Κυκλοτομικό σώμα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε

Ενδογραμμικά

Έκδοση από την 01:00, 22 Ιουλίου 2012

Ως m-οστό κυκλοτομικό σώμα ( $m^{th}$ cyclotomic field) ορίζουμε το σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας στο $\mathbb {Q}$ μια πρωταρχική m-οστή ρίζα της μονάδας ,δηλαδή είναι της μορφής $\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi ki}{m}})$ με $(k,m)=1$ .Το σώμα αυτό περιέχει όλες τις m-οστές ρίζες της μονάδας και είναι το σώμα ριζών (spliting field) του m-οστού κυκλοτομικού πολυωνύμου.Ακόμα ισχύει ότι $[\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi ki}{m}}):\mathbb {Q} ]=\phi (m)$ όπου $(k,m)=1$ και ${\mathcal {\phi }}$ η αριθμητική συνάρτηση του Euler.

Παράδειγμα

Στην περίπτωση που m=p πρώτος έχουμε ότι το p-οστό κυκλοτομικό σώμα είναι το $\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi i}{m}})$ και επιπλέον ότι $Irr(e^{\frac {2\pi i}{m}},\mathbb {Q} )=t^{p-1}+t^{p-2}+..+t+1$ οπότε $[\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi i}{m}}):\mathbb {Q} ]=p-1=\phi (p)$ .

@@ Γραμμή 1: / Γραμμή 1: @@
 {{ορφανό|ημερομηνία=Φεβρουαρίου 2010}}
-Ως m-οστό κυκλοτομικό σώμα ('''<math>m^{th}</math> cyclotomic field''') ορίζουμε το σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας στο <math>\mathbb{Q}</math> μια [[πρωταρχική]] m-οστή ρίζα της μονάδας ,δηλαδή είναι της μορφής <math>\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi k i}{m}})</math> με <math>(k,m)=1</math>.Το [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]] αυτό περιέχει όλες τις m-οστές ρίζες της μονάδας και είναι το σώμα ριζών ('''spliting field''') του m-οστού [[κυκλοτομικό πολυώνυμο|κυκλοτομικού πολυωνύμου]].Ακόμα ισχύει ότι <math>[\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi k i}{m}}):\mathbb{Q}]=\phi(m)</math> όπου  <math>(k,m)=1</math> και <math>\mathcal{\phi}</math> η αριθμητική [[συνάρτηση του Euler]].
+Ως m-οστό '''κυκλοτομικό σώμα''' ('''<math>m^{th}</math> cyclotomic field''') ορίζουμε το σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας στο <math>\mathbb{Q}</math> μια [[πρωταρχική]] m-οστή ρίζα της μονάδας ,δηλαδή είναι της μορφής <math>\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi k i}{m}})</math> με <math>(k,m)=1</math>.Το [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]] αυτό περιέχει όλες τις m-οστές ρίζες της μονάδας και είναι το σώμα ριζών ('''spliting field''') του m-οστού [[κυκλοτομικό πολυώνυμο|κυκλοτομικού πολυωνύμου]].Ακόμα ισχύει ότι <math>[\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi k i}{m}}):\mathbb{Q}]=\phi(m)</math> όπου  <math>(k,m)=1</math> και <math>\mathcal{\phi}</math> η αριθμητική [[συνάρτηση του Euler]].
 ==Παράδειγμα==
 * Στην περίπτωση που m=p πρώτος έχουμε  ότι το p-οστό κυκλοτομικό σώμα είναι το <math>\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i}{m}})</math> και επιπλέον  ότι <math>Irr(e^{\frac{2\pi i}{m}},\mathbb{Q})=t^{p-1}+t^{p-2}+..+t+1</math> οπότε <math>[\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i}{m}}):\mathbb{Q}]=p-1=\phi(p)</math>.
 [[Κατηγορία:Άλγεβρα]]