της f πάνω σε μια σταθερά, όπως το u_x είναι το πραγματικό μέρος της $\scriptstyle f\,^{\prime }=g$ .

Αν και η παραπάνω αντιστοιχία με τις ολόμορφες συναρτήσεις ισχύει μόνο για συναρτήσεις δύο πραγματικών μεταβλητών, αρμονικές συναρτήσεις με n μεταβλητές εξακολουθούν να έχουν μια σειρά από ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τις ολόμορφες συναρτήσεις. Είναι αναλυτικές, ικανοποιούν την αρχή του μεγίστου και της μέσης τιμής.Το θεώρημα της απαλοιφής των ανώμαλων σημείων καθώς και το θεώρημα Liouville ισχύει και για αυτές κατ ' αναλογία με τα αντίστοιχα θεωρήματα στη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων.

Ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων

Κάποιες σημαντικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων μπορούν να εξαχθούν από την εξίσωση του Λαπλάς.

Θεώρημα Κανονικότητας για αρμονικές συναρτήσεις

Οι αρμονικές συναρτήσεις είναι απείρως διαφορίσιμες. Για την ακρίβεια, οι αρμονικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις αναλυτικές.

Αρχή του Μεγίστου

Οι αρμονικές συναρτήσεις ικανοποιούν την παρακάτω αρχή μεγίστου: εάν Κ είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του U, τότε η συνάρτηση f, περιορισμένη στο Κ, παίρνει τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της στο σύνορο του Κ. Εάν to U είναι συνεκτικό, τότε η f δεν μπορεί να έχει τοπικά ακρότατα, εκτός από την εξαιρετική περίπτωση όπου η f είναι σταθερή.

Ιδιότητα της Μέσης Τιμής

Εάν B(x, r) είναι μια μπάλα με κέντρο το x και ακτίνα r , η οποία περιέχεται εξ'ολοκλήρου μέσα σε ένα ανοιχτό σύνολο Ω ⊂ Rⁿ , τότε η τιμή u(x) μιας αρμονικής συνάρτησης u: Ω → R στο κέντρο της μπάλας προκύπτει από το μέσο όρο των τιμών της u στην επιφάνεια της μπάλας. Αυτή η μέση τιμή ισούται επίσης με τη μέση τιμή της u στο εσωτερικό της μπάλας. Με άλλα λόγια

$u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV$,

όπου ω_n είναι ο όγκος της μοναδιαίας σφαίρας σε n διαστάσεις και σ είναι το n-1 διάστατο επιφανειακό μέτρο.

Αντίστροφα, όλες οι τοπικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις που ικανοποιούν την ιδιότητα της μέσης τιμής, είναι και απείρως παραγωγίσιμες και αρμονικές.

Με όρους συνελίξεων, εάν

$\chi _{r}:={\frac {1}{|B(0,r)|}}\chi _{B(0,r)}={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\chi _{B(0,r)}$

συμβολίζει τη χαρακτηριστική συνάρτηση μιας μπάλας, με ακτίνα r και κέντρο την αρχή των αξόνων, κανονικοποιημένης έτσι ώστε $\scriptstyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\chi _{r}\,dx=1$, τότε η συνάρτηση f είναι αρμονική αν και μόνον εάν

$u(x)=u*\chi _{r}(x)\;$, όταν B(x, r) ⊂ Ω.

Ανισότητα του Χαρνακ

Έστω u μια μη-αρνητική αρμονική συνάρτηση σε ένα φραγμένο πεδίο Ω. Τότε για κάθε συνεκτικό σύνολο

$V\subset {\overline {V}}\subset \Omega ,$ ισχύει :

$\sup _{V}u\leq C\inf _{V}u$ ,όπου C είναι μια σταθερά που εξαρτάται μόνο από τα V και Ω.

Απαλοιφή/Εξάλειψη των Ανωμαλιών

Η παρακάτω αρχή της εξάλειψης των ανώμαλων σημείων ισχύει για τις αρμονικές συναρτήσεις.

Εάν f είναι μια αρμονική συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοιχτό υποσύνολο $\Omega \backslash \{x_{0}\}$ του Rⁿ , η οποία παρουσιάζει μικρότερη ανωμαλία στο $x_{0}$ από ότι η θεμελιώδης λύση, δηλαδή

$f(x)=o\left(\vert x-x_{0}\vert ^{2-n}\right),\qquad {\text{as }}x\to x_{0},$

τότε η f επεκτείνεται σε μια αρμονική συνάρτηση στο Ω. (Σύγκριση με το θεώρημα Riemann για συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής).

