Θεωρία πιθανοτήτων

Θεωρία Πιθανοτήτων είναι η μαθηματική μελέτη της πιθανότητας.

Oι πιθανότητες είναι αριθμοί στο διάστημα από 0 μέχρι 1 που ανατίθενται σε γεγονότα που μπορεί να συμβούν ή όχι με κάποιο τυχαίο τρόπο. Οι πιθανότητες $P(E)$ ανατίθενται στα γεγονότα $E$.

Κλασική πιθανότητα

Η εννοία της πιθανότητας οριστηκε αρχικώς, για να περιγράψει το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης, όπως π.χ. η ριψή ενός ζαριού ή νομίσματος.

Βασικές έννοιες

• Απλό ενδεχόμενο ονομάζεται ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και συνήθως συμβολίζεται με $\,\omega$.
• Δειγματοχώρος $\Omega \,$ είναι το σύνολο όλων των απλών ενδεχομένων. Για ένα απλό ενδεχόμενο $\,\omega$ ισχύει $\,\omega \in \Omega$.
• Γεγονός $A\,$ είναι ένα σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Ένα γεγονός έχει ως στοιχεία απλά ενδεχόμενα και είναι υποσύνολο του $\Omega ,\,$ $A\subset \Omega \,$. To $\Omega \,$ είναι το ίδιο ένα γεγενος και ονομαζεται βέβαιο γεγονός.

Παράδειγμα

Θεώρουμε ως πείραμα τύχης την ρίψη ενός ζαριού. Σε αυτή την περίπτωση έχοθμε έξι απλά ενδεχόμενα. 'Εστω $\,\omega _{1}$ το ενδεχόμενο να φέρουμε 1 και αντιστοίχως τα $\,\omega _{i},i=2,\dots ,6$. Ο δειγματοχώρος ειναι ο $\,\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4},\omega _{5},\omega _{6}\}$ ή για λόγους απλότητας $\,\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$. Το γεγονός $A\,$ να φέρουμε ζυγό αριθμό είναι (με τον απλοποιημένο συμβολισμό) $\,A=\{2,4,6\}$. Το γεγονός $B\,$ να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του 2 είναι $\,B=\{1,2\}$.

Ορισμός

Η κλασική πιθανότητα ορίζεται σε πειράματα τύχης, όπου το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο και όλα τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Σε αυτή την περίπτωση πιθανότητα ενός γεγονότος Α ονομάζεται το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκων αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.

$P(A)={\frac {\#A}{\#\Omega }}$

Παράδειγμα

Συνεχίζοντας το παραπάνω παράδειγμα έχουμε

$P(A)={\frac {\#A}{\#\Omega }}={\frac {\#\{2,4,6\}}{\#\{1,2,3,4,5,6\}}}={\frac {3}{6}}=0,5$

$P(B)={\frac {\#B}{\#\Omega }}={\frac {\#\{1,2\}}{\#\{1,2,3,4,5,6\}}}={\frac {2}{6}}=0,333$

Μαθηματική πιθανότητα

Η αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων προήλθε από τον Kolmogorov.

Ορισμός

Έστω ένα σύνολο $\Omega$ και μία σ-άλγεβρά του ${\mathcal {F}}$. Πιθανότητα $P\,$ ονομάζεται η συνάρτηση $P:{\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$ που ικανοποιεί:

1. $P(A)\geq 0,\;\forall A\in {\mathcal {F}}$
2. $P(\Omega )=1\,$
3. $P(\cup _{i\in I}A_{i})=\sum _{i\in I}P(A_{i})\quad \forall \{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}},I\subset \mathbb {N} :A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \;\forall i\neq j$

Δεσμευμένη πιθανότητα

Η πιθανότητα ότι ένα γεγονός $E$ συμβαίνει με δεδομένο ότι έχει συμβεί ένα γεγονός $F$ είναι η δεσμευμένη πιθανότητα του $E$ με δεδομένο το $F$; η αριθμητική του τιμή είναι $P(E|F)=P(E\cap F)/P(F)$ (εφόσον η $P(F)$ είναι μη μηδενική). Αν η δεσμευμένη πιθανότητα του $E$ με δεδομένο το $F$ είναι ίδια με τη ("αδέσμευτη") πιθανότητα του $E$, τότε τα $E$ και $F$ είναι ανεξάρτητα γεγονότα και ισχύει $P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$.

Δυο βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων είναι η τυχαία μεταβλητή και η κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής.