Εξίσωση Σρέντινγκερ

H εξίσωση Σρέντινγκερ ((Γερμανικά)Schrödinger) είναι μία διαφορική εξίσωση η οποία προτάθηκε από τον Αυστριακό φυσικό Έρβιν Σρέντινγκερ το 1925, για να περιγράψει τη χρονική και χωρική εξάρτηση κβαντομηχανικών συστημάτων. Παίζει κεντρικό ρόλο στην κβαντομηχανική θεωρία, με σημασία ανάλογη του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα στην κλασσική μηχανική.

Η εξίσωση

Αξιωματική Προσέγγιση

Η εξίσωση που επινόησε ο Σρέντινγκερ είναι η εξής:

${\hat {H}}\Psi ({\mathbf {r}},t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\mathbf {r}},t),$

όπου H είναι ο τελεστής της Χαμιλτονιανής (Hamiltonian) του συστήματος που εξετάζουμε, i η φανταστική μονάδα, t ο χρόνος, r η θέση στο χώρο και ħ η σταθερά δράσεως του Planck.

Για ένα μη σχετικιστικό σωμάτιο που κινείται υπό την επίδραση χρονοανεξάρτητου δυναμικού V(r), η Χαμιλτονιανή του είναι:

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+V({\mathbf {r}})\ ,$

οπότε και ο αντίστοιχος τελεστής της στην κβαντική μηχανική θα είναι ο

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {\mathbf {r} }})$

Στην αναπαράσταση των θέσεων, ο τελεστής της θέσης ταυτίζεται με τη δράση του μονόμετρου r. Αντίθετα, ο τελεστής της ορμής στην αναπαράσταση θέσεων έχει τη μορφή

${\hat {p}}=-i\hbar {\mathbf {\nabla }}\ ,$

όπου ∇ ο τελεστής ανάδελτα, η μορφή του οποίου εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται κάθε φορά. Ο τελεστής της Χαμιλτονιανής για ένα σωματίδιο υπό την επίδραση χρονοανεξάρτητου δυναμικού θα είναι τελικά:

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\mathbf {r} })$

Έχοντας την ακριβή μορφή μορφή της Χαμιλτονιανής στην αναπαράσταση θέσεων, μπορούμε να γράψουμε τη πλήρη μορφή της εξίσωσης Σρέντινγκερ:

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\mathbf {r} })\right)\Psi ({\mathbf {r} },t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\mathbf {r} },t)$

Για δεδομένη μορφή δυναμικού, η εξίσωση αυτή μπορεί πάντοτε (τουλάχιστον θεωρητικά) να λυθεί είτε αναλυτικά (για ακριβώς επιλύσιμα δυναμικά, όπως ο αρμονικός ταλαντωτής), είτε αριθμητικά με τη βοήθεια υπολογιστή.

Πώς σκέφτηκε ο Σρέντινγκερ

Παραπάνω είδαμε μία αξιωματική προσέγγιση προς την εξίσωση Σρέντινγκερ, το πώς όμως εκείνος κατέληξε στην εξίσωσή του δεν το γνωρίζουμε ακριβώς. Παρ' όλα αυτά, πιστεύεται ότι θα πρέπει να σκέφθηκε κάπως έτσι:
Στον ηλεκτρομαγνητισμό, στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, η ηλεκτρική συνιστώσα (Ε) όταν είναι μονοχρωματική περιγράφεται από την εξής μορφή:

${\mathbf {E} }={\mathbf {E} }_{0}e^{i({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}+{\mathbf {E} }_{0}e^{-i({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}\ ,$

όπου E₀ το πλάτος των κυμάτων, r το άνυσμα θέσης, k το κυματάνυσμα ή κυματαριθμός των κυμάτων, t ο χρόνος και ω η κυκλική ή γωνιακή συχνότητα των κυμάτων.

Γνωρίζουμε, όμως, από τον Λουί ντε Μπρολί (De Broglie) και την αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού ότι ένα κύμα μπορεί να συμπεριφεθεί και σαν σωμάτια που το καθένα θα έχει ορμή και ενέργεια όπως δίνονται στις παρακάτω δύο εξισώσεις:

$p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k\Rightarrow {\mathbf {p} }=\hbar {\mathbf {k} }$

$E=h\nu =\hbar \omega$

όπου λ το μήκος κύματος της ακτινοβολίας.

