Θεωρία αριθμών

Πρότυπο:Επιστημονικό πεδίο Η Θεωρία των αριθμών είναι ένας κλάδος των καθαρών μαθηματικών αφιερωμένος κατά κύριο λόγο στη μελέτη των ακεραίων. Οι Θεωρητικοί μελετούν τους πρώτους αριθμούς, καθώς και τις ιδιότητες των αντικειμένων που κατασκευάζονται από ακεραίους (π.χ. ορθολογικοί αριθμοί) ή ορίζονται ως γενικεύσεις των ακεραίων (π.χ., αλγεβρικοί ακέραιοι)

Το αντικείμενο της Θεωρίας

Οι Ακέραιοι μπορεί να θεωρηθούν: είτε από μόνοι τους είτε ως λύσεις εξισώσεων (Diophantine γεωμετρία). Οι ερωτήσεις στη θεωρία αριθμών γίνονται συχνά καλύτερα κατανοητές μέσα από τη μελέτη της αναλυτικής των αντικείμενων (π.χ., η Ζήτα συνάρτηση) που κωδικοποιεί τις ιδιότητες των ακεραίων και των πρώτων ή άλλες θεωρίες αριθμών αντικειμένων με κάποιο τρόπο (αναλυτική αριθμοθεωρία). Κάποιος μπορεί να μελετήσει, επίσης, πραγματικούς αριθμούς σε σχέση με τους ορθολογικούς αριθμούς, π.χ., όπως προσεγγίζεται από την τελευταία (Diophantine προσέγγιση).

Ο παλαιότερος όρος για αριθμό θεωρία είναι αριθμητική. Από τις αρχές του εικοστού αιώνα, είχε αντικατασταθεί από το "Θεωρία Αριθμών". Ήδη από το 1921, ο T. L. Heath έπρεπε να εξηγήσει: λέγοντας αριθμητική, ο Πλάτων εννοούσε πως δεν είναι η αριθμητική λογική μας, αλλά η επιστήμη που εξετάζει τους αριθμούς από μόνους τους, με άλλα λόγια, ότι λέμε με τη θεωρία των αριθμών. (Η λέξη «αριθμητική» χρησιμοποιείται από το ευρύ κοινό και σημαίνει "στοιχειώδες υπολογισμοί" έχει αποκτήσει και άλλες έννοιες στη μαθηματική λογική, την αριθμητική Πεάνο, και επιστήμη υπολογιστών, όπως και το κυμαινόμενο αριθμητική σημείο.) Η χρήση του όρου αριθμητική για την αριθμητική θεωρία ανέκτησε κάποιο έδαφος κατά το δεύτερο μισό του 20ου αιώνα, αναμφισβήτητα οφείλεται εν μέρει σε γαλλική επιρροή. </ref group=note> Πάρτε, π.χ. Serre 1973. Το 1952, Davenport έπρεπε ακόμη να διευκρινιστεί ότι εννοούσε Το Ανώτερο Αριθμο. Hardy και Wright έγραψαν στην εισαγωγή τους στο Μια Εισαγωγή στη θεωρία των αριθμών (1938): «Προτείναμε κάποια στιγμή να αλλάξει [ο τίτλος] για να Μια εισαγωγή στην αριθμητική, μια πιο νέα και κατά κάποιο τρόπο ένα πιο κατάλληλο τίτλο, αλλά επισημάνθηκε ότι αυτό θα μπορούσε να οδηγήσει σε παρανοήσεις σχετικά με το περιεχόμενο του βιβλίου ». (Hardy & Wright 2008) </ ref> Ειδικότερα,το αριθμητικό προτιμάται ως επίθετο για την θεωρίας αριθμών.

Ιστορία

Origins

Κλασική Ελλάδα και η πρώιμη Ελληνιστική περίοδο

Εκτός από λίγα θραύσματα, τα μαθηματικά της κλασικής Ελλάδα είναι γνωστή σε μας είτε μέσω των μη μαθηματικών εκθέσεων της σύγχρονης εποχής ή μέσω μαθηματικών έργων από την πρώιμη ελληνιστική περίοδο . Στην περίπτωση της θεωρίας των αριθμών, αυτό σημαίνει ότι, σε γενικές γραμμές είναι γνωστά σε εμάς μέσω του Πλάτων και Ευκλείδης, αντίστοιχα.

Ο Πλάτων είχε ένα έντονο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, και διακρίνονται σαφώς μεταξύ της αριθμητικής και του υπολογισμού. (Με την αριθμητική εννοούσε, εν μέρει,τη θεωρητικοποίηση σχετικά με τον αριθμό, αντί για αυτό αριθμητική ήαριθμό θεωρίας έχουν καταλήξει να σημαίνει.) Είναι μέσω ενός από τους διαλόγους του Πλάτωνα, δηλαδή, Θεαίτητος - που γνωρίζουμε ότι Θεόδωρος είχε αποδείξει ότι $\scriptstyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}$ είναι παράλογες.Ο Θεαίτητος ήταν, όπως ο Πλάτωνας, ένας μαθητής από το Θεόδωρο? Εργάστηκε στη διάκριση διαφόρων ειδών incommensurables, και ήταν επομένως αναμφισβήτητα πρωτοπόρος στη μελέτη του αριθμού συστήματος. (Βιβλίο Χ της Στοιχεία του Ευκλείδη περιγράφεται από τον Πάππου. Ως βασίζονται σε μεγάλο βαθμό στο έργο του Θεαίτητος)

Ο Ευκλείδης αφιέρωσε ένα μέρος της Elements του στους προνομιακούς αριθμούς και τη διαιρετότητα, θέματα που ανήκουν σαφώς στη θεωρία αριθμών και τις βασικές αρχές αυτές στα(Βιβλία VII έως IX του Στοιχεία του Ευκλείδη). Συγκεκριμένα, έδωσε έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών (ο αλγόριθμος του Ευκλείδη? Στοιχεία, Πρότ VII.2) και την πρώτη γνωστή απόδειξη του,η [απεραντοσύνη [των πρώτων αριθμών] ] ( Στοιχεία, Πρότ IX.20).

Το 1773,ο Lessing δημοσίευσε ένα επίγραμμα που είχε βρεθεί σε ένα χειρόγραφο κατα την διάρκεια της εργασίας του ως βιβλιοθηκάριος? Ισχυρίστηκε ότι είναι μια επιστολή που απέστειλε ο Αρχιμήδης στο [[Ερατοσθένης] ] Πρότυπο:SFN. Πρότυπο:SFN Το επίγραμμα που προτείνει αυτό που έχει γίνει γνωστό ως Βοοειδή πρόβλημα του Αρχιμήδη '?Η λύση του (απουσιάζει από το χειρόγραφο), απαιτεί την επίλυση μιας ασαφούς εξίσωσης (που μειώνει σε ό,τι αργότερα θα misnamed εξίσωση Pell του). Σε ό, τι γνωρίζουμε, όπως εξισώσεις για πρώτη φορά με επιτυχία αντιμετωπίζεται από την Ινδικό σχολείο. Δεν είναι γνωστό εάν ο Αρχιμήδη ο ίδιος είχε μια μέθοδο διαλύματος.

