Αλγεβρικό στοιχείο

Έστω $K:L$ επέκταση σωμάτων.Ένα στοιχείο $k\in K$ καλείται αλγεβρικό επί του $L$ (algebraic element over L) αν είναι ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές απο το $L$,δηλαδή $a_{n}k^{n}+a_{n-1}k^{n-1}+...a_{1}k+a_{0}=0$ όπου $a_{i}\in L$ και τουλάχιστον ένα απο αυτά είναι διάφορο του μηδενός.Αν δεν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο ,τότε το $k$ καλείται υπερβατικό στοιχείο επί του $L$ (transcedental element over L).Οι έννοιες του αλγεβρικού αριθμού και του υπερβατικού αριθμού είναι ειδικές περιπτώσεις των προαναφερθέντων εννοιών του αλγεβρικού και υπερβατικού στοιχείου επί ενός σώματος $L$ αντίστοιχα, όπου $K=\mathbb {C}$ και $L=\mathbb {Q}$.

Παραδείγματα

• Ο ${\sqrt {2}}$ είναι αλγεβρικό στοιχείο επί του $\mathbb {Q}$ καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου $p(t)=t^{2}-2\in \mathbb {Q} [t]$.

• Η φανταστική μονάδα i είναι αλγεβρικό στοιχείο επί του $\mathbb {Q}$ καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου $p(t)=t^{2}+1\in \mathbb {Q} [t]$.

• Ο π είναι υπερβατικός αριθμός αλλά αλγεβρικό στοιχείο επί του $\mathbb {R}$