Σύμφωνα με τα παραπάνω, η εξίσωση που περιγράφει την ηλεκτρική συνιστώσα του ηλεκτρομαγνητικού κύματος παίρνει τη μορφή:

${\mathbf {E} }={\mathbf {E} }_{0}e^{i({\mathbf {p} }\cdot {\mathbf {r} }-Et)/\hbar }+{\mathbf {E} }_{0}e^{-i({\mathbf {p} }\cdot {\mathbf {r} }-Et)/\hbar }$

Αυτό το κύμα είναι μία από τις πολλές λύσεις της κυματικής εξίσωσης:

$\nabla ^{2}{\mathbf {E} }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\mathbf {E} }$

Πάλι, όμως, από την αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού γνωρίζουμε ότι ένα σωμάτιο μπορεί να συμπεριφερθεί στην κίνησή του σαν κύμα με μήκος κύματος: $\lambda ={\frac {h}{p}}$, οπότε, για να περιγράψουμε την κυματική κίνηση των σωματιδίων, επιδιώκουμε να βρούμε μία αντίστοιχη κυματική εξίσωση που να έχει ως λύση μια συνάρτηση της μορφής:

$\Psi ({\mathbf {r} },t)=ae^{i({\mathbf {p} }\cdot {\mathbf {r} }-Et)/\hbar }+be^{-i({\mathbf {p} }\cdot {\mathbf {r} }-Et)/\hbar }\ ,$

όπου p θα είναι η ορμή του σωματιδίου, Ε η ενέργειά του και a, b τα πλάτη που εν γένει θα είναι μιγαδικοί αριθμοί, αφού δεν γνωρίζουμε αν η Ψ είναι μετρήσιμο μέγεθος ή όχι. Επίσης τώρα η Ψ έχει βαθμωτό και όχι διανυσματικό χαρακτήρα όπως το ηλεκτρικό πεδίο (αυτή είναι η απλούστερη δυνατή μορφή).

Λόγω της κυματικής εξίσωσης, σκεφτόμαστε να παραγωγίσουμε αυτή τη σχέση μία και δύο φορές ως προς τον χρόνο και ως προς την θέση (παραγώγιση ως προς τη θέση σε περίπτωση περισσότερων των μία διαστάσεων σημαίνει να πάρουμε το ανάδελτα της). Γνωρίζοντας εμείς την εξίσωση Σρέντινγκερ, καταλαβαίνουμε ότι η δεύτερη παραγώγιση ως προς τον χρόνο και η πρώτη παραγώγιση ως προς τη θέση δε μας χρειάζονται, οπότε υπολογίζουμε τις άλλες δύο και έχουμε:

${\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\mathbf {r} },t)={\frac {E}{i\hbar }}\left(ae^{i({\mathbf {p} }\cdot {\mathbf {r} }-Et)/\hbar }+be^{-i({\mathbf {p} }\cdot {\mathbf {r} }-Et)/\hbar }\right)\Leftrightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\mathbf {r} },t)=E\Psi ({\mathbf {r} },t)$

$\nabla ^{2}\Psi ({\mathbf {r} },t)=-{\frac {p^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(ae^{i({\mathbf {p} }\cdot {\mathbf {r} }-Et)/\hbar }+be^{-i({\mathbf {p} }\cdot {\mathbf {r} }-Et)/\hbar }\right)=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\Psi ({\mathbf {r} },t)\Leftrightarrow -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ({\mathbf {r} },t)=E\Psi ({\mathbf {r} },t)$

Παραπάνω υποθέσαμε ότι το δυναμικό ισούται με 0, δηλαδή ότι έχουμε ένα ελεύθερο σωμάτιο, οπότε και η ενέργεια του σωματιδίου θα ισούται με την κινητική του ενέργεια, δηλαδή Ε=p²/2m. Από τις δύο παραπάνω εξισώσεις είναι αμέσως φανερό ότι