Διόφαντος

Αρχείο:. Διόφαντος-cover.jpg

Σελίδα τίτλου της έκδοσης 1621 του «Διόφαντος Αριθμητικά, μεταφράζεται σε Λατινικά από το Claude Gaspard de Bachet Méziriac

Πολύ λίγα είναι γνωστά σχετικά με τον Διόφαντου της Αλεξάνδρειας. Πιθανότατα έζησε τον τρίτο αιώνα μ.Χ., δηλαδή, περίπου πεντακόσια χρόνια μετά τον Ευκλείδη. Έξι από τα δεκατρία βιβλία του Διοφάντου Αριθμητικά επιβίωσαν στο πρωτότυπο κείμενο στα ελληνικά. Τέσσερα βιβλία επιβίωσαν σε μια αραβική μετάφραση. Η Arithmetica είναι μια συλλογή από λυμένα προβλήματα, όπου ο στόχος είναι πάντα να βρούμε λογικές λύσεις σε ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων, συνήθως με τη μορφή $\scriptstyle f(x,y)=z^{2}$ or $\scriptstyle f(x,y,z)=w^{2}$. Έτσι, στις μέρες μας, μιλάμε για Diophantine εξισώσεις όταν μιλάμε για πολυωνυμικές εξισώσεις στις οποίες ορθολογικοί ή ακέραιος πρέπει να βρεθούν ως λύσεις.

Κάποιος μπορεί να πει ότι Διόφαντος σπούδαζε ορθολογικά σημεία - δηλαδή, τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες είναι λογικό - να είναι καμπύλη s και αλγεβρικό ποικιλίες. Ωστόσο, σε αντίθεση με τους Έλληνες της κλασικής εποχής, που έκανε ό,τι θα αποκαλούσαμε τώρα βασική άλγεβρα και γεωμετρικά χαρακτηριστικά. Ο Διόφαντος έκανε αυτό που θα ονομάζαμε σήμερα βασικό αλγεβρική γεωμετρία με καθαρά αλγεβρικό όρους. Στη σύγχρονη γλώσσα, τι έκανε ο Διόφαντος όταν ήταν να βρει ορθολογική parametrizations των ποικιλιών? Δηλαδή, δίνεται μια εξίσωση της μορφής (ας πούμε) $\scriptstyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$,και ο στόχος του ήταν να βρει (στην ουσία) τρεις ορθολογική λειτουργίες $\scriptstyle r$ and $\scriptstyle s$ τέτοια ώστε, για όλες τις τιμές της $\scriptstyle x_{i}=g_{i}(r,s)$, θέτοντας $\scriptstyle i=1,2,3$ δίνει μια λύση για $\scriptstyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.$

Ο Διόφαντος μελέτησε επίσης τις εξισώσεις μερικών μη ορθολογικών καμπυλών, για τις οποίες δεν υπάρχει ορθολογική παραμετροποίηση όσο είναι δυνατόν. Κατάφερε να βρει κάποια λογικά σημεία σε αυτές τις καμπύλες (ελλειπτικών καμπυλών, όπως συμβαίνει, σε ό, τι φαίνεται να είναι η πρώτη γνωστή εμφάνιση τους) μέσω αυτού που ανέρχεται σε εφαπτόμενη κατασκευής: μεταφράζεται σε γεωμετρία συντεταγμένων (η οποία δεν υπήρχε στο χρόνο Diophantus '), η μέθοδος του θα απεικονιστεί αφού χαραχθεί μια εφαπτομένη σε μια καμπύλη σε ένα γνωστό ορθολογική σημείο, και στη συνέχεια βρίσκοντας το άλλο σημείο της τομής της εφαπτομένης με την καμπύλη δηλαδή ότι το άλλο στοιχείο είναι ένα νέο ορθολογική σημείο. (Ο Διόφαντος κατέφυγε επίσης σε ό,τι θα μπορούσε να ονομαστεί σήμερα σαν μια ειδική περίπτωση μιας τέμνουσας κατασκευής.)

Ενώ ο Διόφαντος ήταν εν πολλοίς με λογικές λύσεις, ανέλαβε κάποια αποτελέσματα σχετικά με ακέραιους αριθμούς, μεταξύ άλλων, ότι κάθε ακέραιος είναι το άθροισμα των τεσσάρων τετραγώνων (αν και ποτέ δεν δήλωσε τόσο ρητά).

Indian School: Αριαμπάτα, Brahmagupta, Bhaskara

Ενώ η ελληνική αστρονομία-χάρη στον Αλέξανδρος και τις κατακτήσεις και πιθανώς επηρεασμένος απο την ινδική μάθηση, και το μέχρι τοτε σημείο της εισαγωγής της τριγωνομετρίας, Πρότυπο:SFN φαίνεται να είναι η περίπτωση ότι τα ινδικά μαθηματικά είναι διαφορετικά την εγχώρια παράδοση. </ref name="Plofbab"> Κάθε πρώιμη επαφή μεταξύ των Βαβυλωνίων και των ινδικών μαθηματικών παραμένει εικαστική (Plofker 2008, σελ. 42) </ ref> ειδικότερα,αφού δεν υπάρχει καμία απόδειξη ότι τα στοιχεία του Ευκλείδη έφθασαν στην Ινδία πριν από το 18ο αιώνα Πρότυπο:SFN.

Ο Αριαμπάτα (476-550 CE), έδειξε ότι ζεύγη των ταυτόχρονων ισοτιμιών $\scriptstyle n\equiv a_{1}{\pmod {m}}_{1}$, $\scriptstyle n\equiv a_{2}{\pmod {m}}_{2}$ θα μπορούσε να λυθεί με μια μέθοδο που ονομάζεται kuṭṭaka, ή ψεκαστήρας </ref> Αριαμπάτα, Aryabhatiya, κεφάλαιο 2, στίχοι 32-33, παρατίθεται στο: Plofker 2008, σελίδες 134-140. Δείτε επίσης Clark 1930, σελίδες 42-50. Μια ελαφρώς πιο σαφής περιγραφή του kuṭṭaka δόθηκε αργότερα στον Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, XVIII, 3-5 (στο Colebrooke 1817, σελ. 325, που αναφέρεται στο Clark 1930) </ ref> Αυτό είναι μια διαδικασία (μια γενίκευση) του αλγόριθμος του Ευκλείδη, η οποία ανακαλύφθηκε πιθανότατα ανεξάρτητα από την Ινδία Πρότυπο:SFN.Ο Αριαμπάτα φαίνεται να είχε στο μυαλό εφαρμογές σε αστρονομικούς υπολογισμούς Πρότυπο:SFN

