Χρήστης:Vasiapl/πρόχειρο/

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Ένα σχέδιο πεταλούδας με αμφίπλευρη συμμετρία, που η αριστερή και δεξιά πλευρά είναι είδωλο η μία της άλλης.

Ένα γεωμετρικό αντικείμενο έχει συμμετρία , αν υπάρχει ένας μετασχηματισμός (τεχνικά, μια ισομετρία ή συσχετισμένη απεικόνιση ) που αντιστοιχεί το σχήμα/αντικείμενο στον εαυτό του, δηλαδή, λέμε ότι το αντικείμενο μένει αναλλοίωτο κατά  το μετασχηματισμό.[1] Για παράδειγμα, ένας κύκλος που έχει περιστραφεί γύρω από το κέντρο του θα έχει το ίδιο σχήμα και μέγεθος με τον αρχικό κύκλο—όλα τα σημεία πριν και μετά το μετασχηματισμό θα είναι μη διακριτά. Ένας κύκλος είναι συμμετρικός κατά την περιστροφή ή περιστροφικά συμμετρικός. Αν η ισομετρία είναι η ανάκλαση ενός γεωμετρικού σχήματος, το σχήμα λέμε ότι έχει ανακλαστική συμμετρία ή γραμμική συμμετρία.Επιπλέον, είναι δυνατόν το σχήμα/αντικείμενο να έχει πάνω από μία γραμμές συμμετρίας .[2]

Οι τύποι των συμμετριών που είναι εφικτοί για ένα γεωμετρικό αντικείμενο εξαρτώνται από το σύνολο των γεωμετρικών μετασχηματισμών που είναι δυνατοί, και για το ποιές είναι οι ιδιότητες του αντικειμένου που θα πρέπει να παραμείνουν αμετάβλητες μετά από ένα μετασχηματισμό. Επειδή η σύνθεση δύο μετασχηματισμών είναι και αυτή ένας μετασχηματισμός και κάθε μετασχηματισμός έχει έναν αντίστροφο μετασχηματισμό που τον αναιρεί, το σύνολο των μετασχηματισμών υπό τις οποίες ένα αντικείμενο είναι συμμετρικό συνθέτουν μια μαθηματική ομάδα.[3]

Συμμετρίες σε γενικές γραμμές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η πιο κοινή ομάδα μετασχηματισμών που εφαρμόζεται σε αντικείμενα ονομάζεται Ευκλείδεια ομάδα των "ισομετριών", οι οποίες διατηρώντας την απόσταση των μετασχηματισμών στο χώρο, συνήθως αναφέρονται ως δισδιάστατες ή τρισδιάστατες (δηλαδή, στην επίπεδη γεωμετρία ή στερεά γεωμετρία των Ευκλείδειων χώρων). Αυτές οι ισομετρίες αποτελούνται από ανακλάσεις, περιστροφές, μετασχηματισμούς και συνδυασμούς αυτών των βασικών λειτουργιών. Κατά έναν ισομετρικό μετασχηματισμό, ένα γεωμετρικό αντικείμενο είναι συμμετρικό αν, μετά το μετασχηματισμό, το αντικείμενο είναι μη διακριτό από το αντικείμενο πριν από τη μετατροπή. Ένα γεωμετρικό αντικείμενο είναι συνήθως συμμετρικό μόνο μέσα σε ένα υποσύνολο ή "υποομάδα" όλων των ισομετριών. Τα είδη των ισομετρικών υποομάδων περιγράφονται παρακάτω, ακολουθούμενα και από άλλα είδη ματασχηματισμένων ομάδων και από είδη αντικειμένων δεδομένου ότι είναι εφικτά στη γεωμετρία. 

Ο υπερβολικός χώρος έχει έναν άλλο μετασχηματισμό, που ονομάζεται ράβδωση ή παραβολικός μετασχηματισμός,παίρνοντας το όνομά του από το γεωλογικό όρο ράβδωση για παράλληλες αυλακώσεις, και είναι παρόμοια με μια Ευκλείδεια περιστροφή, εκτός από το κέντρο της περιστροφής το οποίο στο ιδανικό όριο τείνει στο άπειρο . Δύο παράγωγες ανακλάσεις της ράβδωσης δημιουργούν απείρως πολλά εικονικά αντίγραφα που ακολουθούν έναν ωροκύκλο. 