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\mathbf {r} },t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ({\mathbf {r} },t)\ ,$

που είναι η γνωστή μας εξίσωση Σρέντιγκερ για ελεύθερο σωματίδιο με λύση, όπως ήδη είπαμε (αφού βάσει αυτής κατασκευάσαμε την εξίσωση), την:

$\Psi ({\mathbf {r} },t)=ae^{i({\mathbf {p} }\cdot {\mathbf {r} }-Et)/\hbar }+be^{-i({\mathbf {p} }\cdot {\mathbf {r} }-Et)/\hbar }$

Αναλυτική Επίλυση της εξίσωσης Σρέντινγκερ

Η μόνη ουσιαστική μέθοδος για να λύσουμε αναλυτικά μία μερική διαφορική εξίσωση (διαφορική εξίσωση μερικών παραγώγων) όπως είναι η εξίσωση Σρέντινγκερ, είναι η μέθοδος του χωρισμού μεταβλητών. Βάσει της μεθόδου αυτής, αν έχουμε μια συνάρτηση π.χ. δύο μεταβλητών u(x,y) η οποία ικανοποιεί μια μερική διαφορική εξίσωση της μορφής Lu(x,y)=0 με L ένα γραμμικό διαφορικό τελεστή που γράφεται ως άθροισμα επιμέρους τελεστών, καθένας εκ των οποίων είναι ένας τελεστής μιας μόνο από τις τρεις μεταβλητές που υποθέσαμε, τότε μπορούμε να γράψουμε τη ζητούμενη συνάρτηση στη μορφή u(x,y)=X(x)Y(y), όπου Χ και Y δυο συναρτήσεις μιας μόνο μεταβλητής.

Το ίδιο μπορούμε να εφαρμόσουμε όσον αφορά την κυματοσυνάρτηση που προκύπτει ως λύση της εξίσωσης Σρέντινγκερ, αν και μόνο αν ο τελεστής

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

ικανοποιεί τα απαραίτητα κριτήρια που προαναφέραμε για να λειτουργήσει η μέθοδος του χωρισμού των μεταβλητών. Ο τελεστής της Λαπλασιανής ∇² δρα μόνο πάνω στο χωρικό τμήμα της κυματοσυνάρτησης ("βλέπει" μόνο τη χωρική μεταβλητή r), το δυναμικό όμως μπορεί να είναι μια (ενδεχομένως πολύπλοκη) συνάρτηση τόσο της μεταβλητής r, όσο και του χρόνου t. Επειδή τα περισσότερα δυναμικά που μας ενδιαφέρουν (τουλάχιστον σε αρχικό επίπεδο) είναι χρονοανεξάρτητα, θα υποθέσουμε ότι V=V(r). Η δράση του τελεστή της δυναμικής ενέργειας λοιπόν θα "βλέπει" και αυτή μόνο τη χωρική μεταβλητή r.

Συνεπώς, υπό την παραπάνω προϋπόθεση (χρονοανεξάρτητο δυναμικό), ο τελεστής της Χαμιλτονιανής όντως ικανοποιεί τα απαραίτητα κριτήρια. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε την ολική κυματοσυνάρτηση, Ψ(r,t), ως γινόμενο δύο συναρτήσεων:

$\Psi ({\mathbf {r} },t)=\psi ({\mathbf {r} })T(t)$

Η συνάρτηση ψ(r) είθισται να ονομάζεται χωρική κυματοσυνάρτηση, μιας και εμπεριέχει χωρική πληροφορία (είναι συνάρτηση της μεταβλητής r). Αντίθετα, η συνάρτηση Τ θα είναι μια συνάρτηση που θα περιγράφει πως εξελίσσεται η ολική κυματοσυνάρτηση Ψ στο χρόνο.

