Χρυσό ορθογώνιο

Στην γεωμετρία, χρυσό ορθογώνιο λέγεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης προς την μικρή πλευρά είναι ίσος με την χρυσή τομή ${\textstyle \varphi ={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$ .^[1]^[2]

Πιο συγκεκριμένα, ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με ${\rm {AB>\Gamma \Delta }}$ λέγεται χρυσό όταν

{\frac {\rm {AB}}{\rm {\Gamma \Delta }}}=\varphi

.

Ιδιότητες

Αν προστεθεί ένα τετράγωνο στην μεγάλη πλευρά του χρυσού ορθογωνίου προκύπτει ένα χρυσό ορθογώνιο.

Απόδειξη

Έστω $a$ και $b$ τα δύο μήκη των πλευρών ενός χρυσού ορθογωνίου με $a>b$ . Τότε, $a=\varphi \cdot b$ .

Προσθέτοντας ένα τετράγωνο στην μεγάλη πλευρά του ορθογωνίου λαμβάνουμε ένα ορθογώνιο με μήκη πλευρών $a'=a+b$ και $b'=a$ . Επομένως,

{\frac {a'}{b'}}={\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {\varphi +1}{\varphi }}={\frac {\varphi ^{2}}{\varphi }}=\varphi

.

Δηλαδή και το καινούργιο ορθογώνιο είναι χρυσό.

Αν αφαιρεθεί ένα τετράγωνο από την μικρή πλευρά του χρυσού ορθογωνίου προκύπτει ένα χρυσό ορθογώνιο.

Απόδειξη

Έστω $a$ και $b$ τα δύο μήκη των πλευρών ενός χρυσού ορθογωνίου με $a>b$ . Τότε, $a=\varphi \cdot b$ .

Αφαιρώντας ένα τετράγωνο από την μικρή πλευρά του ορθογωνίου λαμβάνουμε ένα ορθογώνιο με μήκη πλευρών $a'=b$ και $b'=a-b$ . Επομένως,

{\frac {a'}{b'}}={\frac {b}{a-b}}={\frac {1}{\varphi -1}}=\varphi

.

Δηλαδή και το καινούργιο ορθογώνιο είναι χρυσό.

Χρυσό ορθογώνιο που προκύπτει από την προσθήκη ενός τετραγώνου στην μεγαλύτερη πλευρά ενός άλλου.

Χρυσό ορθογώνιο που προκύπτει από την αφαίρεση ενός τετραγώνου με πλευρά ίση με την μικρότερη πλευρά ενός άλλου χρυσού ορθογωνίου.

Σχετικά σχήματα

Ο χρυσός ρόμβος είναι ένας ρόμβος του οποίου ο λόγος της μεγάλης προς την μικρή διαγώνιο είναι ίσος με την χρυσή τομή. Το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν του χρυσού ορθογωνίου είναι ένας χρυσός ρόμβος.

Απόδειξη

Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός ορθογωνίου είναι παράλληλο και ίσο με τις άλλες δύο πλευρές. Επομένως, οι δύο διαγώνιοι είναι ίσες με τις πλευρές του ορθογωνίου και έτσι έχουν τον ίδιο λόγο. Επιπλέον, οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα, έτσι το παραλληλόγραμμο είναι και ρόμβος.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Posamentier, Alfred S.· Lehmann, Ingmar (2011). The Glorious Golden Ratio. New York: Prometheus Books. σελ. 11. ISBN 9-781-61614-424-1.
↑ Olsen, Scott (2006). The Golden Section: Nature's Greatest Secret. Glastonbury: Wooden Books. σελ. 3. ISBN 978-1-904263-47-0.

[1] Posamentier, Alfred S.· Lehmann, Ingmar (2011). The Glorious Golden Ratio. New York: Prometheus Books. σελ. 11. ISBN 9-781-61614-424-1.

[2] Olsen, Scott (2006). The Golden Section: Nature's Greatest Secret. Glastonbury: Wooden Books. σελ. 3. ISBN 978-1-904263-47-0.

[1]

[2]