Συμμετρικό πολυώνυμο: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε

Ενδογραμμικά

Έκδοση από την 11:57, 17 Αυγούστου 2006

Ορισμός

${\mathcal {R}}[x_{1},...,x_{n}]$ ο δακτύλιος των πολυωνύμων στις μεταβλητές $x_{1},..,x_{n}$ με συντελεστές απο το μοναδιαίο δακτύλιο ${\mathcal {R}}$ και ${\mathcal {S}}_{n}$ η συμμετρική ομάδα βαθμού n.

Ένα πολυώνυμο $f\in {\mathcal {R}}[x_{1},..,x_{n}]$ θα καλείται συμμετρικό (symmetric polynomial) αν ισχύει ότι

$f(x_{1},..x_{n})=f(x_{\pi (x_{1})},...,x_{\pi (x_{n})})$ για κάθε μετάθεση π $\in {\mathcal {S}}_{n}$ .

Παράδειγματα

Τα ακόλουθα πολυώνυμα είναι συμμετρικά

$s_{1}=x_{1}+..+x_{n}$

$s_{2}=x_{1}x_{2}+...+x_{1}x_{n}+....x_{n-1}x_{n}$

.....

$s_{n}=x_{1}x_{2}..x_{n}$

Τα πολυώνυμα αυτά καλούνται στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα (elementary symmetric polynomials) και προκύπτουν (με προσέγγιση προσήμου),ως συντελεστές του πολυωνύμου

$(x-x_{1})....(x-x_{n})=x^{n}-s_{1}x^{n-1}+s_{2}x^{n-2}-...+(-1)^{n}s_{n}\in {\mathcal {R}}[x_{1}...,x_{n}][x]$

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

@@ Γραμμή 2: / Γραμμή 2: @@
 <math>
-\mathcal{R}[x_1,...,x_n]</math>  ο [[δακτύλιος]] των πολυωνύμων στις μεταβλητές <math>x_1,..,x_n</math> με συντελεστές απο το μοναδιαίο [[δακτύλιο]] <math>\mathcal{R}</math> και <math>S_n</math> η [[συμμετρική ομάδα]] βαθμού n.
+\mathcal{R}[x_1,...,x_n]</math>  ο [[δακτύλιος]] των πολυωνύμων στις μεταβλητές <math>x_1,..,x_n</math> με συντελεστές απο το μοναδιαίο [[δακτύλιο]] <math>\mathcal{R}</math> και <math>\mathcal{S}_n</math> η [[συμμετρική ομάδα]] βαθμού n.
@@ Γραμμή 9: / Γραμμή 9: @@
 <math>f (x_1,..x_n)=f(x_{\pi(x_1)},...,x_{\pi(x_n)})</math>
-για κάθε [[μετάθεση]] π<math>\in S_n</math>
+για κάθε [[μετάθεση]] π<math>\in \mathcal{S}_n</math>.
 ==Παράδειγματα==
@@ Γραμμή 25: / Γραμμή 25: @@
 Τα πολυώνυμα αυτά καλούνται <i>στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα '''(elementary symmetric polynomials)'''</i> και προκύπτουν (με προσέγγιση προσήμου),ως συντελεστές του πολυωνύμου
-<math>(x-x_1)....(x-x_n)=x^n-s_1x^{n-1}+s_2x^{n-2}-...+(-1)^ns_n\in R[x_1...,x_n][x]</math>
+<math>(x-x_1)....(x-x_n)=x^n-s_1x^{n-1}+s_2x^{n-2}-...+(-1)^ns_n\in \mathcal{R}[x_1...,x_n][x]</math>
 {{Μαθηματικά-επέκταση}}