Αν αντικαταστήσουμε τη μορφή αυτή της Ψ στην εξίσωση Σρέντινγκερ, βρίσκουμε ότι:

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\mathbf {r} })-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)\psi ({\mathbf {r} })T(t)=0$

$T(t)\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\mathbf {r} })\right)\psi ({\mathbf {r} })-i\hbar \psi ({\mathbf {r} }){\frac {\partial }{\partial t}}T(t)=0$

$T(t)\left({\hat {H}}\psi ({\mathbf {r} })\right)-\left(i\hbar \psi ({\mathbf {r} })\right){\dot {T}}(t)=0$

$i\hbar {\frac {{\dot {T}}(t)}{T(t)}}={\frac {{\hat {H}}\psi ({\mathbf {r} })}{\psi ({\mathbf {r} })}}=\lambda$

Εκτελώντας τις πράξεις συμπεραίνουμε λοιπόν ότι δυο συναρτήσεις ανεξάρτητων μεταβλητών (μια του χρόνου και μια της μεταβλητής r) θα είναι ίσες μεταξύ τους. Ο μόνος τρόπος δυο συναρτήσεις διαφορετικών μεταβλητών να είναι ίσες, είναι όταν και οι δύο ισούνται με μια σταθερά, έστω λ.

Προκύπτουν συνεπώς δύο εξισώσεις, μια για κάθε συνάρτηση. Η επίλυση αυτών των (συνήθων) διαφορικών εξισώσεων θα μας δώσουν τη μορφή της κάθε συνάρτησης, με αποτέλεσμα να μπορέσουμε να προσδιορίσουμε τελικά την ολική κυματοσυνάρτηση του συστήματός μας. Για τη χωρική κυματοσυνάρτηση, προκύπτει η παρακάτω εξίσωση:

${\hat {H}}\psi ({\mathbf {r} })=\lambda \psi ({\mathbf {r} })$

Η εξίσωση αυτή είναι μια λεγόμενη εξίσωση ιδιοτιμών, και η επίλυσή της θα μας προσδιορίσει τις ιδιοτιμές της Χαμιλτονιανής. Επειδή όμως η Χαμιλτονιανή ταυτίζεται με την ενέργεια του συστήματος, οι ιδιοτιμές της θα ταυτίζονται με τις ενεργειακές στάθμες του συστήματος. Η ενεργειακή κβάντωση που είναι χαρακτηριστικό γνώρισμα της Κβαντομηχανικής είναι ένα αναπόφευκτο μαθηματικό αποτέλεσμα της θεωρίας ιδιοτιμών. Συνεπώς, μπορούμε να πούμε ότι η σταθερά λ που εισαγάγαμε αυθαίρετα κατά την εφαρμογή μεθόδου του χωρισμού των μεταβλητών, θα είναι η ενέργεια, Ε, του συστήματος. Η παρατήρηση αυτή μας οδηγεί στη λεγόμενη χρονοανεξάρτητη εξίσωση Σρέντινγκερ:

${\hat {H}}\psi ({\mathbf {r} })=E\psi ({\mathbf {r} })\Leftrightarrow \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\mathbf {r} })\right)\psi ({\mathbf {r} })=E\psi ({\mathbf {r} })$

H επίλυσή της, δηλαδή, μπορεί να αναχθεί σε ένα πρόβλημα επίλυσης μιας διαφορικής εξίσωσης με δεδομένο τελεστή.

Η χρονική συνάρτηση από την άλλη, θα ικανοποιεί τη παρακάτω διαφορική εξίσωση:

$i\hbar {\frac {{\dot {T}}(t)}{T(t)}}=E\Leftrightarrow {\dot {T}}(t)={\frac {E}{i\hbar }}T(t)\ ,$

της οποίας η λύση είναι τετριμμένη. Η χρονική συνάρτηση Τ(t) θα έχει λοιπόν την εξής μορφή:

$T(t)=e^{-iEt/\hbar }$

Η σταθερά παραλείφθηκε, καθώς εκείνη μπορεί πάντοτε να απορροφηθεί από τη χωρική κυματοσυνάρτηση ψ κατά τον πολλαπλασιασμό τους για να πάρουμε τελικά την ολική κυματοσυνάρτηση Ψ.

