Χρήστης:Evaggelia 1/Πρόχειρο

Στα μαθηματικά , ειδικότερα στην αλγεβρική τοπολογία , διαφορική γεωμετρία και Αλγεβρική γεωμετρία , οι Chern κατηγορίες είναι χαρακτηριστικές κατηγορίες που σχετίζονται με πολύπλοκες δέσμες φορέα .

Οι κατηγορίες Chern εισήχθησαν από Shiing-Shen Chern ( 1946 ).

Γεωμετρική προσέγγιση

Βασική ιδέα και το κίνητρο

Οι κατηγορίες Chern είναι χαρακτηριστικές κατηγορίες. Είναι topological invariants που σχετίζονται με δέσμες φορέα σε μια ομαλή πολλαπλή. Το ζήτημα του κατά πόσον δύο φαινομενικά διαφορετικές δέσμες φορέας είναι το ίδιο μπορεί να είναι αρκετά δύσκολο να απαντηθεί. Οι τάξεις Chern παρέχουν ένα απλό τεστ: αν οι Chern τάξεις ενός ζεύγους δεσμών φορέα δεν συμφωνούν, τότε οι διανυσματικές δέσμες είναι διαφορετικές. Το αντίστροφο, ωστόσο, δεν ισχύει.

Στην τοπολογία, διαφορική γεωμετρία και Αλγεβρική γεωμετρία, είναι συχνά σημαντικό να μετρηθεί πόσες γραμμικά ανεξάρτητες ενότητες έχει ένας φορέας δέσμη. Οι κατηγορίες Chern προσφέρουν κάποιες πληροφορίες σχετικά με αυτό, για παράδειγμα, το θεώρημα Riemann-Roch και το θεώρημα του δείκτη Atiyah-Singer

Οι τάξεις Chern είναι επίσης εφικτό να υπολογιστούν στην πράξη. Στη διαφορική γεωμετρία (και με ορισμένους τύπους από Αλγεβρική γεωμετρία), οι τάξεις Chern μπορούν να εκφραστούν ως πολυώνυμα στους συντελεστές της μορφής καμπυλότητας .

Η κατασκευή των κατηγοριών Chern

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι προσέγγισης του θέματος, καθένας από τους οποίους εστιάζει σε μια ελαφρώς διαφορετική πτυχή της κατηγορίας Chern.

Η αρχική προσέγγιση στις κατηγορίες Chern ήταν μέσω της Αλγεβρικής Τοπολογίας: οι τάξεις Chern προκύπτουν μέσω της ομοτοπικής θεωρίας η οποία παρέχει μια χαρτογράφηση που σχετίζεται με έναν χώρο V σε ένα χώρο ταξινόμησης (ένας άπειρος  σε Grassmannian αυτή την περίπτωση). Για κάθε διανυσματική δέσμη V πάνω από ένα συλλέκτη Μ , υπάρχει μια αντιστοίχιση της f από το Μ προς το χώρο διαλογής, έτσι ώστε η δέσμη V είναι ίση με την pullback , με f , μιας καθολικής δέσμης πάνω από το χώρο διαλογής, και τις τάξεις Chern του V μπορεί επομένως να οριστεί ως η υποχώρηση των Chern τάξεων της καθολικής δέσμης. Αυτές οι καθολικές τάξεις Chern με τη σειρά τους μπορούν να γραφτούν ρητά από την άποψη των κύκλων Schubert

Μπορεί να αποδειχθεί ότι για κάθε δύο αντιστοιχίσεις f , g από το Μ προς το χώρο διαλογής των οποίων pullbacks ανήκουν στην ίδια δέσμη V , οι αντιστοιχίσεις πρέπει να είναι homotopic. Ως εκ τούτου, η υποχώρηση είτε f ή g οποιασδήποτε γενικής κατηγορίας Chern σε μια κατηγορία cohomology του Μ πρέπει να είναι της ίδιας τάξης. Αυτό δείχνει ότι οι Chern τάξεις V είναι ακριβώς καθορισμένες.

Η προσέγγιση που χρησιμοποιείται στη διαφορική γεωμετρία: οι κατηγορίες Chern, μέσω της προσέγγισης καμπυλότητας που περιγράφεται κατά κύριο λόγο σε αυτό το άρθρο, ‘εδειξε ότι ο προγενέστερος ορισμός ήταν στην πραγματικότητα ισοδύναμος με αυτόν της προσέγγισης της καμπυλότητας. Η προκύπτουσα θεωρία είναι γνωστή ως θεωρία Chern-Weil .

