Πλατωνικό στερεό: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Katsba (συζήτηση | συνεισφορές)
Νέα σελίδα: '''Πλατωνικό στερεό''' λέγεται ένα κυρτό κανονικό πολύεδρο, του οποίου όλες οι έδρες εί...
 
Katsba (συζήτηση | συνεισφορές)
Προσθήκη ενότητας ιδιοτήτων
Γραμμή 20: Γραμμή 20:
Τα Πλατωνικά στερεά ονομάστηκαν έτσι, επειδή μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Στη φιλοσοφία του [[Πλάτων|Πλάτωνα]], τα στερεά αυτά συμβόλιζαν τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος: το [[τετράεδρο]] τη φωτιά, ο [[κύβος]] τη γη, το [[εικοσάεδρο]] το νερό, το [[οκτάεδρο]] τον αέρα και το [[δωδεκάεδρο]] τον αιθέρα.
Τα Πλατωνικά στερεά ονομάστηκαν έτσι, επειδή μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Στη φιλοσοφία του [[Πλάτων|Πλάτωνα]], τα στερεά αυτά συμβόλιζαν τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος: το [[τετράεδρο]] τη φωτιά, ο [[κύβος]] τη γη, το [[εικοσάεδρο]] το νερό, το [[οκτάεδρο]] τον αέρα και το [[δωδεκάεδρο]] τον αιθέρα.
Ο [[Ευκλείδης]] ασχολείται με αυτά στο 13ο βιβλίο των Στοιχείων του, όπου αποδεικνύει ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα και εκφράζεται η ακμή τους ως συνάρτηση της [[περιγεγραμμένη σφαίρα|περιγεγραμμένης σφαίρας]].
Ο [[Ευκλείδης]] ασχολείται με αυτά στο 13ο βιβλίο των Στοιχείων του, όπου αποδεικνύει ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα και εκφράζεται η ακμή τους ως συνάρτηση της [[περιγεγραμμένη σφαίρα|περιγεγραμμένης σφαίρας]].

== Ιδιότητες ==

Για το πλήθος των κορυφών K, των ακμών A και των εδρών E ισχύει το [[θεώρημα του Euler]]:
:<math>E + K = A + 2\,</math>

Αν θεωρήσουμε ότι κάθε έδρα έχει ν κορυφές (ν-γωνο) και ότι μ τέτοιες έδρες ενώνονται για να διαμορφώσουν μια πολυεδρική γωνία, τότε ισχύει:
:<math>E = \frac{4\mu}{2\mu + 2\nu - \mu\nu}</math>

{| class = "wikitable"
|-
!colspan=2 | Πολύεδρο
!Κορυφές<BR>K
!Ακμές<BR>A
!Έδρες<BR>E
![[Σύμβολο Schläfli|Σύμβολο Schläfli<BR>{ν, μ}]]
![[Διαμόρφωση κορυφής|Διαμόρφωση<BR>κορυφής]]
!Αντίστοιχο στοιχείο
|-
|[[Τετράεδρο]]
|[[Image:tetrahedron.svg|50px|Τετράεδρο]]
|4||6||4||{3, 3}||3.3.3||Φωτιά
|-
|[[Κύβος]]
|[[Image:hexahedron.svg|50px|Κύβος]]
|8||12||6||{4, 3}||4.4.4||Γη
|-
|[[Οκτάεδρο]]
|[[Image:octahedron.svg|50px|Οκτάεδρο]]
|6||12||8||{3, 4}||3.3.3.3||Αέρας
|-
|[[Δωδεκάεδρο]]
| [[Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px|Δωδεκάεδρο]]
|20||30||12||{5, 3}||5.5.5||Αιθέρας, σύμπαν
|-
|[[Εικοσάεδρο]]
| [[Image:icosahedron.svg|50px|Εικοσάεδρο]]
|12||30||20||{3, 5}||3.3.3.3.3||Νερό
|}






Έκδοση από την 15:15, 31 Αυγούστου 2011

Πλατωνικό στερεό λέγεται ένα κυρτό κανονικό πολύεδρο, του οποίου όλες οι έδρες είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες. Επομένως, όλες οι ακμές του είναι ίσα ευθύγραμμα τμήματα, καθώς επίσης και όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών του είναι ίσες.

Υπάρχουν μόνο πέντε τέτοια πολύεδρα:

Τετράεδρο Κύβος
(ή κανονικό εξάεδρο)
Οκτάεδρο Δωδεκάεδρο Εικοσάεδρο

(κινούμενο μοντέλο)


(κινούμενο μοντέλο)


(κινούμενο μοντέλο)


(κινούμενο μοντέλο)


(κινούμενο μοντέλο)

Τα Πλατωνικά στερεά ονομάστηκαν έτσι, επειδή μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Στη φιλοσοφία του Πλάτωνα, τα στερεά αυτά συμβόλιζαν τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος: το τετράεδρο τη φωτιά, ο κύβος τη γη, το εικοσάεδρο το νερό, το οκτάεδρο τον αέρα και το δωδεκάεδρο τον αιθέρα. Ο Ευκλείδης ασχολείται με αυτά στο 13ο βιβλίο των Στοιχείων του, όπου αποδεικνύει ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα και εκφράζεται η ακμή τους ως συνάρτηση της περιγεγραμμένης σφαίρας.

Ιδιότητες

Για το πλήθος των κορυφών K, των ακμών A και των εδρών E ισχύει το θεώρημα του Euler:

Αν θεωρήσουμε ότι κάθε έδρα έχει ν κορυφές (ν-γωνο) και ότι μ τέτοιες έδρες ενώνονται για να διαμορφώσουν μια πολυεδρική γωνία, τότε ισχύει:

Πολύεδρο Κορυφές
K
Ακμές
A
Έδρες
E
Σύμβολο Schläfli
{ν, μ}
Διαμόρφωση
κορυφής
Αντίστοιχο στοιχείο
Τετράεδρο Τετράεδρο 4 6 4 {3, 3} 3.3.3 Φωτιά
Κύβος Κύβος 8 12 6 {4, 3} 4.4.4 Γη
Οκτάεδρο Οκτάεδρο 6 12 8 {3, 4} 3.3.3.3 Αέρας
Δωδεκάεδρο Δωδεκάεδρο 20 30 12 {5, 3} 5.5.5 Αιθέρας, σύμπαν
Εικοσάεδρο Εικοσάεδρο 12 30 20 {3, 5} 3.3.3.3.3 Νερό