Ο Brahmagupta (628 CE) ξεκίνησε την συστηματική μελέτη του αορίστου τετραγωνικής εξισώσεις, ιδίως, η misnamed εξίσωση Pell, όπου ο Αρχιμήδης μπορεί να είχε προηγουμένως ενδιαφέρθει, και το οποίο δεν λύθηκε στη Δύση μέχρι την εποχή του Fermat και Euler. Αργότερα σανσκριτικοί συγγραφείς θα ακολουθήσουν, χρησιμοποιώντας τεχνική ορολογίας Brahmagupta του. Μια γενική διαδικασία (το chakravala, ή «κυκλική μέθοδος") για την επίλυση της εξίσωσης Pell όταν τελικά βρέθηκε από Jayadeva (αναφέρεται στην ενδέκατο αιώνα? Το έργο του ηταν διαφορετικά χάνεται)? Η πρώτη έκθεση επιζών εμφανίζεται στο [ . [Bhaskara II]] 's Bija-Ganita (το δωδέκατο αιώνα) Πρότυπο:SFN

Δυστυχώς, τα ινδικά μαθηματικά παρέμειναν σε μεγάλο βαθμό άγνωστα στη Δύση μέχρι το τέλος του δέκατου όγδοου αιώνα καθώς ο Πρότυπο:SFN Brahmagupta και το έργο Bhaskara είχε μεταφραστεί στα Αγγλικά το 1817 από Henry Colebrooke . Πρότυπο:SFN

Arithmetic in the Islamic golden age

Al-Haytham seen by the West: frontispice of Selenographia, showing Alhasen [sic] representing knowledge through reason, and Galileo representing knowledge through the senses.

Στις αρχές του ένατου αιώνα, ο χαλίφης Al-Ma'mun διέταξε να γίνουν μεταφράσεις πολλών Ελλήνων μαθηματικών έργων και τουλάχιστον ένα σανσκριτικά εργασίας (η Sindhind, η οποία μπορεί να </ref> Colebrooke 1817, σελ. LXV, αναφέρεται στην Hopkins 1990, σελ. 302. Δείτε επίσης τον πρόλογο στο Sachau 1888 αναφέρεται στην Smith 1958, σελίδες 168 </ ref> ή δεν μπορεί Weil 1984, σελ. 118.. Αυτό ήταν περισσότερο στην θεωρία αριθμών από ό, τι σε άλλους κλάδους (παρατήρηση Mahoney 1994, σελ. 284). Δικές του αποδείξεις Bachet ήταν "γελοία αδέξια" (Weil 1984, σελ. 33) </ ref> Έκανε την επανειλημμένη χρήση της μαθηματικής επαγωγής, με την εισαγωγή της μεθόδου της άπειρη κάθοδο..

Ένα από τα πρώτα ενδιαμφερόντων του Fermat ήταν ο τέλειος αριθμός s (που εμφανίζονται σε Euclid, Στοιχεία IX) και οι φιλικοί αριθμοί ? </ref Group=note> Perfect και ιδιαίτερα οι φιλικό αριθμοί οι οποιοι έχουν μικρό ή καθόλου ενδιαφέρον στις μέρες μας. Το ίδιο δεν ίσχυε στο μεσαίωνα - είτε στη Δύση ή τον αραβόφωνων κόσμο - εν μέρει λόγω της σημασίας που αποδίδεται σε αυτούς από το Neopythagorean (και ως εκ τούτου μυστικιστική) Νικομάχου (περ. 100 CE), ο οποίος έγραψε ένα πρωτόγονο αλλά με επιρροή »Εισαγωγή στην Αριθμητική". Βλ. van der Waerden 1961, Ch. IV. </ Ref> αυτό τον οδήγησε να εργαστεί στο ακέραιο διαιρέτης s, η οποία ήταν από την αρχή μεταξύ των θεμάτων της αλληλογραφία (1636 και μετά) που τον έφερε σε επαφή με τη μαθηματική κοινότητα της ημέρας </ref> Mahoney 1994, σελίδες 48, 53-54.. Τα πρώτα θέματα της αλληλογραφίας του Φερμά περιλαμβάνουν διαιρέτες ("μέρη δείγμα») και πολλά θέματα εκτός της θεωρία αριθμών.Δείτε τη λίστα με επιστολή του Fermat σε Roberval, 22.IX.1636, Βυρσοδεψείο & Henry 1891, νοί. II, σελ. 72, 74, αναφέρεται στην Mahoney 1994, σελ. 54 </ ref> Είχε ήδη προσεκτικά μελετηθεί ο Bachet. S 'έκδοση του Διόφαντου Πρότυπο:SFN από το 1643, τα συμφέροντά του είχαν μετατοπιστεί σε μεγάλο βαθμό στα Diophantine προβλήματα και τα ποσά των τετραγώνων Πρότυπο:SFN (επίσης να αντιμετωπίζονται με τις θεωρείς του Διόφαντος ).

Επιτεύγματα του Φερμά στην αριθμητική περιλαμβάνουν:

• Μικρό θεώρημα του Φερμά (1640), </ref> Βυρσοδεψείο & Henry 1891, Vol. II, p. 209, Επιστολή XLVI από Fermat σε Frenicle, 1640,

αναφέρεται στην Weil 1984, σελ. 56 </ ref> αναφέροντας ότι, αν ένα δεν είναι διαιρετό από μια προνομιακή p, τότε $\scriptstyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$ Βυρσοδεψείο & Henry 1891, Vol. II, p. 204, αναφέρεται στον Weil 1984, σελ. 63. Όλες οι ακόλουθες αναφορές από το Βαρειά Φερμά Opera έχουν ληφθεί από τον Weil 1984, Chap. II. Το πρότυπο Βυρσοδεψείο & Henry έργο που περιλαμβάνει την αναθεώρηση του Φερμά μεταθανατών Βαρειά Opera Mathematica αρχικά παρασκευάστηκε από το γιο του (Fermat 1679) </ ref> και Κάθε προνομιακή συμφονία με 1 modulo 4. μπορεί να γραφτεί στη μορφή $\scriptstyle a^{2}+b^{2}$ Πρότυπο:SFN Αυτές οι δύο δηλώσεις χρονολογούνται επίσης και από το 1640.Το 1659,ο Fermat δήλωσε στην Huygens ότι είχε αποδείξει την τελευταία δήλωση του, [μέθοδος [καθόδου]] Πρότυπο:SFN ​​Fermat και Frenicle έκαναν επίσης κάποια εργασία με (μερικές από τις εσφαλμένες ή μη αυστηρές) Πρότυπο:SFN σε άλλες τετραγωνικές μορφές.

Ο Fermat θέτει το πρόβλημα της επίλυσης $\scriptstyle x^{2}-Ny^{2}=1$ ως πρόκληση για τους Αγγλους μαθηματικους (1657). Το πρόβλημα λύθηκε μέσα σε λίγους μήνες από Wallis και Brouncker Πρότυπο:SFN.Ο Fermat θεωρησε την λύση τους έγκυρη, αλλά επεσήμανε ότι είχε παράσχει έναν αλγόριθμο χωρίς απόδειξη (όπως είχαν Jayadeva και Bhaskara, αν και ο Fermat ποτέ δεν θα το γνωρίζε αυτό.) Δηλώνει ότι η απόδειξη μπορεί να βρεθεί από την κάθοδο.