Υπάρχει επίσης μια προσέγγιση του Alexander Grothendieck η οποία δείχνει ότι αξιωματικά αρκεί να οριστεί μόνο στην περίπτωση μιας ευθείας δέσμης.

Οι τάξεις Chern προκύπτουν φυσικά από την Αλγεβρική γεωμετρία . Οι γενικευμένες κατηγορίες Chern στην αλγεβρική γεωμετρία μπορούν να οριστούν ως δέσμες φορέα σε οποιαδήποτε ομαλή ποικιλία. Οι αλγεβρο-γεωμετρικές τάξεις Chern δεν απαιτούν το υποκειμενικό πεδίο για να έχουν οποιεσδήποτε ειδικές ιδιότητες. Ειδικότερα, ο φορέας δέσμης δεν χρειάζεται κατ 'ανάγκη να είναι περίπλοκος.

Ανεξάρτητα από το συγκεκριμένο παράδειγμα ,η (διαισθητική) έννοια της τάξης του Chern αφορά ‘’ απαιτούμενα μηδενικά ‘’ του τμήματος ενός φορέα για παράδειγμα το θεώρημα λέει πως δεν μπορεί να χτενίσει κάποιος μια ισόπεδη τριχωτή μπάλα . Αν και αυτό είναι ‘’τρόπος του λέγειν’’, σχετικά με έναν πραγματικό φορέα (οι τρίχες στη μπάλα είναι στην πραγματικότητα αντίγραφα μιας νοητής γραμμής).Υπάρχουν γενικεύσεις στις οποίες οι τρίχες είναι σύνολο (βλέπε παράδειγμα του θεωρήματος, στην πολύπλοκη μαλλιαρή μπάλα παρακάτω ) , ή η προβολή μιας διάστασης σε πολλούς άλλους τομείς.  

Βλ.Chern–Simons για περισσότερες πληροφορίες .

Οι Chern κατηγορίες των ευθείων δεσμών 

(Ας υποθέσουμε Χ έναν τοπολογικό χώρο έχοντας τον ομοτοπικό τύπο του CW συμπλέγματος.)

Μια σημαντική ειδική περίπτωση προκύπτει όταν το V είναι μια ευθεία δέσμη. Τότε, η μόνη μη-τετριμένη κατηγορία Chern είναι η πρώτη η οποία είναι στοιχείο της δεύτερης ομάδας cohomology* του δεδομένου Χ. Αφού είναι πρωταρχική κατηγορία Chern ισούται με την κατηγορία Όιλερ της δέσμης. 

 Η πρώτη κατηγορία Chern αποδεικνύεται ότι είναι πλήρης-αναλλοίωτη με την οποία ταξινομούνται πολύπλοκες ευθείες δέσμες, από πλευράς τοπολογίας. Δηλαδή υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των κατηγοριών ισόμορφων ευθειών δεσμών πάνω από το Χ και τα στοιχεία του H²(X;Z) τα οποία έχουν κοινό σημείο σε μια ευθεία δέσμη πρώτης κατηγορίας Chern. Επιπλέον, αυτή η αμφιμονοσήμαντη ομάδα είναι και ομόμορφη (άρα ισόμορφη)

$c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L')$;

Το γινόμενο των σύνθετων ευθειών δεσμών αντιστοιχεί σε πρόσθεση των δεύτερων ομοτοπικών ομάδων.

Στην αλγεβρική γεωμετρία αυτή η ταξινόμηση των σύνθετων (τάξη ισομορφισμού) ομάδων ευθειών δεσμών της πρώτης κατηγορίας Chern είναι μια πρώιμη προσέγγιση για την ταξινόμηση (τάξεις ισομορφισμού) των ομοτοπικών ευθειών δεσμών με γραμμικές κλάσεις ισοδυναμίας διαιρετών. 

Για σύνθετες διανυσματικές δέσμες συντεταγμένων μεγαλύτερων του ενός ,οι κατηγορίες Chern δεν είναι πλήρεις και αναλλοίωτες.

Κατασκευή

Μέσω της Chern-Weil θεωρίας 

Δοσμένης μιας ομάδας ερμιτιανών διανυσματικών δεσμών V από σύνθετες βαθμίδες πάνω σε ομαλή πολλαπλή Μ, ένας εκπρόσωπος από κάθε κατηγορία Chern (ονομάζεται επίσης μορφή Chern) ck(V) δίνονται ως οι συντελεστές των χαρακτηριστικών πολυωνύμων της καμπυλωτής μορφής Ω του V. 

$\det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}$

Ο βασικός παράγοντας βρίσκεται στο δακτύλιο των nxn πινάκων των οποίων οι καταχωρήσεις είναι πολυώνυμα σε t με συντελεστές στην commutative* άλγεβρα, ακόμη και πολύπλοκων διαφορικών μορφών σε Μ. Η μορφή καμπυλότητας Ω της V ορίζεται ως 

$\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]$

Με ω το ως προς τι παραγωγίζεται και d η εξωτερική παραγώγιση μέσω της ίδιας έκφρασης μέσα στην οποία ω είναι μια μετρίσιμη μορφή από την μετρήσιμη ομάδα του V. Η μεταβλητή t χρησιμοποιείται εδώ μόνο ως αόριστη για να γενικοποιηθεί το αποτέλεσμα από την ορίζουσα και να οριστεί ένας Ι nxn πίνακας που ονομάζεται ταυτοτικός πίνακας.

Για να πούμε ότι η έκφραση που δόθηκε είναι ένας εκπρόσωπος της κατηγορίας Chern δείχνει ότι «κατηγορία» εδώ σημαίνει τουλάχιστον πρόσθεση από μια ακριβή διαφορική μορφή. Δηλαδή οι κατηγορίες Chern είναι ομολογικές  κατηγορίες. Μπορεί να δειχθεί ότι οι ομολογικές κατηγορίες της μορφής Chern δεν εξαρτώνται από την επιλογή της σύνδεσης του V. 

Χρησιμοποιώντας τον ταυτοτικό πίνακα tr(ln(x))=ln(det(x)) και την σειρά Maclaurin για ln(x=1), αυτήν την έκφραση της μορφής Chern τη βρίσκουμε μεγενθυμένη ως 

$\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].$

Μέσω της τάξης του Euler 

Οι κατηγορίες Chern μπορούν να οριστούν και από τους όρους της κατηγορίας Euler. Αυτή είναι μια προσέγγιση του βιβλίου των Milnor και Stasheff και μας τονίζει τον ρόλο του προσανατολισμού των διανυσματικών δεσμών.  

Η βασική παρατήρηση είναι πως μια σύνθετη διανυσματική δέσμη έρχεται με ένα κανονικό προσανατολισμό ,τελικά, επειδή είναι συνδεδεμένο. Ως εκ τούτου, απλώς ορίζεται η κορυφαία κατηγορία Chern των δεσμών να είναι της τάξης του Euler ( η τάξη Euler του υποκειμένου, δέσμη πραγματικού φορέα) και οι λιγότερο χειριζόμενες κατηγορίες Chern είναι ένα επαγωγικό μοτίβο).

Η ακριβής κατασκευή είναι ως εξής: η ιδέα είναι να γίνει αλλαγή βάσης για να πάρουμε μια δέσμη από ένα μικρότερο βαθμό . Θέτω π: E →B να είναι σύνθετη διανυσματική δέσμη από το paracompact χώρο Β. Σκεπτόμενοι πως ο Β είναι ενσωματωμένος σε Ε ως μηδενική ενότητα , θέτω ΄Β = Ε -Β και ορίζω νέα διανυσματική δέσμη :
Ε΄--> Β'  Έτσι ώστε κάθε ίνα F να είναι το πηλίκο της  F του Ε από την ευθεία που εκτείνεται από ένα μη-μηδενικό διάνυσμα v μέσα στο F (ένα σημείο του ‘Β καθορίζεται από την ίνα του F του Ε και ένα μη-μηδενικό διάνυσμα της F) .Τότε Έ έχει ένα μικρότερο βαθμό από ότι ο Ε. Από την αλληλουχία Gysin για τη δέσμη ίνα :

$\cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,$

βλέπουμε ότι $\pi |_{B'}^{*}$ είναι ένας ισομορφισμός για k < 2n − 1. Ας

$c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E'),&k<n\\e(E_{\mathbb {R} }),&k=n\\0,&k>n.\\\end{cases}}$

Τότε χρειάζεται κάποια δουλειά για να ελέγξετε τα αξιώματα των Chern κατηγοριών τα οποία ικανοποιούν τον ορισμό.