Βασικές ισομετρίες ανά διάσταση
1D 2D 3D 4D
Reflections Σημείο Αφφινική(Υπερβολική) Σημείο Αφφινική(Υπερβολική) Σημείο Αφφινική(Υπερβολική) Σημείο Αφφινική(Υπερβολική)
1 Ανάκλαση Ανάκλαση Ανάκλαση Ανάκλαση
2 Μεταφορά Περιστροφή Μεταφορά Περιστροφή Μεταφορά

(Ράβδωση)

Περιστροφή Μεταφορά

(Ράβδωση)

3 Transflection

(Striaflection)

Περιστροφική ανάκλαση Transflection

(Striaflection)

Περιστροφική ανάκλαση Transflection

(Striaflection)

4 Περιστροφική  μεταφορά

(Περιστροφική ράβδωση)

Διπλή περιστροφή Περιστροφική  μεταφορά

(Περιστροφική ράβδωση)

5 Rotary transflection

(Rotary striaflection)

Ανακλαστική συμμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ανακλαστική συμμετρία, κατοπτρική συμμετρία,συμμετρία ειδώλου, ή αμφίπλευρη συμμετρία είναι η συμμετρία που σχετίζεται με ανάκλαση.[4]

Όταν έχουμε μία διάσταση, υπάρχει ένα σημείο συμμετρίας για το οποίο η ανάκλαση είναι εφικτή. Σε δύο διαστάσεις, υπάρχει ένας άξονας συμμετρίας, και σε τρεις διαστάσεις υπάρχει επίπεδο συμμετρίας .[5] Ένα αντικείμενο ή σχήμα το οποίο είναι μη διακριτό από την μετασχηματισμένη εικόνα ονομάζεται κατοπτρικά συμμετρικό (βλ. κατοπτρικό είδωλο).

Ο άξονας συμμετρίας μιας εικόνας δυο διαστάσεων είναι μια γραμμή τέτοια ώστε αν κατασκευαστεί μία κάθετη, για οποιαδήποτε δύο σημεία τα οποία βρίσκονται πάνω στην κάθετη σε ίσες αποστάσεις από τον άξονα συμμετρίας του είναι ίδια. Ένας άλλος τρόπος για να το σκεφτεί κανείς είναι ότι αν η μορφή ήταν να διπλωθεί στη μέση κατά τον άξονα, τα δύο μισά θα ήταν ταυτόσημα: το ένα μισό είναι καθρέφτης του άλλου. Έτσι, ένα τετράγωνο έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας, επειδή υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί τρόποι για να διπλωθεί και  όλα τα άκρα να ταιριάζουν. Ένας κύκλος έχει απείρως πολλούς άξονες συμμετρίας που διέρχονται από το κέντρο του, για τον ίδιο λόγο.[6]

Αν το γράμμα T ανακλάται κατά μήκος ενός κάθετου άξονα, εμφανίζεται το ίδιο. Αυτό μερικές φορές ονομάζεται κατακόρυφη συμμετρία. Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει καλύτερα μια ξεκάθαρη διατύπωση, π. χ., "το T έχει ένα κατακόρυφο άξονα συμμετρίας" ή "το T έχει αμφίπλευρη συμμετρία".

Τα τρίγωνα με ανακλαστική συμμετρία είναι ισοσκελή, τα τετράπλευρα με την ίδια συμμετρία  είναι οι χαρταετοί  και τα ισοσκελή τραπέζια.[7]

Για κάθε γραμμή ή επίπεδο αντανάκλασης, η συμμετρική ομάδα είναι ισομορφική κατά Cs (βλέπε ομάδες σημείων στις τρεις διαστάσεις), ένας από τους τρεις τύπους της τάξης δυο (ενελίξεις), με αποτέλεσμα να είναι αλγεβρικά ισομορφική στο C2.Το θεμελιώδες πεδίο ορισμού  είναι ένα  ημιεπίπεδο ή ένας ημιχώρος .[8]

Συμμετρία σημείου και άλλες ενελικτικές ισομετρίες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ανακλαστική συμμετρία μπορεί να γενικευτεί σε άλλες ισομετρίες του m-διάστατου χώρου που είναι ενελίξεις, όπως

(x1, ..., xm) ↦ (−x1, ..., −xk, xk+1, ..., xm)

σε ένα συγκεκριμένο σύστημα των Καρτεσιανών συντεταγμένων. Αυτό ανακλά το χώρο κατά μήκος ενός (m−k)-διάστατου αφφινικού υποχώρου.[9] Αν k = m, τότε ένας τέτοιος μετασχηματισμός είναι γνωστός ως σημειακή  ανάκλαση. Πάνω στο επίπεδο (m = 2) μία σημειακή ανάκλαση είναι το ίδιο με μία μισή περιστροφή (180°), δες παρακάτω. Αντιποδική συμμετρία είναι μία εναλλακτική ονομασία για μία σημειακή ανακλαστική συμμετρία δια μέσου της αρχής.[10]

