Χρήστης:ΒασιλικηΜενου

Σύνδεση (μαθηματικά) Από την Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια Στην γεωμετρία, η έννοια της σύνδεσης καθιστά ακριβή την ιδέα της μεταφοράς δεδομένων κατά μήκος μιας καμπύλης ή οικογένεια καμπυλών με εναν παραλληλο και συνεπή τρόπο. Υπάρχει μια ποικιλία των ειδών των συνδέσεων στη σύγχρονη γεωμετρία, ανάλογα με το είδος των δεδομένων και ποιος θέλει να μεταφέρει. Για παράδειγμα, ένας συσχετισμένος σύνδεσμος, ο πιο στοιχειώδης τύπος σύνδεσης, δίνει ένα νόημα στη μεταφορά εφαπτόμενων φορέων σε ένα συλλέκτη από το ένα σημείο στο άλλο κατά μήκος μιας καμπύλης. Ένας συσχετισμένος σύνδεσμος συνήθως δίνεται με τη μορφή μιας συναλλοίωτης παραγώγου , η οποία δίνει ένα νόημα στη λήψη κατευθυντικών παραγώγων των διανυσματικών πεδίων: απειροελάχιστη μεταφορά ενός φορέα πεδίου σε μια δεδομένη κατεύθυνση.

Οι σύνδεσμοι είναι κεντρικής σημασίας στη σύγχρονη γεωμετρία σε μεγάλο βαθμό, επειδή επιτρέπουν τη σύγκριση μεταξύ της τοπικής γεωμετρίας σε ένα σημείο και την τοπoλογική γεωμετρία σε ένα άλλο σημείο. H Διαφορική γεωμετρία αγκαλιάζει πολλές παραλλαγές στο θέμα του συνδέσμου, οι οποίες εμπίπτουν σε δύο μεγάλες ομάδες: την απειροελάχιστη και την τοπoλογική θεωρία. Η τοπολογική θεωρία ασχολείται κυρίως με τις έννοιες της παράλληλης μεταφοράς και της ολονομίας. Η απειροελάχιστη θεωρία ασχολείται με τη διαφοροποίηση των γεωμετρικών στοιχείων. Έτσι, η συναλλοίωτος παράγωγος είναι ένας τρόπος προσδιορισμού ενός παραγώγου ενός διανυσματικού πεδίου κατά μήκος ενός άλλου διανυσματικού πεδίου φορέων σε ένα συλλέκτη. Ένας σύνδεσμος Cartan είναι ένας τρόπος διατύπωσης ορισμένης πτυχής της θεωρίας του συνδέσμου χρησιμοποιώντας διαφορικές μορφές και ομάδες Lie. Ένας σύνδεσμος Ehresmann είναι ένας σύνδεσμος σε μια δέσμη ινών ή μια κύρια δέσμη , καθορίζοντας τις επιτρεπόμενες κατευθύνσεις της κίνησης του επιπέδου. Ένας σύνδεσμος Koszul είναι ένας σύνδεσμος γενικεύοντας τη παράγωγο σε μια δέσμη φορέων.

Οι σύνδεσμοι οδηγούν επίσης σε βολική σύνθεση γεωμετρικών αναλλοίωτων, όπως η καμπυλότητα (βλέπε επίσης τανυστής καμπυλότητας και τη μορφή καμπυλότητα), και τανυστής στρέψης.

Ιστιρική έρευνα των συνδέσμων

Ιστορικά, οι σύνδεσμοι μελετήθηκαν από μια απειροελάχιστη προοπτική στη Riemann γεωμετρία. Η απειροελάχιστη μελέτη των συνδέσμων άρχισε σε κάποιο βαθμό από τον Elwin Christoffel.Αυτό μελετήθηκε μετέπειτα περισσότερο διεξοδικά από τους Gregorio Ricci-Curbastro και Tullio Levi-Civita (Levi-Civita & Ricci 1900) που παρατήρησαν εν μέρει ότι ένας σύνδεσμος στην απειροελάχιστο έννοια του Christoffel επέτρεψε επίσης την έννοια της παράλληλης μεταφοράς.

Το έργο του Levi-Civita που εστιάζεται αποκλειστικά στην αναφορά των συνδέσμων ως ένα είδος διαφορικού χειρισμού του οποίου παράλληλες μετατοπίσεις ήταν τότε οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων. Καθώς προχωρούσε ο εικοστός αιώνας, Elie Cartan ανέπτυξε μια νέα έννοια του συνδέσμου. Αυτός προσπάθησε να εφαρμόσει τις τεχνικές των συστημάτων Pfaffian στις γεωμετρίες του προγράμματος Erlangen Felix Klein 's. Σε αυτές τις έρευνες, βρήκε ότι κάποια απειροελάχιστη έννοια της σύνδεσης (ένας σύνδεσμος Cartan) θα μπορούσε να εφαρμοστεί σε αυτές τις γεωμετρίες περισσότερο: η έννοια του συνδέσμου επιτράπηκε για την παρουσία της καμπυλότητας, η οποία διαφορετικά θα ήταν απούσα σε μια κλασική γεωμετρία Klein. (Βλέπε, για παράδειγμα, (Cartan 1926) και (Cartan 1983).) Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τη δυναμική του Gaston Darboux, ο Cartan ήταν σε θέση να γενικεύσει την έννοια της παράλληλης μεταφοράς στην κατηγορία των απειροελάχιστων συνδέσμων. Αυτό καθιέρωσε μια άλλη σημαντική τομή στη θεωρία των συνδέσμων: ότι ένας σύνδεσμος είναι ένα ορισμένο είδος διαφορικής μορφής.