Άρα λοιπόν, η ολική κυματοσυνάρτηση του προβλήματος θα γράφεται ως εξής:

$\Psi ({\mathbf {r} },t)=N\psi ({\mathbf {r} })e^{-iEt/\hbar }$

Μια από τις απαιτήσεις της κυματοσυνάρτησης, είναι να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη και το ολοκλήρωμα

$\int |\Psi ({\mathbf {r}},t)|^{2}d^{3}{\mathbf {r}}$

πάνω σε ολόκληρο το χώρο να ισούται με μονάδα (το οποίο ισοδυναμεί με την απαίτηση η συνολική πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο οπουδήποτε στο χώρο, οποιαδήποτε χρονική στιγμή να είναι 1). Η συνθήκη αυτή θα μας προσδιορίσει τη σταθερά κανονικοποίησης Ν, η οποία μας εξασφαλίζει ότι η ολική κυματοσυνάρτηση Ψ έχει όλα τα "καλά" χαρακτηριστικά μιας κυματοσυνάρτησης που περιγράφει ένα φυσικό σύστημα. Πρέπει να τονισθεί και πάλι ότι όλη η παραπάνω ανάλυση ισχύει μόνο εάν το δυναμικό του προβλήματος είναι χρονοανεξάρτητο.

Στην ίδια περίπτωση που μελετάμε, αξίζει να παρατηρήσουμε το εξής: Η πιθανότητα ανά μονάδα όγκου, P, να βρούμε το σωματίδιο σε μια περιοχή όγκου μεταξύ V και V+dV θα ισούται κάθε χρονική στιγμή με την απόλυτη τιμή της κυματοσυνάρτησης στο τετράγωνο. Συνεπώς,

$P=|\Psi ({\mathbf {r}},t)|^{2}=|\psi ({\mathbf {r}})e^{-iEt/\hbar }|^{2}=|\psi ({\mathbf {r}})|^{2}|e^{-iEt/\hbar }|^{2}=|\psi ({\mathbf {r}})|^{2}$

Η πιθανότητα είναι δηλαδή ανεξάρτητη του χρόνου. Και πάλι, αυτό είναι μια άμεση μαθηματική συνέπεια της μη-εξάρτησης του δυναμικού από το χρόνο. Τα συμπεράσματα αυτής της ανάλυσης όμως είναι πολύ σημαντικά, καθώς καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι για ένα σύστημα δεδομένης Χαμιλτονιανής με χρονοανεξάρτητο δυναμικό, αρκεί μονάχα να λύσουμε το χρονοανεξάρτητο μέρος της εξίσωσης Σρέντινγκερ. Όλες οι ποσότητες που μας ενδιαφέρουν θα προκύψουν εν τέλει από τη χωρική κυματοσυνάρτηση.

Γιατί Ε είναι η ενέργεια του σωματίου;

Έχουμε ότι:

${\hat {H}}\Psi _{\vec {r}}=E\Psi _{\vec {r}}$.

Προφανώς αρκεί να δείξουμε ότι η μέση τιμή της ενέργειας ($\langle E\rangle$) και η αβεβαιότητα της ($\Delta E$) ισούνται με μηδέν (0). Έχουμε:

$\langle E\rangle =\langle {\hat {H}}\rangle =\int _{V_{\infty }}\Psi _{\vec {r}}^{*}{\hat {H}}\Psi _{\vec {r}}dV=\int _{V_{\infty }}\Psi _{\vec {r}}^{*}E\Psi _{\vec {r}}dV=E\int _{V_{\infty }}\Psi _{\vec {r}}^{*}\Psi _{\vec {r}}dV=E\int _{V_{\infty }}|\Psi _{\vec {r}}|^{2}dV=E\cdot 1=E$

όπου το * δηλώνει το συζυγές μιγαδικό και:

$\Delta E=\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}$,

όμως:

$\langle E^{2}\rangle =\langle {\hat {H}}^{2}\rangle =\int _{V_{\infty }}\Psi _{\vec {r}}^{*}{\hat {H}}^{2}\Psi _{\vec {r}}dV=\int _{V_{\infty }}\Psi _{\vec {r}}^{*}{\hat {H}}({\hat {H}}\Psi _{\vec {r}})dV=E\int _{V_{\infty }}\Psi _{\vec {r}}^{*}{\hat {H}}\Psi _{\vec {r}}dV=E^{2}\int _{V_{\infty }}\Psi _{\vec {r}}^{*}\Psi _{\vec {r}}dV=E^{2}$.