• Ο Fermat ανάπτυξε μεθόδους για (να κάνει ό, τι στην άποψη μας) την εξεύρεση σημείων σε καμπύλες γένος 0 και 1. Όπως και στο Διόφαντο, υπάρχουν πολλές ειδικές διαδικασίες και μια εφαπτόμενη κατασκευή, αλλά όχι τη χρήση ενός secant κατασκευής Πρότυπο:SFN

• Ο Fermat δηλώνει και αποδεικνύει (από κάθοδο) στο προσάρτημα Παρατηρήσεις για Διόφαντος (Obs. XLV) Πρότυπο:SFN ότι $\scriptstyle x^{4}+y^{4}=z^{4}$ δεν έχει μη τετριμμένες λύσεις στους ακέραιους.Ο Fermat ανέφερε επίσης στους ανταποκριτές του ότι $\scriptstyle x^{3}+y^{3}=z^{3}$ δεν έχει μη τετριμμένες λύσεις, και ότι αυτό θα μπορούσε να αποδειχθεί από την κάθοδο Πρότυπο:SFN. Η πρώτη γνωστή απόδειξη οφείλεται σε Euler (1753 και μάλιστα με την κάθοδό) Πρότυπο:SFN.

Ο ισχυρισμός του Φερμά ("Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά") το οποίο δείχνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις που να $\scriptstyle x^{n}+y^{n}=z^{n}$ για όλους $\scriptstyle n\geq 3$ (γεγονός που οι μόνες γνωστές αποδείξεις από τις οποίες ήταν εντελώς πέρα ​​από τις μεθόδους του) εμφανίζεται μόνο στις σημειώσεις του στο περιθώριο του αντιγράφου του Διοφάντου ο ίδιος ποτέ δεν ισχυρίστηκε αυτό σε άλλους Πρότυπο:SFN και ως εκ τούτου δεν θα είχαν ανάγκη να υποχωρούν, αν βρεθεί κάποιο λάθος στο έργο του υποτιθέμενη απόδειξη.

Euler

Leonhard Euler

Το ενδιαφέρον τouLeonhard Euler (1707-1783) στην θεωρία αριθμό τον ώθησε για πρώτη φορά το 1729, ένας φίλος του, ο ερασιτέχνης group=note> </ref Μέχρι το δεύτερο μισό του δέκατου έβδομου αιώνα, οι πανεπιστημιακές θέσεις ήταν πολύ σπάνιες, και οι περισσότεροι μαθηματικοί και επιστήμονες κέρδισε τη διαβίωσή τους με κάποιο άλλο τρόπο (Weil 1984, σελίδες 159, 161). (Υπήρχαν ήδη ορισμένα αναγνωρίσιμα χαρακτηριστικά της επαγγελματικής πρακτικής, δηλαδή, που αναζητούν ανταποκριτές, που επισκέπτονται ξένους συναδέλφους, με βάση ιδιωτικές βιβλιοθήκες (Weil 1984, σελίδες 160-161).. Θέματα αρχίσει να στρέφεται στα τέλη του 17ου αιώνα (Weil 1984, σελ. 161) όπου επιστημονικές ακαδημίες ιδρύθηκαν στην Αγγλία (το Royal Society, 1662) και τη Γαλλία (το Ακαδημία των Επιστημών , 1666) και Ρωσία (1724)Στον Euler προσφέρθηκε μια θέση σε αυτό το τελευταίο το 1726. Δέχτηκε, έφτασε στην Αγία Πετρούπολη το 1727 (Weil 1984, σελ. 163 και Varadarajan 2006, σελ. 7).

Σε αυτό το πλαίσιο, ο όρος ερασιτέχνης εφαρμόζεται συνήθως για τον Goldbach και είναι καλά καθορισμένη και έχει κάποιο νόημα: Έχει χαρακτηριστεί ως ένας άνθρωπος των γραμμάτων ο οποίος κέρδισε το ζην ως κατάσκοπος (Truesdell 1984, σελ. xv) αναφέρεται στην Varadarajan 2006, σελ. 9). Ανακοίνωση, ωστόσο, ο Goldbach δημοσίευσε κάποια έργα για τα μαθηματικά και μερικές φορές κατείχε ακαδημαϊκές θέσεις </ ref> Goldbach.. Επισήμανε τον προς κάποια από τα έργα του Φερμά για το θέμα Πρότυπο:SFN Πρότυπο:SFN Αυτό έχει κληθεί η «αναγέννηση» της σύγχρονης θεωρίας αριθμών, Πρότυπο:SFN μετά από σχετική έλλειψη του Φερμά της επιτυχίας στο να πάρει την προσοχή των συγχρόνων του για το θέμα </ref> Weil 1984, σελ. 2. και Varadarajan 2006, σελ. 37 εργασία </ ref>Ο Euler σχετικά με την θεωρία αριθμων περιλαμβάνει τα ακόλουθα: </ref> Varadarajan 2006, σελ. 39 και Weil 1984, σελίδες 176-189 </ ref>

* Αποδείξεις για τις δηλώσεις του Φερμά.Αυτό περιλαμβάνει το μικρό θεώρημα του Φερμά (γενίκευση από τον Euler σε μη-prime moduli).Το γεγονός ότι $\scriptstyle p=x^{2}+y^{2}$  αν και μόνο αν $\scriptstyle p\equiv 1\;mod\;4$ οι αρχικές εργασίες προς μια απόδειξη ότι κάθε ακέραιος είναι το άθροισμα των τεσσάρων τετραγώνων (η πρώτη πλήρης απόδειξη είναι απο τον Joseph-Louis Lagrange (1770), μόλις βελτιωθεί με τον εαυτό του ο Euler Πρότυπο:SFN) η έλλειψη των μη μηδενικών ακεραίων λύσεων για $\scriptstyle x^{4}+y^{4}=z^{2}$ (υπονοώντας την υπόθεση n = 4 του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, η υπόθεση n = 3 των οποίων ο Euler αποδεικνύεται και από μια σχετική μέθοδο).

• Η Εξίσωση Pell του, πρώτη λανθασμένα από τον Euler </ref name="Eulpell"> Weil 1984, σελ. 174..Ο Euler ήταν γενναιόδωρος στην προσφορά πιστώσεων προς άλλους (Varadarajan 2006, σελ. 14).., Δεν είναι πάντα σωστά </ ref> Έγραψε σχετικά με τη σχέση μεταξύ συνέχισε τα κλάσματα και την εξίσωση του Pell του Πρότυπο:SFN

• Τα πρώτα βήματα προς την κατεύθυνση της αναλυτικής θεωρίας αριθμών.Στο έργο του των ποσών των τεσσάρων τετραγώνων, χωρίσματα., Πεντάγωνο αριθμούς, και η διανομή των πρώτων αριθμών,ο Euler καινοτόμησε τη χρήση του τι μπορεί να θεωρηθεί ως ανάλυση (ειδικότερα, άπειρη σειρά) στην θεωρία αριθμών. Δεδομένου ότι έζησε πριν από την ανάπτυξη της σύνθετης ανάλυσης, οι περισσότεροι από το έργο του περιορίζεται στην επίσημη χειραγώγηση της δύναμικης σειράς. Έκανε, ωστόσο, να κάνει κάποια πολύ σημαντική (αν και όχι πλήρως αυστηρή) πρώιμο έργο σε ό, τι αργότερα θα ονομάζεται συνάρτηση Ζήτα </ref> Varadarajan 2006, σελίδες 45-55. ?. βλέπε επίσης το κεφάλαιο ΙΙΙ </ ref>

• Τετραγωνικές μορφές. Μετά to προβάδισμα του Fermat,o Euler έκανε περαιτέρω έρευνα σχετικά με το θέμα των πρώτων αριθμών που μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή $\scriptstyle x^{2}+Ny^{2}$, κάποιες από αυτές προεικονίζει η τετραγωνική αμοιβαιότητας. Πρότυπο:SFN Πρότυπο:SFN Πρότυπο:SFN
• Diophantine εξισώσεις.Ο Euler εργάστηκε σε μερικές Diophantine εξισώσεις του γένους 0 και 1 Πρότυπο:SFN. Πρότυπο:SFN Συγκεκριμένα, μελέτησε το εργο του Διόφαντος .Προσπάθησε να το συστηματοποιήσει, αλλά ο χρόνος δεν ήταν ακόμη ώριμος για μια τέτοια προσπάθεια - και η αλγεβρική γεωμετρία ήταν ακόμα στα σπάργανα Πρότυπο:SFN έκανε προκήρυξη υπήρχε μια σύνδεση μεταξύ Diophantine προβλήματα και ελλειπτικά ολοκληρώματα, Πρότυπο:SFN την μελέτη του οποίου είχε ο ίδιος ξεκίνηση.

Lagrange, Legendre and Gauss

Carl Friedrich Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, first edition

Ο Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) ήταν ο πρώτος που θα δώσει την πλήρη αποδείξη ορισμένων από του Fermat και την εργασία και τις παρατηρήσεις του Euler - για παράδειγμα, η τεσσάρων τετραγωνικών θεώρημα και η βασική θεωρία του misnamed για την "Pell της εξίσωσης" (για την οποία μια αλγοριθμική λύση βρέθηκε από τον Fermat και τους συγχρόνους του, αλλά και από Jayadeva και Bhaskara II πριν από αυτούς.) Επίσης σπούδασε τις τετραγωνικές μορφές σε πλήρη γενικότητα (σε αντίθεση με $\scriptstyle mX^{2}+nY^{2}$) -και καθορίζει σχέση ισοδυναμίας τους, που δείχνει πώς να τους εντάξουμε σε μειωμένη μορφή, κλπ.

Ο Adrien-Marie Legendre (1752-1833) ήταν ο πρώτος που αναφέρει το δίκαιο της τετραγωνική αμοιβαιότητας.Επίσης,το conjectured αυτό που ισοδυναμεί με το θεώρημα των πρώτων αριθμών και [θεώρημα [Dirichlet για αριθμητική progressions]]. Έδωσε μια πλήρη λύση της εξίσωσης $\scriptstyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ Πρότυπο:SFN και εργάστηκε πάνω στις τετραγωνικές μορφές σύμφωνα με τα όσα αργότερα αναπτύχθηκαν πλήρως από Gauss Πρότυπο:SFN.Στην ηλικία του, ήταν ο πρώτος για να αποδείξει το «τελευταίο θεώρημα του Φερμά» για $n=5$(ολοκλήρωση των εργασιών από του Peter Gustav Lejeune Dirichlet, και πιστώνοντας την ίδια και στον Sophie Germain). Πρότυπο:SFN

Carl Friedrich Gauss

Στο έργο του Disquisitiones Arithmeticae (1798), Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1855) απέδειξε το δίκαιο της τετραγωνική αμοιβαιότητας και ανέπτυξε τη θεωρία των τετραγωνικών μορφών και (ειδικότερα, τον καθορισμό σύνθεσή τους). Εισήγαγε επίσης κάποιους βασικούς συμβολισμούς (congruences) και αφιέρωσε ένα κεφάλαιο στην υπολογιστική θεμάτων, συμπεριλαμβανομένων των δοκιμών primality Πρότυπο:SFN. Η τελευταία ενότητα των Disquisitiones δημιουργήσει μια σύνδεση μεταξύ των ρίζων της ενότητας και θεωρία Αριθμών:

Η θεωρία της διαίρεσης του κύκλου ... που αντιμετωπίζεται sec. 7 δεν ανήκει από μόνη της στην αριθμητική, αλλά οι αρχές της μπορούν να εξαχθούν μόνο από την υψηλότερη αριθμητική </ref> Από τον πρόλογο του Disquisitiones Arithmeticae η μετάφραση έχει ληφθεί από Goldstein & Schappacher 2007, σελ. 16. </ ref>

Με τον τρόπο αυτό,ο Gauss έκανε αναμφισβήτητα μια πρώτη επιδρομή προς δύο κατευθύνσεις προς την εργασία του Εβαρίστ Galois και Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών.

Maturity and division into subfields

Ernst Kummer

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Ξεκινώντας στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, οι ακόλουθες εξελίξεις έλαβαν χώρα σταδιακά: . * Η αύξηση στην αυτοσυνειδησία της θεωρίας αριθμών (ή υψηλότερη αριθμητική) ως πεδίο μελέτης </ref> Δείτε τη συζήτηση στο κεφάλαιο 5 του Goldstein & Schappacher 2007. Πρόωρα σημάδια της αυτο-συνείδησης υπάρχουν ήδη επιστολές του Fermat: έτσι στις παρατηρήσεις του σχετικά με την θεωρία αριθμών είναι, και πώς "το έργο του Διόφαντου του [...] δεν ανήκουν πραγματικά σε [αυτό]» (όπως αναφέρεται στο Weil 1984) </ ref>

• Η ανάπτυξη τον πολύ σύγχρονων μαθηματικών που απαιτούνται για βασικές σύγχρονες θεωρίες αριθμών είναι: σύνθετη ανάλυση, Θεωρία Ομάδων, θεωρία Galois-συνοδεύεται από τη μεγαλύτερη αυστηρότητα στην ανάλυση και την αφαίρεση στην άλγεβρα.
• Η τραχιά υποδιαίρεση της θεωρίας αριθμών σε σύγχρονες υποπεδία, ιδίως,στην αναλυτική και στην Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών.

Η Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών μπορεί να ειπωθεί για να ξεκινήσει τη μελέτη της αμοιβαιότητας και της cyclotomy, αλλά πραγματικά τέθηκε με την ανάπτυξη της αφηρημένη άλγεβρα και στις αρχές της ιδανική θεωρία και της [αποτίμησης [(άλγεβρα ) | αποτίμησης]] θεωρίας (δείτε παρακάτω). Ένα συμβατικό σημείο εκκίνησης για αναλυτική θεωρία αριθμών είναι το [θεώρημα [Dirichlet για αριθμητική progressions]] (1837), Πρότυπο:SFN Πρότυπο:SFN απόδειξη της οποίας είναι η εισαγωγή L-λειτουργίες και η συμμετοχή σε κάποια ασυμπτωτική ανάλυση και μια διαδικασία περιορισμού σε μια πραγματική μεταβλητή </ref> Δείτε την απόδειξη στο Davenport & Montgomery 2000, ενότητα 1. </ ref > Η πρώτη χρήση της αναλυτικής και οι ιδέες στην θεωρία αριθμών στην πραγματικότητα πηγαίνει πίσω στο Euler (1730), Πρότυπο:SFN Πρότυπο:SFN που χρησιμοποιούνται επίσημη σειρά ισχύος και μη αυστηρή (ή σιωπηρή) στον περιορισμό της επιχειρήματα. Η χρήση των σύνθετη ανάλυση σε αριθμό θεωρία έρχεται αργότερα: το έργο του Bernhard Riemann (1859) σχετικά με την zeta λειτουργία είναι το κανονικό σημείο εκκίνησης Πρότυπο:SFN Jacobi είναι τεσσάρων τετραγωνικών θεώρημα (1839), η οποία είναι προγενέστερη,και ανήκει σε μια αρχικά διαφορετική έλικα που έχει ληφθεί από τώρα σε πρωταγωνιστικό ρόλο στην αναλυτική θεωρία αριθμών,(σπονδυλωτή μορφές ) </ref> Δείτε το σχόλιο σχετικά με τη σημασία της σπονδυλωτής στο Iwaniec & Κοβάλσκι 2004, σελ. 1. </ ref>

Η ιστορία του κάθε υποπεδίο εν συντομία από το δικό του τμήμα παρακάτω.Δείτε το κύριο άρθρο της κάθε υποπεδίο για πληρέστερη κατανόηση. Πολλά από τα πιο ενδιαφέροντα ερωτήματα σε κάθε περιοχή παραμένουν ανοιχτά .

Main subdivisions

Elementary tools

Ο όρος στοιχειώδη δηλώνει γενικά μια μέθοδο που δεν χρησιμοποιεί τη σύνθετη ανάλυση. Για παράδειγμα, η θεώρημα των πρώτων αριθμών για πρώτη φορά αποδείχθηκε το 1896, αλλά μια στοιχειώδης απόδειξη βρέθηκε μόνο το 1949 από Erdős και Selberg Πρότυπο:SFN Ο όρος είναι κάπως διφορούμενος για παράδειγμα, οι αποδείξεις που βασίζονται σε σύνθετες Tauberian θεώρημα s (π.χ. Wiener-Ikehara) εχουν συχνά θεωρηθεί αρκετά διαφωτιστικές, αλλά δεν είναι στοιχειώδες, παρά τη χρήση ανάλυσης Fourier. Εδώ, όπως και αλλού, μια στοιχειώδης απόδειξη μπορεί να είναι μεγαλύτερη και πιο δύσκολη για τους περισσότερους αναγνώστες από μια μη-στοιχειώδη.

Η Θεωρία των αριθμών έχει τη φήμη ότι είναι ένα πεδίο πολλών αποτελέσματων των οποίων μπορεί να δηλωθεί με τον ειδήμονα. Την ίδια στιγμή, οι αποδείξεις από τα αποτελέσματα αυτά δεν είναι ιδιαίτερα προσιτές, εν μέρει επειδή το φάσμα των εργαλείων που χρησιμοποιούν είναι, αν μη τι άλλο, ασυνήθιστα στα ευρεία μέσα στα μαθηματικά </ref> Βλέπε, π.χ., το αρχικό σχόλιο στο . Iwaniec & Κοβάλσκι 2004 </ ref>

Analytic number theory

Riemann zeta function ζ(s) in the complex plane. The color of a point s gives the value of ζ(s): dark colors denote values close to zero and hue gives the value's argument.

The action of the modular group on the upper half plane. The region in grey is the standard fundamental domain.

Αναλυτική Θεωρία Αριθμών μπορεί να οριστεί:

• Όσον αφορά τα εργαλεία της, όπως η μελέτη των ακεραίων με τη βοήθεια των εργαλείων από τις πραγματικές και πολύπλοκες αναλύσεις.Πρότυπο:SFN ή
• Όσον αφορά τις ανησυχίες της, όπως η μελέτη εντός της θεωρίας των αριθμών,των εκτιμήσεων για το μέγεθος και την πυκνότητα, σε αντίθεση με τις ταυτότητες </ref> Granville 2008, ενότητα 1:. "Η κύρια διαφορά είναι ότι στην αλγεβρική Θεωρία Αριθμών [...] θεωρείτε συνήθως στις ερωτήσεις με τις απαντήσεις που δίνονται από ακριβείς τύπους, ενώ στην αναλυτική θεωρία αριθμών [...] ψάχνει κανείς για καλές προσεγγίσεις. "</ ref>

Ορισμένα θέματα που γενικά θεωρείται ότι είναι μέρος της ψυχαναλυτικής θεωρίας αριθμού, π.χ., θεωρία κόσκινου, </ref group=note>.Θεωρία Κόσκινου-αριθμητικά δεδομένα ως μία από τις κύριες υποπεριοχές της αναλυτική θεωρίας αριθμών σε πολλά τυποποιημένες λύσεις.Βλέπε, για παράδειγμα, Iwaniec & Κοβάλσκι 2004 ή Montgomery & Vaughan 2007 </ ref> καλύπτονται καλύτερα από το δεύτερο και όχι το πρώτο ορισμό: μερικά από τα θεωρία κόσκινου, για παράδειγμα, χρησιμοποιεί μικρή ανάλυση , </ref group=note>.Αυτή είναι η περίπτωση για τα μικρά κόσκινα (ειδικότερα, ορισμένες συνδυαστικά κόσκινα όπως οι Brun κόσκινο), αντί για το μεγάλο κόσκινο,η μελέτη του τελευταίου περιλαμβάνει πλέον τις ιδέες από την αρμονικές και λειτουργική ανάλυση </ ref> όμως θεωρείται ότι είναι μέρος της ψυχαναλυτικής θεωρίας αριθμών.

Τα ακόλουθα είναι παραδείγματα των προβλημάτων στην αναλυτική θεωρία αριθμών: το θεώρημα των πρώτων αριθμών, η εικασία του Γκόλντμπαχ (ή το twin προνομιακή εικασίες, ή Hardy-Littlewood εικασίες s) , το Waring πρόβλημα και το Riemann Hypothesis. Μερικά από τα πιο σημαντικά εργαλεία της αναλυτικής θεωρίας αριθμών είναι η μέθοδος του κύκλου, μέθοδοι κόσκινο και L-λειτουργίες (ή, μάλλον, η μελέτη των ιδιοτήτων τους). Η θεωρία του σπονδυλωτή μορφές (και, γενικότερα, automorphic μορφές) και καταλαμβάνει όλο και κεντρική θέση στην εργαλειοθήκη των αναλυτικό αριθμό θεωρία.

