Απόσταση (γεωμετρία)

Έντονο κείμενοΠρότυπο:Επιστημονικό πεδίο

Απόσταση είναι μια αριθμητική περιγραφή του πόσο μακριά είναι τα αντικείμενα. Στη φυσική ή στην καθημερινή συζήτηση η απόσταση μπορεί να αναφέρεται σε μια φυσική διάρκεια ή μια εκτίμηση με βάση άλλα κριτήρια. Στα μαθηματικά η απόσταση ή μετρική είναι μια γενίκευση της έννοιας της φυσικής απόστασης. Μια μετρική είναι μια λειτουργία που συμπεριφέρεται σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο σύνολο κανόνων, και παρέχει ένα συγκεκριμένο τρόπο να περιγράψει τι σημαίνει για τα στοιχεία κάποιου χώρου να είναι <<κοντά>> ή <<μακριά>> το ένα από το άλλο. Στις περισσότερες περιπτώσεις, <<απόσταση από το Α στο Β>> είναι ισοδύναμο με το <<απόσταση μεταξύ Β και >>.

Στη βασική Γεωμετρία η έννοια της απόστασης ορίζεται ως το ελάχιστο μήκος ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει σημεία, ευθείες ή επίπεδα μεταξύ τους. Συγκεκριμένα απαντάται στις ακόλουθες περιπτώσεις:

• Απόσταση μεταξύ δύο σημείων: λέγεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει τα δύο αυτά σημεία.
• Απόσταση σημείου από ευθείας: λέγεται το κάθετο τμήμα που άγεται από το σημείο προς την ευθεία.
• Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών: λέγεται το μήκος της μεταξύ αυτών κοινής καθέτου.
• Απόσταση μεταξύ δύο ασυμβάτων ευθειών(δηλαδή μη κείμενων στο αυτό επίπεδο): λέγεται το μήκος της μεταξύ αυτών κοινής καθέτου.
• Απόσταση σημείου από επιπέδου: λέγεται το μήκος της καθέτου που άγεται από το σημείο προς το επίπεδο.
• Απόσταση μεταξύ δύο παραλλήλων επιπέδων: λέγεται το μεταξύ τούτων τμήμα οποιασδήποτε κοινής καθέτου διέρχόμενης αμφοτέρων.
• Απόσταση μεταξύ δύο συνόλων από σημεία: λέγεται το τμήμα του οποίου τα ακρα είναι από το ένα και το άλλο σύνολο και έχει το μικρότερο μήκος.

Τυπικά η απόσταση ορίζεται ως απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις αυτό ειναι που υπολογίζεται.

Μαθηματικά

Δες επίσης:Μετρική (μαθηματικά)

Γεωμετρία

Στην βασική Γεωμετρία η απόσταση μεταξύ δύο σημείων (x₁) και (x₂) είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που τα συνδέει:

$d={\sqrt {(\Delta x)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}.\,$

Στην Αναλυτική Γεωμετρία η απόσταση δύο σημείων που ανήκουν στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο της απόστασης.Η απόσταση μεταξύ των σημείων (x₁, y₁) και (x₂, y₂) δίνεται από:

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.\,$

Όμοια,δοσμένων σημείων (x₁, y₁, z₁) και (x₂, y₂, z₂) στον τρισδιάστατο χώρο,η μεταξύ τους απόσταση δίνεται από:

$d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.$

Αυτοί οι τύποι προκύπτουν εύκολα από την κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου και εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Στη μελέτη πολύπλοκων γεωμετριών, καλούμε αυτόν τον τύπο της απόστασης Ευκλείδεια απόσταση, δεδομένου ότι προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα, και ο οποίος δεν ισχύει σε μη Ευκλείδεια γεωμετρία.

Απόσταση σε Ευκλείδειους χώρους

Στον Ευκλείδειο χώρο Rⁿ η απόσταση μεταξύ δύο σημείων δίνεται συνήθως από την Ευκλείδεια απόσταση (2-νόρμική απόσταση d_2). Από ένα σημείο (x₁, x₂, ...,x_n) και ένα σημείο (y₁, y₂, ...,y_n), η Απόσταση Minkowski τάξης p (p-νορμική απόσταση) ορίζεται ως:

1-νορμική απόσταση	$d_{1}=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|$
2- νορμική απόσταση	$d_{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{2}\right)^{1/2}$
p-νορμική απόσταση	$d_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}$
∞- νορμική απόσταση	$d_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}$
	$=\max \left(|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|,\ldots ,|x_{n}-y_{n}|\right).$

όπου ο p δεν χρειάζεται να είναι ακέραιος αλλά δεν μπορεί να είναι μικρότερος από 1.