Δείτε επίσης: Ο Thom ισομορφισμός.

Παραδείγματα

Ο δεσμός εφαπτομένης με τη σφαίρα Riemann

Let CP¹ be the Riemann sphere: 1-dimensional complex projective space. Suppose that z is a holomorphic local coordinate for the Riemann sphere. Let V = TCP¹ be the bundle of complex tangent vectors having the form a∂/∂z at each point, where a is a complex number. We prove the complex version of the hairy ball theorem: V has no section which is everywhere nonzero.

For this, we need the following fact: the first Chern class of a trivial bundle is zero, i.e.,

$c_{1}({\mathbf {C} \mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {C} })=0.$

This is evinced by the fact that a trivial bundle always admits a flat connection.

So, we shall show that

$c_{1}(V)\not =0.$

Consider the Kähler metric

$h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.$

One readily shows that the curvature 2-form is given by

$\Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.$

Furthermore, by the definition of the first Chern class

$c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\mathrm {tr} \ \Omega \right].$

We must show that this cohomology class is non-zero. It suffices to compute its integral over the Riemann sphere:

$\int c_{1}dz\wedge d{\bar {z}}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2$

after switching to polar coordinates. By Stokes' theorem, an exact form would integrate to 0, so the cohomology class is nonzero.

This proves that TCP¹ is not a trivial vector bundle.

Complex projective space

There is an exact sequence of sheaves/bundles:

$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\to 0$

where ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}$ is the structure sheaf (i.e., the trivial line bundle), ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1)$ is Serre's twisting sheaf (i.e., the hyperplane bundle) and the last nonzero term is the tangent sheaf/bundle.

There are two ways to get the above sequence:

By the additivity of total Chern class c = 1 + c₁ + c₂ + … (i.e., the Whitney sum formula),

$c(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1}$,

where a is the canonical generator of the cohomology group $H^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n},\mathbb {Z} )$; i.e., the negative of the first Chern class of the tautological line bundle ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(-1)$ (note: $c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)$ when E^* is the dual of E.)

In particular, for any k ≥ 0,

$c_{k}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.$

Chern polynomial

A Chern polynomial is a convenient way to handle Chern classes and related notions systematically. By definition, for a complex vector bundle E, the Chern polynomial c_t of E is given by:

$c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.$

This is not a new invariant: the formal variable t simply keeps track of the degree of c_k(E). In particular, $c_{t}(E)$ is completely determined by the total Chern class of E: $c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)$ and conversely.

The Whitney sum formula, one of the axioms of Chern classes (see below), says that c_t is additive in the sense:

$c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').$

Now, if $E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}$ is a direct sum of (complex) line bundles, then it follows from the sum formula that:

$c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)$

where $a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})$ are the first Chern classes. The roots $a_{i}(E)$, called the Chern roots of E, determine the coefficients of the polynomial: i.e.,

$c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))$

where σ_k are elementary symmetric polynomials. In other words, thinking of a_i as formal variables, c_k "are" σ_k. A basic fact on symmetric polynomials is that any symmetric polynomial in, say, t_i's is a polynomial in elementary symmetric polynomials in t_i's. Either by splitting principle or by ring theory, any Chern polynomial $c_{t}(E)$ factorizes into linear factors after enlarging the cohomology ring; E need not be a direct sum of line bundles in the preceding discussion. The conclusion is

"One can evaluate any symmetric polynomial f at a complex vector bundle E by writing f as a polynomial in σ_k and then replacing σ_k by c_k(E)."

Example: We have polynomials s_k

$t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))$

with $s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}$ and so on (cf. Newton's identities). The sum

$\operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1}(E),\ldots ,c_{n}(E))/k!$

is called the Chern character of E, whose first few terms are: (we drop E from writing.)

$\operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{\frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .$

Example: The Todd class of E is given by:

${\begin{aligned}\operatorname {td} (E)&=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i}}}=1+{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .\end{aligned}}$

Remark: The observation that a Chern class is essentially an elementary symmetric polynomial can be used to "define" Chern classes. Let G_n be the infinite Grassmannian of n-dimensional complex vector spaces. It is a classifying space in the sense that, given a complex vector bundle E of rank n over X, there is a continuous map

$f_{E}:X\to G_{n}$

unique up to homotopy. Borel's theorem says the cohomology ring of G_n is exactly the ring of symmetric polynomials, which are polynomials in elementary symmetric polynomials σ_k; so, the pullback of f_E reads:

$f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).$

One then puts:

$c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).$

Remark: Any characteristic class is a polynomial in Chern classes, for the reason as follows. Let $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }$ be the contravariant functor that, to a CW complex X, assigns the set of isomorphism classes of complex vector bundles of rank n over X and, to a map, its pullback. By definition, a characteristic class is a natural transformation from $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]$ to the cohomology functor $H^{*}(-,\mathbb {Z} ).$ Characteristic classes form a ring because of the ring structure of cohomology ring. Yoneda's lemma says this ring of characteristic classes is exactly the cohomology ring of G_n:

$\operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].$

Properties of Chern classes

Given a complex vector bundle E over a topological space X, the Chern classes of E are a sequence of elements of the cohomology of X. The k-th Chern class of E, which is usually denoted c_k(V), is an element of

H^2k(X;Z),

the cohomology of X with integer coefficients. One can also define the total Chern class

$c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .$

Since the values are in integral cohomology groups, rather than cohomology with real coefficients, these Chern classes are slightly more refined than those in the Riemannian example.

Classical axiomatic definition

The Chern classes satisfy the following four axioms:

Axiom 1. $c_{0}(E)=1$ for all E.

Axiom 2. Naturality: If $f:Y\to X$ is continuous and f*E is the vector bundle pullback of E, then $c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)$.

Axiom 3. Whitney sum formula: If $F\to X$ is another complex vector bundle, then the Chern classes of the direct sum $E\oplus F$ are given by

$c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);$

that is,

$c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).$

Axiom 4. Normalization: The total Chern class of the tautological line bundle over CP^k is 1−H, where H is Poincaré-dual to the hyperplane $\mathbf {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbf {CP} ^{k}$.

Alexander Grothendieck axiomatic approach

Alternatively, Alexander Grothendieck (1958) replaced these with a slightly smaller set of axioms:

• Naturality: (Same as above)
• Additivity: If $\ 0\to E'\to E\to E''\to 0$ is an exact sequence of vector bundles, then $c(E)=c(E')\smile c(E'')$.
• Normalization: If E is a line bundle, then $c(E)=1+e(E_{\mathbf {R} })$ where $e(E_{\mathbf {R} })$ is the Euler class of the underlying real vector bundle.

He shows using the Leray–Hirsch theorem that the total Chern class of an arbitrary finite rank complex vector bundle can be defined in terms of the first Chern class of a tautologically-defined line bundle.

Namely, introducing the projectivization P(E) of the rank n complex vector bundle E → B as the fiber bundle on B whose fiber at any point $b\in B$ is the projective space of the fiber E_b. The total space of this bundle P(E) is equipped with its tautological complex line bundle, that we denote τ, and the first Chern class

$c_{1}(\tau )=:-a$

restricts on each fiber P(E_b) to minus the (Poincaré-dual) class of the hyperplane, that spans the cohomology of the fiber, in view of the cohomology of complex projective spaces.

The classes

$1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbf {P} (E))$

therefore form a family of ambient cohomology classes restricting to a basis of the cohomology of the fiber. The Leray–Hirsch theorem then states that any class in H*(P(E)) can be written uniquely as a linear combination of the 1, a, a², ..., aⁿ⁻¹ with classes on the base as coefficients.

In particular, one may define the Chern classes of E in the sense of Grothendieck, denoted $c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)$ by expanding this way the class $-a^{n}$, with the relation:

$-a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).$

One then may check that this alternative definition coincides with whatever other definition one may favor, or use the previous axiomatic characterization.

The top Chern class

In fact, these properties uniquely characterize the Chern classes. They imply, among other things:

• If n is the complex rank of V, then $c_{k}(V)=0$ for all k > n. Thus the total Chern class terminates.
• The top Chern class of V (meaning $c_{n}(V)$, where n is the rank of V) is always equal to the Euler class of the underlying real vector bundle.

Proximate notions

The Chern character

Chern classes can be used to construct a homomorphism of rings from the topological K-theory of a space to (the completion of) its rational cohomology. For a line bundle L, the Chern character ch is defined by

$\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.$

More generally, if $V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}$ is a direct sum of line bundles, with first Chern classes $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$ the Chern character is defined additively

$\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).$

$\operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .$

This last expression, justified by invoking the splitting principle, is taken as the definition ch(V) for arbitrary vector bundles V.