Άρα:

$\Delta E=\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}=E^{2}-(E)^{2}=E^{2}-E^{2}=0$

και συνεπώς απεδείχθη ότι η Ε όντως ήταν η ενέργεια του σωματιδίου.

Παράδειγμα - Το Απειρόβαθο Πηγάδι

Το δυναμικό V(x) του απειρόβαθου πηγαδιού.

Το κλασικότερο ίσως παράδειγμα εφαρμογής της εξίσωσης Σρέντιγκερ σε εισαγωγικά βιβλία Κβαντομηχανικής, είναι το λεγόμενο απειρόβαθο πηγάδι, ή αλλιώς σωματίδιο σε μονοδιάστατο κουτί. Το πρόβλημα αυτό, παρά την απλότητά του, αναδεικνύει πολλές σημαντικές πτυχές της θεωρίας.

Η ιδέα λοιπόν είναι η εξής: Έστω σωματίδιο μάζας m, το οποίο κινείται σε ένα μονοδιάστατο "σωληνάκι" μήκους L με αδιαπέραστα τοιχώματα. Ο τρόπος με τον οποίο περιγράφουμε την απαίτηση αυτή μαθηματικά, είναι να πούμε ότι το δυναμικό του προβλήματος έχει την εξής μορφή:

$V(x)={\begin{cases}0,\ 0\leq x\leq L\\+\infty ,\ x<0,x>L\end{cases}}$

Η μαθηματική απαίτηση το δυναμικό να είναι άπειρο εκτός του διαστήματος [0,L] μας εξασφαλίζει ότι το κινούμενο σωματίδιο δεν θα μπορέσει ποτέ να διαπεράσει τα τοιχώματα του "σωλήνα". Ο όρος "απειρόβαθο πηγάδι" προκύπτει ακριβώς από τη μορφή του δυναμικού, καθώς μπορεί κανείς να φανταστεί πως το σωματίδιο είναι ουσιαστικά εγκλωβισμένο σε ένα είδος πηγαδιού άπειρου βάθους - με άλλα λόγια, όση ενέργεια κι αν έχει το σωματίδιο δεν θα καταφέρει ποτέ να διαφύγει.

Αφού η μορφή του δυναμικού μας είναι γνωστή, αρκεί να αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στη χρονοανεξάρτητη εξίσωση Σρέντιγκερ (μιας και η συνάρτηση που μας περιγράφει είναι απλώς ένα εκθετικό που μπορεί πάντοτε να προστεθεί ως επιπλέον όρος στο τελικό, χωρικό μας αποτέλεσμα). Η βολικότερη αναπαράσταση που μπορούμε να επιλέξουμε είναι εκείνη του χώρου των θέσεων, στον οποίο ο τελεστής της ορμής έχει τη μορφή:

${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}$

Αντίστοιχα, ο τελεστής της θέσης ταυτίζεται, φυσικά, με το φυσικό μέγεθος, x, της θέσης του σωματιδίου. Αντικαθιστώντας τελικά στη χρονοανεξάρτητη εξίσωση Σρέντιγκερ, βρίσκουμε ότι:

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right)\psi (x)=E\psi (x)\xrightarrow {V(x)=0} -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ''=E\psi \Leftrightarrow \psi ''+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi =0$

Οι ενέργειες των κυματοσυναρτήσεων n=1,2,3,4,5. Παρατηρείστε ότι ΔΕΝ ισαπέχουν.