Μία τέτοια "ανάκλαση" διατηρεί τον προσανατολισμό αν και μόνο εάν ο k είναι άρτιος αριθμός .[11] Αυτό συνεπάγεται ότι για m = 3 (όπως επίσης και για κάθε περιττό m) μία σημειακή ανάκλαση αλλάζει τον προσανατολισμό του χώρου, όπως μία συμμετρία ειδώλου. Για το λόγο αυτό στη φυσική ο όρος P-συμμετρία χρησιμοποιείται και για σημειακή ανάκλαση αλλά και για κατοπτρική συμμετρία (P σημαίνει ισοτιμία από την αγγλική λέξη parity). Καθώς η ανάκλαση ενός σημείου στις τρεις διαστάσεις αλλάζει ένα αριστερόστροφο σύστημα συντεταγμένων σε  δεξιόστροφο,η συμμετρία της ανάκλασης ενός σημείου λέγεται και αμφίπλευρη συμμετρία.[12]

Περιστροφική συμμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το τρισκέλιoν έχει τρεις περιστροφικές συμμετρίες.

Περιστροφική συμμετρία είναι η συμμετρία εν σχέση με ορισμένες ή όλες τις περιστροφές στον m-διάστατο Ευκλείδειο χώρο. Οι περιστροφές είναι άμεσες ισομετρίες, δηλαδή, ισομετρίες που διατηρούν τον προσανατολισμό.[13] Ως εκ τούτου, μια συμμετρική ομάδα της περιστροφικής συμμετρίας είναι μια υποομάδα της ειδικής Ευκλείδειας ομάδας  Ε+(m).

Η συμμετρία σε σχέση με όλες τις περιστροφές γύρω από όλα τα σημεία υπονοεί μεταφορική συμμετρία εν σχέση με όλες τις μεταφορές (επειδή οι μεταφορές είναι συνθέσεις περιστροφών γύρω από διακριτά σημεία),[14] και η συμμετρική ομάδα είναι όλο το σύνολο E+(m). Αυτό δεν ισχύει για τα αντικείμενα, διότι καθιστά το χώρο ομοιογενή, αλλά μπορεί να ισχύει για  φυσικούς νόμους.

Για συμμετρία ως προς τις περιστροφές γύρω από ένα σημείο  μπορούμε να πάρουμε αυτό το σημείο ως σημείο αρχής. Αυτές οι περιστροφές αποτελούν την  ειδική ορθογώνια ομάδα SO(m), η οποία μπορεί να αναπαρασταθεί από την ομάδα των m × m ορθογώνιων πινάκων με ορίζουσα 1. Για m = 3 έχουμε την περιστροφική ομάδα SO(3) (τρισδιάστατη περιστροφική ομάδα) .[15]

Σε μια άλλη έννοια της λέξης, η περιστροφική ομάδα του αντικειμένου είναι η συμμετρική ομάδα εντός του E+(m), η ομάδα των άκαμπτων κινήσεων[16] με άλλα λόγια είναι η τομή της πλήρους συμμετρικής ομάδας και της ομάδας των άκαμπτων κινήσεων. Για χειρόμορφα αντικείμενα είναι το ίδιο με την πλήρη συμμετρική ομάδα.

Οι νόμοι της φυσικής είναι SO(3)-αμετάβλητες, αν δεν προσδιορίζουν διαφορετικές κατευθύνσεις στο χώρο. Από  το θεώρημα της Noether, η περιστροφική συμμετρία ενός φυσικού συστήματος είναι ισοδύναμη με την αρχή διατήρησης της στροφορμής .[17] Βλέπε, επίσης, περιστροφική σταθερότητα.

Μεταφορική συμμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα μοτίβο με διάζωμα με μεταφορική συμμετρία

Η μεταφορική συμμετρία αφήνει ένα αντικείμενο αναλλοίωτο κατά την διακριτή ή συνεχή ομάδα μεταφορών .[18] Η εικόνα στα δεξιά δείχνει τέσσερα ίσα τρίγωνα που δημιουργούνται από τις μεταφορές κατά μήκος του βέλους. Αν η γραμμή των τριγώνων επεκταθεί στο άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις, θα έχουν μία διακριτή μεταφορική συμμετρία: κάθε μεταφορά που αντιστοιχίζει ένα τρίγωνο σε ένα άλλο θα αφήσει όλη τη  γραμμή αμετάβλητη.

Ολισθαίνουσα ανακλαστική συμμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα μοτίβο με δίαζωμα με ολισθαίνουσα αντανακλαστική συμμετρία

Σε 2D (δυο διαστάσεις), ολισθαίνουσα ανακλαστική συμμετρία (σε 3D ονομάζεται συμμετρικό επίπεδο ολίσθησης, και transflection σε γενικές γραμμές) σημαίνει ότι μια ανάκλαση σε  γραμμή ή επίπεδο συνδιασμένη με μία μεταφορά κατά μήκος της γραμμής / του επιπέδου, καταλήγει στο ίδιο αντικείμενο.[19] Η σύνθεση των δύο ολισθαινουσών ανακλάσεων έχει σαν αποτέλεσμα μια μεταφορική συμμετρία με διπλάσιο μεταφορικό διάνυσμα. Η συμμετρική ομάδα που περιλαμβάνει τις ολισθαίνουσες ανακλάσεις και τις σχετικές μεταφορές, είναι η διαζωματική ομάδα p11g και είναι ισομορφική στην άπειρη κυκλική ομάδα Z.