If a connection is used to define the Chern classes when the base is a manifold (i.e., the Chern–Weil theory), then the explicit form of the Chern character is

${\hbox{ch}}(V)=\left[{\hbox{tr}}\left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]$

where Ω is the curvature of the connection.

The Chern character is useful in part because it facilitates the computation of the Chern class of a tensor product. Specifically, it obeys the following identities:

${\hbox{ch}}(V\oplus W)={\hbox{ch}}(V)+{\hbox{ch}}(W)$

${\hbox{ch}}(V\otimes W)={\hbox{ch}}(V){\hbox{ch}}(W).$

As stated above, using the Grothendieck additivity axiom for Chern classes, the first of these identities can be generalized to state that ch is a homomorphism of abelian groups from the K-theory K(X) into the rational cohomology of X. The second identity establishes the fact that this homomorphism also respects products in K(X), and so ch is a homomorphism of rings.

The Chern character is used in the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem.

Chern numbers

If we work on an oriented manifold of dimension 2n, then any product of Chern classes of total degree 2n can be paired with the orientation homology class (or "integrated over the manifold") to give an integer, a Chern number of the vector bundle. For example, if the manifold has dimension 6, there are three linearly independent Chern numbers, given by c₁³, c₁c₂, and c₃. In general, if the manifold has dimension 2n, the number of possible independent Chern numbers is the number of partitions of n.

The Chern numbers of the tangent bundle of a complex (or almost complex) manifold are called the Chern numbers of the manifold, and are important invariants.

The Chern class in generalized cohomology theories

There is a generalization of the theory of Chern classes, where ordinary cohomology is replaced with a generalized cohomology theory. The theories for which such generalization is possible are called complex orientable. The formal properties of the Chern classes remain the same, with one crucial difference: the rule which computes the first Chern class of a tensor product of line bundles in terms of first Chern classes of the factors is not (ordinary) addition, but rather a formal group law.

The Chern class in algebraic geometry

In algebraic geometry there is a similar theory of Chern classes of vector bundles. There are several variations depending on what groups the Chern classes lie in:

• For complex varieties the Chern classes can take values in ordinary cohomology, as above.
• For varieties over general fields, the Chern classes can take values in cohomology theories such as etale cohomology or l-adic cohomology.
• For varieties V over general fields the Chern classes can also take values in homomorphisms of Chow groups CH(V): for example, the first Chern class of a line bundle over a variety V is a homomorphism from CH(V) to CH(V) reducing degrees by 1. This corresponds to the fact that the Chern groups are a sort of analog of homology groups, and elements of cohomology groups can be thought of as homomorphisms of homology groups using the cap product.

Chern classes of manifolds with structure

The theory of Chern classes gives rise to cobordism invariants for almost complex manifolds.

If M is an almost complex manifold, then its tangent bundle is a complex vector bundle. The Chern classes of M are thus defined to be the Chern classes of its tangent bundle. If M is also compact and of dimension 2d, then each monomial of total degree 2d in the Chern classes can be paired with the fundamental class of M, giving an integer, a Chern number of M. If M′ is another almost complex manifold of the same dimension, then it is cobordant to M if and only if the Chern numbers of M′ coincide with those of M.

The theory also extends to real symplectic vector bundles, by the intermediation of compatible almost complex structures. In particular, symplectic manifolds have a well-defined Chern class.

Chern classes on arithmetic schemes and Diophantine equations

(See Arakelov geometry)

See also

• Pontryagin class
• Stiefel–Whitney class
• Euler class
• Segre class

References

• Chern, S. S. (1946), «Characteristic classes of Hermitian Manifolds», Annals of Mathematics. Second Series (The Annals of Mathematics, Vol. 47, No. 1) 47 (1): 85–121, doi:10.2307/1969037, ISSN 0003-486X 
• Grothendieck, Alexander (1958), «La théorie des classes de Chern», Bulletin de la Société Mathématique de France 86: 137–154, ISSN 0037-9484, http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1958__86__137_0 
• Jost, Jürgen (2005), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (4th έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-25907-7  (Provides a very short, introductory review of Chern classes).
• J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, 1999.
• Milnor, John Willard; Stasheff, James D. (1974), Characteristic classes, Annals of Mathematics Studies, 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9 
• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3 

External links

• Vector Bundles & K-Theory – A downloadable book-in-progress by Allen Hatcher. Contains a chapter about characteristic classes.
• Dieter Kotschick, Chern numbers of algebraic varieties