Αν κάνουμε την αντικατάσταση k²=2mE/ħ², καταλήγουμε στην εξής διαφορική εξίσωση:

$\psi ''+k^{2}\psi =0\ \ \ \ \ \ \$

Η εξίσωση αυτή είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως, γραμμική, με σταθερούς συντελεστές. Οι λύσεις της είναι, κατά τα γνωστά, ένας γραμμικός συνδυασμός ημιτόνων και συνημιτόνων (όπως μπορεί εύκολα να επαληθευτεί). Συνεπώς, η γενική μορφή της κυματοσυνάρτησης ψ θα είναι η εξής:

$\psi (x)=A\sin {(kx)}+B\cos {(kx)}\ ,\ \ \ \$

όπου Α και Β δύο μιγαδικές σταθερές που θα προσδιοριστούν από τις συνοριακές συνθήκες και τις φυσικές απαιτήσεις που πρέπει να ικανοποιεί η χωρική κυματοσυνάρτηση ώστε να περιγράφει ένα πραγματικό σωματίδιο. Οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος ταυτίζονται, φυσικά, με την απαίτηση η κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου στα σημεία x=0 και x=L να ισούται με μηδέν. Αυτό αντιστοιχεί σε μηδενική πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο στα δυο αυτά σημεία, κάτι που μας το εξασφαλίζει η μορφή του δυναμικού που υποθέσαμε αρχικά.

Οι κυματοσυναρτήσεις n=1,2,3,4.

Η χρονικά εξαρτημένη κυματοσυνάρτηση για n=3. Παρατηρείστε ότι είναι όπως ακριβώς η στατική, αλλά απλά περιστρέφεται.

Σύμφωνα με τα προηγούμενα λοιπόν, θα πρέπει η κυματοσυνάρτηση που βρήκαμε να ικανοποιεί τις εξής μαθηματικές συνθήκες:

$\psi (x=0)=\psi (x=L)=0\ \ \ \ \ \$

Η πρώτη εκ των δύο μας δίνει:

$\psi (x=0)=0\Leftrightarrow B=0$

Ενώ αντίστοιχα η δεύτερη:

$\psi (x=L)=0\Leftrightarrow A\sin {(kL)}=0\Leftrightarrow \sin {(kL)}=0$

Η συνάρτηση του ημιτόνου μηδενίζεται μόνο για ακέραια πολλαπλάσια του π, συνεπώς

$kL=n\pi \Leftrightarrow k={\frac {n\pi }{L}},\ \ n=\pm 1,\pm 2,\pm 3...$, όπου η τιμή n=0 απορρίφθηκε διότι μας δίνει Ψ=0 παντού και δεν αποτελεί φυσική λύση.

Αν αντικαταστήσουμε λοιπόν τη σταθερά k στη μορφή της κυματοσυνάρτησης που βρήκαμε προηγουμένως, έχουμε ότι:

$\psi (x)=A\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$

Παρατηρούμε ότι για τα αντίθετα n αλλάζει απλώς πρόσημο η κυματοσυνάρτηση. Αυτό προφανώς δεν επηρεάζει το φυσικό περιεχόμενο, αφού η φυσική σημασία της Ψ έρχεται μέσω του |Ψ|². Συνεπώς μπορούμε να περιορίσουμε το n στις τιμές: n=1,2,3,...

Επιστρέφοντας πίσω λοιπόν στη σχέση που προέκυψε από την απαίτηση ψ(x=L)=0, παρατηρούμε ότι:

$k^{2}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}\xrightarrow {k^{2}=2mE/\hbar ^{2}} E_{n}=\left({\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\right)n^{2},\ \ n=1,2,3,...$

Αυτή η σχέση, μας λέει προφανώς ότι, οι διαθέσιμες τιμές της ενέργειας του σωματιδίου στο απειρόβαθο πηγάδι είναι διακριτές ή διαφορετικά κβαντισμένες. Και αυτό διότι ο κβαντικός αριθμός, n, που χαρακτηρίζει το πρόβλημα (και που προέκυψε φυσιολογικά όταν απαιτήσαμε η κυματοσυνάρτηση να μηδενίζεται στα άκρα) μπορεί να πάρει μόνο διακριτές τιμές. Το φαινόμενο της κβάντωσης των ενεργειακών σταθμών εμφανίζεται συνεχώς στη Κβαντομηχανική ως ένα αυθόρμητο αποτέλεσμα της μορφή της εξίσωσης Σρέντινγκερ που ισχύει αξιωματικά και των συνοριακών συνθηκών που χαρακτηρίζουν το πρόβλημα.

