Ιδεώδες (μαθηματικά)

Ορισμός

Έστω (R,+,$\cdot$) δακτύλιος και $I$ ένα μη κενό υποσύνολο αυτου.Το $I$ θα ονομάζεται ιδεώδες (Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως $I\triangleleft R$ ,αν ισχύουν τα εξής:

• $a-b\in I$ για κάθε $a,b\in I$

• $r\cdot a\in I$ για κάθε $r\in R,a\in I$

Παραδείγματα

• Έστω R δακτύλιος.Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο $\{0_{R}\}$

• Έστω $F:R\rightarrow S$ ένας ομομορφισμός δακτυλίων.Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.

• Το σύνολο $\{ra;r\in R\}$ είναι ένα ιδεώδες του $R$ που περιέχει το $a$.Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμολίζεται με $<a>$.