Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ

Το ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνάρτησης μπορεί να μεταφραστεί ως η περιοχή κάτω από την καμπύλη.

Στα Μαθηματικά, το ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνάρτησης μπορεί με τον απλούστερο τρόπο, να θεωρηθεί ως το εμβαδό μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και τον άξονα των x. Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ είναι μια μαθηματική κατασκευή που επεκτείνει το ολοκλήρωμα σε μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Επίσης, επεκτείνει το πεδίο ορισμού πάνω στο οποίο οι συναρτήσεις αυτές μπορούν να οριστούν. Ήταν ήδη αντιληπτό, πως για μη αρνητικές, αρκετά λείες συναρτήσεις (όπως οι συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες σε κλειστά και φραγμένα διαστήματα) το εμβαδό κάτω από την καμπύλη μπορούσε να οριστεί ως το ολοκλήρωμα και υπολογίζονταν χρησιμοποιώντας τεχνικές προσέγγισης με πολύγωνα. Όμως, καθώς οι ανάγκες για χρήση πιό περίπλοκων συναρτήσεων μεγάλωναν (όπως για παράδειγμα στη Θεωρία πιθανοτήτων), έγινε ξεκάθαρο πως απαιτούνταν πιό προσεκτικές μέθοδοι προσέγγισης, για να οριστεί ένα πιό κατάλληλο ολοκλήρωμα. Επίσης, υπήρχε η ανάγκη για ολοκήρωση σε γενικότερους χώρους πέραν της πραγματικής ευθείας. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ παρέχει όλους τους απαραίτητους κανόνες και έννοιες για να γίνει αυτό.

Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ είναι πολύ σημαντικό στην Πραγματική Ανάλυση, καθώς και σε άλλα πεδία των μαθηματικών. Πήρε το όνομά του από τον Ανρί Λεμπέγκ (1875–1941), ο οποίος το εισήγαγε το 1904. Είναι επίσης η βάση για τους ορισμούς και τη θεμελίωση της αξιωματικής Θεωρίας Πιθανοτήτων.

Ο όρος "ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ" μπορεί να αναφέρεται, είτε γενικά στη θεωρία της ολοκλήρωσης μιας συνάρτησης ως προς ένα γενικό μέτρο, όπως παρουσιάστηκε από τον Λεμπέγκ, ή στην ειδική περιπτωση που το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης ορίζεται πάνω σε ένα υποσύνολο τού άξονα των πραγματικών αριθμών ως προς το μέτρο Λεμπέγκ.

Εισαγωγή

Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f με όρια ολοκλήρωσης a και b μπορεί να μεταφραστεί ως το εμβαδό κάτω από τη γραφική παράσταση της f. Αυτό είναι εύκολα αντιληπτό για απλές συναρτήσεις, όπως είναι τα πολυώνυμα, αλλά τι σημαίνει αυτό όταν μιλάμε για πιο περίπλοκες συναρτήσεις; Γενικά, για ποια κατηγορία συναρτήσεων έχει νόημα "το εμβαδό κάτω από την καμπύλη"; Η απάντηση έχει τεράστια θεωρητική και πρακτική σημασία.

Κατά το δέκατο ένατο αιώνα, έγιναν προσπάθειες να στηθεί ο Ολοκληρωτικός Λογισμός σε μια πιο αυστηρή βάση, στα πλαίσια μιας γενικότερης αυστηροποίησης των μαθηματικών. Το Ρίμαν ολοκλήρωμα, είναι μια επιτυχημένη τέτοια προσπάθεια που βοηθά στην επίτευξη αυτού τού στόχου. Ο ορισμός που έδωσε ο Ρίμαν, ξεκινά με την κατασκευή μιας ακολουθίας εμβαδών, που εύκολα υπολογίζονται, η οποία συγκλίνει στο ολοκλήρωμα μιας δοσμένης συνάρτησης. Αυτός ο ορισμός είναι επιτυχημένος, με την έννοια ότι δίνει την αναμενόμενη απάντηση σε ήδη λυμένα προβλήματα, καθώς και χρήσιμα αποτελέσματα σε πολλά άλλα προβλήματα.

Ωστόσο, η Ολοκλήρωση κατά Ρίμαν δεν αλληλεπιδρά καλά με τα όρια ακολουθιών συναρτήσεων, πράγμα που καθιστά δύσκολη την ανάλυση τέτοιων διαδικασιών. Αυτή είναι πρεωτεύουσας σημασίας σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, όπως για παράδειγμα στην Ανάλυση Φουριέ. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ μπορεί καλύτερα να περιγράψει κάτω από ποιές συνθήκες μπορεί το ολοκλήρωμα να βγει έξω από το όριο, με τα ισχυρά θεωρήματα της Μονότονης Σύγκλισης και της Κυριαρχούμενης Σύγκλισης. Ο ορισμός τού Λεμπέγκ, σε αντίθεση με τού Ρίμαν, θεωρεί μια άλλη κατηγορία εύκολα υπολογίσιμων εμβαδών και γι' αυτό το λόγο το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ συμπεριφέρεται καλύτερα. Επιπλέον, το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ καθιστά δυνατό τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων για μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση τού Ντίριχλετ, η οποία είναι 0 όταν το όρισμά της είναι άρρητος και 1 όταν είναι ρητός, ενώ δεν είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη, είναι Λεμπέγκ ολοκληρώσιμη και το ολοκλήρωμά της ισούται με 0.

Η προσέγγιση τού Λεμπέγκ για το ολοκλήρωμα συνοψίζεται σε ένα γράμμα του, όπου γράφει:

Πρέπει να πληρώσω ένα συγκεκριμένο ποσό. Βγάζω τα χαρτονομίσματα και τα νομίσματα από την τσέπη μου και για να πληρώσω, τα δίνω με τη σειρά που τα βρίσκω μέχρι να φτάσω το συνολικό ποσό. Αυτό είναι το Ρίμαν ολοκλήρωμα. Αλλά μπορώ να πληρώσω διαφορετικά. Αφού βγάλω όλα τα χρήματα από την τσέπη μου, στοιβάζω τα νομίσματα και τα χαρτονομίσματα σε σειρά με βάση την αξία τους και ύστερα πληρώνω δίνοντας τις στοίβες τη μία μετά την άλλη. Αυτό είναι το δικό μου ολοκλήρωμα.

Δηλαδή, μπορούμε να κατανείμουμε τις τιμές μιας συνάρτησης ελεύθερα, διατηρώντας όμως σταθερή την τιμή τού ολοκληρώματος. Η διαδικασία αυτής της ανακατανομής μπορεί να μετατρέψει μια παθολογική συνάρτηση σε μια "όμορφη" συνάρτηση, από την άποψη της ολοκληρωσιμότητας και επομένως μας επιτρέπει την ολοκλήρωση μιας τέτοιας συνάρτησης.

Διαισθητική ερμηνεία

Ολοκλήρωμα Riemann-Darboux (μπλε) και ολοκλήρωμα Lebesgue (κόκκινο)

Για να πάρετε κάποια διαίσθηση σχετικά με τις διαφορετικές προσεγγίσεις για την ενσωμάτωση, ας φανταστούμε ότι είναι επιθυμητό να βρείτε τον όγκο ενός βουνού (πάνω από το επίπεδο της θάλασσας).

Η προσέγγιση Riemann-Darboux

Χωρίστε την βάση του βουνού σε ένα πλέγμα τετραγώνων του 1 μέτρου. Μετρήστε το ύψος του βουνού στο κέντρο κάθε τετραγώνου. Ο όγκος σε ένα τετραγωνικό πλέγμα είναι περίπου 1 τ.μ. × (ύψους του τετραγώνου), έτσι ώστε ο συνολικός όγκος είναι 1 τ.μ. φορές το άθροισμα των υψών.

Η προσέγγιση Lebesgue

Σχεδιάστε ένα χάρτη περίγραμμα του βουνού, όπου τα παρακείμενα περιγράμματα είναι 1 μέτρο ύψος ξεχωριστά. Ο όγκος της γης που περιέχεται σε ένα ενιαίο περίγραμμα είναι περίπου 1 m × (περιοχή του περιγράμματός του), έτσι ώστε ο συνολικός όγκος να είναι το άθροισμα των περιοχών αυτών φοράς 1 m.

Δείτε επίσης

• Μπέρναρντ Ρίμαν
• Ολοκλήρωμα
• Μέτρο Λεμπέγκ
• Θεωρία μέτρου
• σ-άλγεβρα