Θεώρημα του Liouville

Εάν f είναι μια αρμονική συνάρτηση, άνω και κάτω φραγμένη, ορισμένη σε ολόκληρο το Rⁿ ,τότε η f είναι σταθερή. Ο Edward Nelson παρουσίασε μια εξαιρετικά μικρή απόδειξη του θεωρήματος αυτού, βασισμένη στην ιδιότητα της μέσης τιμής που αναφέρθηκε παραπάνω:

Δοσμένων δυο σημείων, επιλέξτε δυο μπάλες με κέντρα τα σημεία αυτά και ακτίνες ίσες. Εάν οι ακτίνες είναι αρκετά μεγάλες, τότε οι δυο μπάλες θα συμπίπτουν εκτός από μια αυθαίρετα μικρή περιοχή του όγκου τους. Εφόσον η f είναι φραγμένη, η μέση τιμή της πανω στις δυο μπάλες θα είναι τόσο κοντά, ώστε η f να θεωρείται οτι παίρνει την ίδια τιμή σε κάθε ζεύγος σημείων.

Γενικεύσεις

Ασθενής αρμονική συνάρτηση

Μια συνάρτηση (ή γενικότερα μια κατανομή) είναι ασθενώς αρμονική εάν ικανοποιεί ασθενώς την εξίσωση του Λαπλάς $\Delta f=0\,$. Μια ασθενώς αρμονική συνάρτηση συμπίπτει σχεδόν εξ'ολοκλήρου με μια αρμονική συνάρτηση, και είναι συγκεκριμένα, λεία. Μια ασθενώς αρμονική κατανομή είναι ακριβώς η κατανομή εκείνη που σχετίζεται με μια αρμονική συνάρτηση, είναι όμως επιπλέον και λεία. Αυτό είναι το λήμμα του Γουέιλ.

Generalizations

Weakly harmonic function

A function (or, more generally, a distribution) is weakly harmonic if it satisfies Laplace's equation

$\Delta f=0\,$

in a weak sense (or, equivalently, in the sense of distributions). A weakly harmonic function coincides almost everywhere with a strongly harmonic function, and is in particular smooth. A weakly harmonic distribution is precisely the distribution associated to a strongly harmonic function, and so also is smooth. This is Weyl's lemma.

There are other weak formulations of Laplace's equation that are often useful. One of which is Dirichlet's principle, representing harmonic functions in the Sobolev space H¹(Ω) as the minimizers of the Dirichlet energy integral

$J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx$

with respect to local variations, that is, all functions $u\in H^{1}(\Omega )$ such that J(u) ≤ J(u + v) holds for all $v\in C_{c}^{\infty }(\Omega ),$ or equivalently, for all $v\in H_{0}^{1}(\Omega ).$

Harmonic functions on manifolds

Harmonic functions can be defined on an arbitrary Riemannian manifold, using the Laplace–Beltrami operator Δ. In this context, a function is called harmonic if

$\ \Delta f=0.$

Many of the properties of harmonic functions on domains in Euclidean space carry over to this more general setting, including the mean value theorem (over geodesic balls), the maximum principle, and the Harnack inequality. With the exception of the mean value theorem, these are easy consequences of the corresponding results for general linear elliptic partial differential equations of the second order.

Subharmonic functions

A C² function that satisfies Δf ≥ 0 is called subharmonic. This condition guarantees that the maximum principle will hold, although other properties of harmonic functions may fail. More generally, a function is subharmonic if and only if, in the interior of any ball in its domain, its graph lies below that of the harmonic function interpolating its boundary values on the ball.

Harmonic forms

One generalization of the study of harmonic functions is the study of harmonic forms on Riemannian manifolds, and it is related to the study of cohomology. Also, it is possible to define harmonic vector-valued functions, or harmonic maps of two Riemannian manifolds, which are critical points of a generalized Dirichlet energy functional (this includes harmonic functions as a special case, a result known as Dirichlet principle). This kind of harmonic maps appear in the theory of minimal surfaces. For example, a curve, that is, a map from an interval in R to a Riemannian manifold, is a harmonic map if and only if it is a geodesic.

Harmonic maps between manifolds

If M and N are two Riemannian manifolds, then a harmonic map u : M → N is defined to be a critical point of the Dirichlet energy

$D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\|du\|^{2}\,d\operatorname {Vol}$

in which du : TM → TN is the differential of u, and the norm is that induced by the metric on M and that on N on the tensor product bundle T*M ⊗ u⁻¹ TN.

Important special cases of harmonic maps between manifolds include minimal surfaces, which are precisely the harmonic immersions of a surface into three-dimensional Euclidean space. More generally, minimal submanifolds are harmonic immersions of one manifold in another. Harmonic coordinates are a harmonic diffeomorphism from a manifold to an open subset of a Euclidean space of the same dimension.