Περιστροφική ανακλαστική συμμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα πενταγωνικό αντιπρίσμα  με σημειωμένες άκρες δείχνει μια περιστροφική ανακλαστική συμμετρία, σε μια τάξη του 10.

Σε 3D, μία περιστροφική ανάκλαση ή μη κανονική περιστροφή είναι η περιστροφή γύρω από ένα άξονα σε συνδιασμό με ανάκλαση σε επίπεδο κάθετο στον άξονα αυτό.[20] Οι συμμετρικές ομάδες οι οποίες έχουν σχέση με την περιστροφική ανάκλαση περιλαμβάνουν:

  • αν η γωνία περιστροφής δεν έχει κανένα κοινό διαιρέτη με τις 360°, τότε η συμμετρική ομάδα δεν είναι διακριτή
  • αν η περιστροφική ανάκλαση έχει περιστροφική γωνία αναδίπλωσης  2n (δηλαδή γωνία της τάξεως 180°/n), η συμμετρική ομάδα είναι  S2n της τάξεως  2n (δεν πρέπει να συγχέεται με τις συμμετρικές ομάδες για τις οποίες χρησιμοποιήθηκε ο ίδιος συμβολισμός: η αφηρημένη ομάδα είναι C2n).Μία ειδική περίπτωση είναι όταν n = 1, μια αναστροφή,διότι δεν εξαρτάται από τον άξονα και το επίπεδο, εξαρτάται μόνο από το σημείο της αναστροφής.
  • η ομάδα Cnh (δηλαδή γωνία τάξεως 360°/n); για περιττά n  δημιουργείται από μία απλή συμμετρία, ενώ η αφηρημένη ομάδα που είναι  C2n, για άρτια n  δεν είναι μια βασική συμμετρία αλλά ένας συνδυασμός.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. ↑ Martin, G. (1996). Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Springer. σελ. 28. 
  2. ↑ Freitag, Mark (2013). Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach. Cengage Learning. σελ. 721. 
  3. ↑ Miller, Willard Jr. (1972). Symmetry Groups and Their Applications. New York: Academic Press. OCLC 589081. Ανακτήθηκε στις 28 Σεπτεμβρίου 2009. 
  4. ↑ Weyl, Hermann (1982) [1952]. Symmetry. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3. 
  5. ↑ Cowin, Stephen C., Doty, Stephen B. (2007). Tissue Mechanics. Springer. σελ. 152. CS1 maint: Πολλαπλές ονομασίες: authors list (link)
  6. ↑ Caldecott, Stratford (2009). Beauty for Truth's Sake: On the Re-enchantment of Education. Brazos Press. σελ. 70. 
  7. ↑ Bassarear, Tom (2011). Mathematics for Elementary School Teachers (5 έκδοση). Cengage Learning. σελ. 499. 
  8. ↑ Johnson, N. W. Johnson (2015). «11: Finite symmetry groups». Geometries and Transformations. 
  9. ↑ Hertrich-Jeromin, Udo (2003). Introduction to Möbius Differential Geometry. Cambridge University Press. 
  10. ↑ Dieck, Tammo (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society. σελ. 261. ISBN 9783037190487. 
  11. ↑ William H. Barker, Roger Howe Continuous Symmetry: From Euclid to Klein (Google eBook) American Mathematical Soc
  12. ↑ W.M. Gibson and B.R. Pollard (1980). Symmetry principles in elementary particle physics. Cambridge University Press. σελίδες 120–122. ISBN 0 521 29964 0. 
  13. ↑ Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic (2005) Natural Biodynamics World Scientific
  14. ↑ Singer, David A. (1998). Geometry: Plane and Fancy. Springer Science & Business Media. 
  15. ↑ Joshi, A. W. (2007). Elements of Group Theory for Physicists. New Age International. σελίδες 111ff. 
  16. ↑ Hartshorne, Robin (2000). Geometry: Euclid and Beyond. Springer Science & Business Media. 
  17. ↑ Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-87867-6. 
  18. ↑ Stenger, Victor J. (2000) and Mahou Shiro (2007).
  19. ↑ Martin, George E. (1982), Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, σελ. 64, ISBN 9780387906362, http://books.google.com/books?id=KW4EwONsQJgC&pg=PA64 .
  20. ↑ Robert O. Gould, Steffen Borchardt-Ott (2011)Crystallography: An Introduction Springer Science & Business Media

[[Κατηγορία:Συμμετρία]]

Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Χρήστης:Vasiapl/πρόχειρο/&oldid=5868952"