Άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών

Τα κλασικά άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών παραδοσιακά ήταν τρία:

• Η Εικασία του Γκόλντμπαχ: Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≧ 2, $2n=p+q$, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.

• Η υπόθεση του Ρήμαν: Το πραγματικό μέρος κάθε μη τετριμμένης μηδενικής ρίζας της συνάρτησης ζ του Ρήμαν είναι ½.

• Το τελευταίο Θεώρημα του Φερμά: Δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x, y, και z τέτοιοι ώστε $x^{n}+y^{n}=z^{n}$, όπου n θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2.

Σημείωση: Το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδείχθηκε πρόσφατα από τους μαθηματικούς Andrew Wiles και Richard Taylor στο πανεπιστήμιο Princeton.

Άλλα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών είναι:

• Η απειρία των τέλειων αριθμών
• H υπόθεση των διδύμων πρώτων αριθμών
• Περιέχει η ακολουθία Φιμπονάτσι άπειρους πρώτους αριθμούς;
• Αν × είναι πρώτος ο 2×-1 δεν θα διαιρείται από το τετράγωνο ενός πρώτου.
• Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής ν²+1;
• Τα Αιγυπτιακά κλάσματα: προσδιορίστε αν κάθε κλάσμα της μορφής 4/n με n > 1 μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα τριών θετικών ρητών αριθμών με αριθμητή 1, π.χ. 4/n = 1/i + 1/j + 1/k.

Πηγές

Eric W. Weisstein. "Unsolved Problems." MathWorld--A Wolfram Web Resource. [1]