Όσον αφορά την κυματοσυνάρτηση που βρήκαμε, είναι φανερό ότι δεν είναι μόνο μια, αλλά ένα άπειρο πλήθος διαφορετικών συναρτήσεων για κάθε διαφορετική τιμή του κβαντικού αριθμού n. Οι συναρτήσεις αυτές που προκύπτουν από την επίλυση της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Σρέντιγκερ ονομάζονται ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής, και κάθε μια έχει μια συγκεκριμένη ιδιοτιμή(=ενέργεια). Γι' αυτό το λόγο, στις ιδιοσυναρτήσεις δίνεται συνήθως ως δείκτης η τιμή του κβαντικού αριθμού που χαρακτηρίζει κάθε ιδιοσυνάρτηση, όπως ακριβώς και στις διαφορετικές τιμές της ενέργειας. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα, οι ιδιοσυναρτήσεις του προβλήματος είναι οι εξής:

$\psi _{n}(x)=A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$

To τελευταίο βήμα είναι να βρούμε το συντελεστή A_n κανονικοποίησης για την τυχούσα n-οστή κατάσταση του συστήματος. Ο προσδιορισμός του συντελεστή αυτού προκύπτει από την απαίτηση η συνολική πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο οπουδήποτε εντός του διαστήματος [0,L] να ισούται με μονάδα, δηλαδή να υπάρχει βεβαιότητα στο να βρούμε το σωματίδιο κάπου στον χώρο. Επομένως πρέπει να ισχύει:

$\int _{0}^{L}|\psi _{n}(x)|^{2}dx=1\Leftrightarrow |A_{n}|^{2}\int _{0}^{L}\sin ^{2}\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx=1\Leftrightarrow |A_{n}|^{2}{\frac {L}{2}}=1\Leftrightarrow |A_{n}|=\pm {\sqrt {\frac {2}{L}}}\Leftrightarrow \pm {\sqrt {\frac {2}{L}}}e^{i\phi }$

Kαθώς φυσική σημασία έχει, όπως είπαμε και προηγουμένως, μόνο το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης, μπορούμε επιλέξουμε όποιο πρόσημο και όποια φάση (φ) θέλουμε. Προφανώς για ευκολία επιλέγουμε το θετικό πρόσημο και μηδενική φάση.
Επομένως, οι πλήρως κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις του προβλήματος ιδιοτιμών της Χαμιλτονιανής του απειρόβαθου πηγαδιού θα είναι λοιπόν:

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)$

Γνωρίζοντας όλες τις ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές του προβλήματος, μπορούμε να υπολογίσουμε τα πάντα για το σύστημα. Συγκεκριμένα, μπορούμε να υπολογίσουμε τη πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο σε οποιαδήποτε περιοχή κάθε ιδιοκατάστασης, καθώς επίσης και τις μέσες τιμές μεγεθών όπως η θέση, ορμή και η ενέργεια.

Εσωτερικοί Σύνδεσμοι

• Κβαντική μηχανική
• Κύμα
• Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία
• Κυματοσυνάρτηση

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι

Η εξίσωση Schrödinger

Βιβλιογραφία

• Τραχανάς Στέφανος, Κβαντομηχανική Ι, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2009
• Ταμβάκης Κυριάκος, Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική, Leader Books 2003
• Merzbacher Eugen, Quantum Mechanics, John Wiley & Sons 2^ndedition (1970?)
• Sakurai J., Modern Quantum Mechanics, Addison-Wesley 1994 (revised edition)
• Sakurai J., Advanced Quantum Mechanics, ? 1967
• Shankar Ramamurti, Principles of Quantum Mechanics, Springer Science+Business Media 1994
• Zettili Nouredine, Quantum Mechanics Concepts and Applications, John Wiley and Sons 2009
• Χρησιμοποιήθηκαν επίσης σημειώσεις από το μάθημα της Κβαντικής Μηχανικής Ι του τμήματος Φυσικής της Σχολής Θετικών Επιστημών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών