Γεωμετρική πρόοδος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ Robot: Προσθήκη ημερομηνίας στην ετικέτα του προτύπου {{πηγές}}; διακοσμητικές αλλαγές
Alkgeopa (συζήτηση | συνεισφορές)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 13: Γραμμή 13:


[[Αρχείο:Geometric progression convergence diagram.svg|thumb|200px|Απεικόνιση της περατότητας της σειράς γεωμετρικής προόδου με λ=1/2. Το κάθε επιμέρους εμβαδόν αντιστοιχεί σε έναν όρο της γεωμετρικής προόδου, ενώ το συνολικό εμβαδόν αντιστοιχεί στη σειρά, με άθροισμα 2.]]
[[Αρχείο:Geometric progression convergence diagram.svg|thumb|200px|Απεικόνιση της περατότητας της σειράς γεωμετρικής προόδου με λ=1/2. Το κάθε επιμέρους εμβαδόν αντιστοιχεί σε έναν όρο της γεωμετρικής προόδου, ενώ το συνολικό εμβαδόν αντιστοιχεί στη σειρά, με άθροισμα 2.]]
*Αν λ δεν είναι ένα:
*Αν το λ δεν είναι 1:
**Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου (α<sub>ν</sub>) ( με πρώτον όρο τον α<sub>1</sub>) ισούται με <math>\Sigma_\nu=\alpha_1\frac{\lambda^{\nu}-1}{\lambda-1}</math>
**Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου (α<sub>ν</sub>) ( με πρώτον όρο τον α<sub>1</sub>) ισούται με <math>\Sigma_\nu=\alpha_1\frac{\lambda^{\nu}-1}{\lambda-1}</math>
***Αν η πρόοδος είναι φθίνουσα (<math>|\lambda|<1</math>), τότε η [[σειρά (μαθηματικά)|σειρά]] των όρων της γεωμετρικής προόδου (δηλαδή το διαδοχικό άθροισμα των άπειρων όρων της) που έχει πρώτο όρο τον αριθμό α1 και λόγο λ, δίνεται από τον τύπο: <math>\frac{\alpha_1}{1-\lambda}</math>
***Αν η πρόοδος είναι φθίνουσα (<math>|\lambda|<1</math>), τότε η [[σειρά (μαθηματικά)|σειρά]] των όρων της γεωμετρικής προόδου (δηλαδή το διαδοχικό άθροισμα των άπειρων όρων της) που έχει πρώτο όρο τον αριθμό α1 και λόγο λ, δίνεται από τον τύπο: <math>\frac{\alpha_1}{1-\lambda}</math>

Έκδοση από την 13:49, 2 Αυγούστου 2012

Γεωμετρική πρόοδος είναι η ακολουθία , στην οποία κανένας όρος δεν ισούται με το μηδέν και για δύο διαδοχικούς όρους της αν, αν+1 ισχύει ότι , όπου λ μία μη μηδενική σταθερή ποσότητα. Η ποσότητα λ ονομάζεται λόγος της γεωμετρικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν το οποιοδήποτε πηλίκο δύο διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι συγκεκριμένο, τότε αυτή η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος. Έτσι, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο τύπους:

  • Γενικός τύπος: αν1·λν-1
  • Αναδρομικός τύπος: ανν-1·λ

Ιδιότητες της προόδου

Γραφική παράσταση αύξουσας γεωμετρικής προόδου.
  • Ο γεωμετρικός μέσος όρος δύο αριθμών α,γ είναι ο β, αν και μόνο αν οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.
Απεικόνιση της περατότητας της σειράς γεωμετρικής προόδου με λ=1/2. Το κάθε επιμέρους εμβαδόν αντιστοιχεί σε έναν όρο της γεωμετρικής προόδου, ενώ το συνολικό εμβαδόν αντιστοιχεί στη σειρά, με άθροισμα 2.
  • Αν το λ δεν είναι 1:
    • Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου (αν) ( με πρώτον όρο τον α1) ισούται με
      • Αν η πρόοδος είναι φθίνουσα (), τότε η σειρά των όρων της γεωμετρικής προόδου (δηλαδή το διαδοχικό άθροισμα των άπειρων όρων της) που έχει πρώτο όρο τον αριθμό α1 και λόγο λ, δίνεται από τον τύπο:
  • Αν λ=1, τότε όλοι οι όροι της γεωμετρικής προόδου είναι ίσοι μεταξύ τους και το άθροισμα ν όρων είναι v·α1.
  • Αν λ=-1, τότε όλοι οι όροι της γεωμετρικής προόδου έχουν ίδια απόλυτη τιμή και το άθροισμα ν όρων είναι α1, αν ν περιττός αριθμός και 0 αν ν άρτιος αριθμός.