Κάποιος μπορεί να ζητήσει αναλυτικές ερωτήσεις σχετικά με τον αλγεβρικό αριθμό s, και η χρήση των αναλυτικών μέσα για να απαντήσει σε αυτά τα ερωτήματα.Συνεπώς,το αλγεβρικό και αναλυτικό κομμάτι της θεωρία αριθμών τέμνονται. Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να καθορίσει ταπρονομιακά ιδεώδη της (γενικεύσεις του πρώτου αριθμόυ που ζουν στον τομέα των αλγεβρικών αριθμών) και να ρωτήσει πόσο προνομιακά είναι τα ιδεώδη που υπάρχουν μέχρι ένα ορισμένο μέγεθος. Αυτή η ερώτηση μπορεί να απαντηθεί μέσω της εξέτασης της Dedekind zeta λειτουργία , η οποία είναι γενικεύσεις της συνάρτηση Ζήτα, ένα πολύ σημαντικό κομμάτι της αναλυτικής καθώς και το αντικείμενο που περιγράφει την κατανομή των πρώτων αριθμών.

Algebraic number theory

Η Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών μελέτα της αλγεβρικές ιδιότητες και το αλγεβρικό αντικείμενα του ενδιαφέροντος στην θεωρία των αριθμών. (Έτσι,η αναλυτική και η αλγεβρική θεωρία αριθμών μπορεί και να κάνει επικάλυψη:Δηλαδη ο πρώην ορίζεται από τις μεθόδους της,όπως το τελευταίο από τα αντικείμενα της μελέτης).Ένα βασικό θέμα είναι ο αλγεβρικό αριθμό s, που είναι γενικεύσεις των ρητών αριθμών. Εν συντομία, ένας αλγεβρικός αριθμός είναι οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός που είναι μια λύση σε κάποιο πολυωνυμικής εξίσωσης $\scriptstyle f(x)=0$ με τους ορθολογικούς συντελεστές.Για παράδειγμα, κάθε διάλυμα $x$ of $\scriptstyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0$ (ας πούμε) είναι ένας αλγεβρικός αριθμός. Τα πεδία των αλγεβρικών αριθμών που ονομάζεται επίσης και αλγεβρικός τομέας αριθμών s, ή (και πιο σπάνια) πεδίο αριθμού s.

Θα μπορούσε να υποστηριχθεί ότι το απλούστερο είδος αριθμών πεδίων (δηλαδή, τετραγωνική πεδία) είχαν ήδη μελετηθεί από τον Gauss, όπως και η συζήτηση της τετραγωνικής μορφής Disquisitiones Arithmeticae μπορεί να αναμορφωθεί από την άποψη των ιδανικές και τους νόρμες στα τετραγωνικά πεδία. (Οτετραγωνικός τομέας αποτελείται από όλα αριθμούς της μορφής $\scriptstyle a+b{\sqrt {d}}$, όπου $a$ και $b$ αποτελούν ορθολογικούς αριθμούς και $d$ είναι ένα σταθερός ρητός αριθμός των οποίων η τετραγωνική ρίζα δεν είναι λογική.) Για το θέμα αυτό, το 11ο αιώνα η μέθοδος chakravala -με σύγχρονους όρους-ποσά σε έναν αλγόριθμο για την εύρεση των μονάδων μιας πραγματικής τετραγωνική πεδίο αριθμού. Ωστόσο, ούτε η Bhaskara, ούτε ο Gauss γνώριζε των αριθμό των πεδίων ως τέτοιο.

Οι λόγοι του θέματος όπως την ξέρουμε τέθηκαν στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, όταν το ιδανικότων αριθμών, η θεωρία των ιδανικών καιθεωρία αποτίμησης. Είναι τρεις συμπληρωματικοί τρόποί η αντιμετώπισης με την έλλειψη της μοναδικής παραγοντοποίησης στο αλγεβρικό πεδίο αριθμών. (Για παράδειγμα, στο πεδίο που παράγεται από τους ρητούς και$\scriptstyle {\sqrt {-5}}$, ο αριθμός $6$ μπορεί να factorised τόσο ως $\scriptstyle 6=2\cdot 3$ και $\scriptstyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ όλα $2$, $3$, $\scriptstyle 1+{\sqrt {-5}}$ και $\scriptstyle 1-{\sqrt {-5}}$ είναι ανάγωγο, και ως εκ τούτου, σε μια απλή έννοια,υπάρχει ανάλογη με primes μεταξύ των ακεραίων).Η αρχική ώθηση για την ανάπτυξη των ιδανικών αριθμών (από το Kummer.) φαίνεται να έχουν έρθει από τη μελέτη των υψηλότερων νόμων της αμοιβαιότητας , Πρότυπο:SFN, δηλαδή,τις γενικεύσεις της τετραγωνικής αμοιβαιότητας.

Τα πεδία Αριθμών συχνά μελετήθηκαν ως επεκτάσεις των μικρότερων πεδίων αριθμών: πεδίο L λέγεται ότι είναι μιαεπέκταση του πεδίου Κ αν L περιέχει Κ. (Για παράδειγμα, οι μιγαδικών αριθμών C είναι μια επέκταση των reals R, και οι πραγματικοί R είναι μια επέκταση των ρητών Q.) Ταξινόμηση των πιθανών επεκτάσεων ενός δεδομένου πεδίο αριθμών είναι δύσκολη και εν μέρει ένα ανοικτό πρόβλημα.Οι Abelian επεκτάσεις-που είναι, επεκτάσεις των L του Κ, έτσι ώστε η Galois ομάδα </ref group=note>.Η ομάδα Galois της επέκτασης K / L αποτελείται από τις εργασίες (isomorphisms) που αποστέλλουν στοιχεία του L με άλλα στοιχεία της L, αφήνοντας να καθοριστεί όλα τα στοιχεία του K . Έτσι, για παράδειγμα, Gal (C / R) αποτελείται από δύο στοιχεία: το στοιχείο της ταυτότητας (λαμβάνοντας κάθε στοιχείο Χ + iy της C στον εαυτό του) σύζευξη και πολύπλοκες (ο χάρτης λαμβάνοντας κάθε στοιχείο Χ + iy στο Χ -' iy)].

Η ομάδα του Galois της επέκτασης μας λέει πολλά από της ζωτικής σημασίας ιδιότητες. Η μελέτη του Galois ομάδες ξεκίνησαν με Εβαρίστ Galois.Στη σύγχρονη γλώσσα, το κύριο αποτέλεσμα της δουλειάς του είναι ότι μια εξίσωση f ( Χ) = 0 μπορεί να λυθεί με ρίζες (δηλαδή, x μπορεί να εκφραστεί από την άποψη των τεσσάρων βασικών λειτουργιών μαζί με τετραγωνικές ρίζες, κυβικά ρίζες, κ.λπ.) αν και μόνο αν η επέκταση των ρητών από τις ρίζες της εξίσωσης f ( Χ) = 0 έχει μια ομάδα Galois που είναι μια επιλύσιμο με την έννοια της θεωρίας της ομάδας. ("Solvable», με την έννοια της ομάδας θεωρία, είναι μια απλή ιδιότητα που μπορούν να ελεγχθούν εύκολα για πεπερασμένες ομάδες.) </ Ref> Gal ( L / Κ) από L πάνω Κ είναι μια abelian ομάδα-είναι σχετικά καλά κατανοητή. Η Κατάταξή τους ήταν το αντικείμενο του προγράμματος της θεωρία πεδίου class, η οποία ξεκίνησε στα τέλη του 19ου αιώνα (εν μέρει από τον Kronecker και τον Eisenstein) και πραγματοποιήθηκε σε μεγάλο βαθμό το 1900 - 1950.

Ένα παράδειγμα ενός ενεργού χώρου έρευνας στον αλγεβρική θεωρία αριθμών είναι η Iwasawa θεωρία. Το Langlands πρόγραμμα, ένας από τους κύριους τρέχουσας μεγάλης κλίμακας σχεδίων έρευνας στα μαθηματικά,περιγράφεται μερικές φορές ως μια προσπάθεια να γενικεύσουν την τάξη της θεωρίας πεδίου για μη-abelian επεκτάσεις αριθμό πεδίων.

Diophantine geometry

Το κεντρικό πρόβλημα τηςDiophantine γεωμετρίας είναι να διαπιστώσει πότε μια Diophantine εξίσωση έχει λύσεις, και αν ναι, πόσες. Η προσέγγιση που ακολουθείται είναι να σκεφτούμε τις λύσεις της εξίσωσης ως ένα γεωμετρικό αντικείμενο.

Για παράδειγμα, μια εξίσωση με δύο μεταβλητές ορίζει μία καμπύλη στο επίπεδο. Γενικότερα, μια εξίσωση ή σύστημα εξισώσεων, σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές ορίζει μια καμπύλη, μια επιφάνειας ή κάποιο άλλο τέτοιο αντικείμενο στο n-διάστατο χώρο . Στην Diophantine γεωμετρία, κάποιος μπορεί ρωτήσει αν υπάρχουν ρητά σημεία (σημεία του οποίου όλες οι συντεταγμένες είναι ρητοί) ή αναπόσπαστο σημεία (σημεία όλων των οποίων οι συντεταγμένες είναι ακέραιοι αριθμοί) στην καμπύλη ή επιφάνεια. Αν υπάρχουν τέτοια σημεία, το επόμενο βήμα είναι να ρωτήσει πόσα υπάρχουν και πώς διανέμονται. Ένα βασικό ερώτημα προς την κατεύθυνση αυτή είναι: υπάρχουν πεπερασμένα ή άπειρα ρητά σημεία σε μια δεδομένη καμπύλη (ή την επιφάνεια); Τι γίνεται με τα ακέραια σημεία;

Ένα παράδειγμα εδώ μπορεί να είναι χρήσιμο. Σκεφτείτε το εξίσωση Πυθαγόρειο $x^{2}+y^{2}=1$ θα θέλαμε να μελετήσουμε λογικές λύσεις, δηλαδή, οι λύσεις της $(x,y)$ τέτοια ώστε τα Χ και y είναι τόσο λογικά. Αυτό είναι το ίδιο όπως ζητώντας για όλα τα διαλύματα ακέραιος σε $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ οποιαδήποτε λύση στην τελευταία εξίσωση δίνει μας μια λύση $x=a/c$, $y=b/c$ με την προηγούμενη. Είναι επίσης η ίδια ζητώντας όλα τα σημεία με τις ορθολογικές συντεταγμένες στην καμπύλη που περιγράφεται από $x^{2}+y^{2}=1$. (Αυτή η καμπύλη είναι έναw κύκλο ακτίνας 1 γύρω από την αρχή.)

Two examples of an elliptic curve, i.e., a curve of genus 1 having at least one rational point. (Either graph can be seen as a slice of a torus in four-dimensional space.)

Η αναδιατύπωση των ερωτήσεων για τις εξισώσεις από την άποψη των σημείων σε καμπύλες αποδεικνύεται ότι είναι ευτυχής. Το πεπερασμένο ή όχι από τον αριθμό των ορθολογικών ή των ακεραίων σημείων για μια αλγεβρική καμπύλη-που έχειι, ορθολογική ή ακέραιες λύσεις σε μια εξίσωση $f(x,y)=0$, όπου $f$ είναι ένα πολυώνυμο με δύο μεταβλητές στροφές που εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από το γένος της καμπύλης. Το γένος μπορεί να οριστεί ως εξής: </ref group=note> Μπορεί να είναι χρήσιμο να δούμε ένα παράδειγμα εδώ. Πείτε ότι θέλουμε να μελετήσουμε την καμπύλη $y^{2}=x^{3}+7$. Επιτρέπουμε Χ και y να είναι πολύπλοκη αριθμούς: $(a+bi)^{2}=(c+di)^{3}+7$. Αυτό είναι, στην πραγματικότητα, ένα σύνολο από δύο εξισώσεις στις τέσσερις μεταβλητές, δεδομένου ότι τόσο το πραγματικό και το φανταστικό μέρος για κάθε πλευρά πρέπει να ταιριάζουν. Ως αποτέλεσμα, έχουμε μια επιφάνεια (δύο διαστάσεων) σε τέσσερις διαστάσεων χώρο.

Αφού επιλέξετε ένα βολικό hyperplane στο οποίο θα προβάλει την επιφάνεια (πράγμα που σημαίνει ότι, για παράδειγμα, επιλέγουμε να αγνοήσουμε τη συντεταγμένη a), μπορούμε να παρατηρήσουμε την προκύπτουσα προεξοχή, η οποία είναι μια επιφάνεια σε συνήθη τρισδιάστατο χώρο.Αυτό τότε γίνεται σαφές ότι το αποτέλεσμα είναι ένα Torus, δηλαδή, η επιφάνεια ενός ντόνατ (κάπως τεντωμένο).

Ένα ντόνατ έχει μια τρύπα. Ως εκ τούτου το γένος που είναι 1 </ ref> και οι μεταβλητές που επιτρέπουν $f(x,y)=0$ είναι πολύπλοκοι αριθμοί. Τότε $f(x,y)=0$ ορίζει μια 2-διαστάσεων επιφάνεια (προβολική) σε εναν 4-διάστασεων χώρο (δεδομένου ότι οι δύο σύνθετες μεταβλητές μπορούν να αναλυθούν σε τέσσερεις πραγματικές μεταβλητές, δηλαδή τέσσερις διαστάσεις).Η αρίθμηση- ο αριθμός των (ντόνατς) τρύπών στην επιφάνεια ποιος ειναι?Καλέσετε τον αριθμό αυτό το γένος της $f(x,y)=0$. Άλλες γεωμετρικές έννοιες έχουν αποδειχθεί ότι είναι εξίσου ζωτικής σημασίας.

Κριτήρια διαιρετότητας

Η μελέτη της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών μπορεί να μας δώσει κάποια κριτήρια διαιρετότητας για τους ακεραίους. Για παράδειγμα ένας αριθμός είναι άρτιος (διαιρείται με το 2) αν το τελευταίο του ψηφίο είναι άρτιο (0, 2, 4, 6, 8). Αντίστοιχα ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι αν ένας αριθμός διαιρείται με το 3, τότε το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Αντίστοιχο κριτήριο ισχύει και για το 9.

Τα κριτήρια αυτά μας βοηθάνε να κάνουμε υπολογισμούς χρήσιμους στη Θεωρία Αριθμών ταχύτερα.