Χαρακτηριστική (Άλγεβρα)

Στα μαθηματικά, η χαρακτηριστική ενός δακτυλίου $R$ , συχνά συμβολίζεται με $char(R)$ , ορίζεται ως ο μικρότερος θετικός αριθμός αντιγράφων του πολλαπλασιαστικού αριθμού του δακτυλίου ταυτότητας ( $1$ ) του δακτυλίου που αθροίζει στην προσθετική ταυτότητα^[1] ( $0$ ). Αν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός, ο δακτύλιος λέγεται ότι έχει χαρακτηριστική μηδέν.

Δηλαδή, $char(R)$ είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός $n$ τέτοιος ώστε:^[2]^:{{{1}}}

\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ summands}}}=0

αν υπάρχει τέτοιος αριθμός $n$ , και $0$ διαφορετικά.

Κίνητρα

Ο ειδικός ορισμός της χαρακτηριστικης μηδεν αιτιολογείται από τους ισοδύναμους ορισμούς που χαρακτηρίζονται στην επόμενη ενότητα, όπου η χαρακτηριστική μηδέν δεν απαιτείται να εξετάζεται ξεχωριστά.

Η χαρακτηριστική μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως ο εκθέτης της προσθετικής ομάδας του δακτυλίου, δηλαδή ο μικρότερος θετικός ακέραιος $n$ τέτοιος ώστε:^[2]^:{{{1}}}

\underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0

για κάθε στοιχείο $a$ του δακτυλίου (και πάλι, αν υπάρχει $n$ , αλλιώς μηδέν). Αυτός ο ορισμός ισχύει στη γενικότερη κατηγορία των δακτυλίων (βλέπε Δακτύλιος (άλγεβρα)#Κατηγορίες Δακτυλίων)- για (μονοσήμαντους) δακτυλίους οι δύο ορισμοί είναι ισοδύναμοι λόγω της επιμεριστικής ιδιότητας του νόμου.

Ισοδύναμες χαρακτηριστικές ιδιότητες

Η χαρακτηριστική ενός δακτυλίου $R$ είναι ο φυσικός αριθμός $n$ , έτσι ώστε $\mathbb {Z}$ να είναι ο πυρήνας του μοναδικού ομομορφισμού δακτυλίου από $\mathbb {Z}$ σε $R$ .^[α]
Η χαρακτηριστική είναι ο φυσικός αριθμός $n$ τέτοιος ώστε ο $R$ να περιέχει έναν υποδακτύλιο ισομορφικό με τον παραγοντικό δακτύλιο $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , ο οποίος είναι η εικόνα του παραπάνω ομομορφισμού.
Όταν οι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί ${0, 1, 2, 3, ...}$ ταξινομούνται μερικώς κατά διαιρετότητα , τότε το $1$ είναι το μικρότερο και το $0$ είναι το μεγαλύτερο. Τότε η χαρακτηριστική ενός δακτυλίου είναι η μικρότερη τιμή του $n$ για την οποία $n \cdot 1 = 0$ . Εάν δεν υπάρχει τίποτα «μικρότερο» (σε αυτή τη σειρά) από το $0$ , τότε η χαρακτηριστική είναι $0$ . Αυτή είναι η κατάλληλη μερική ταξινόμηση λόγω γεγονότων όπως το ότι $char(A \times B)$ είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των $char A$ και $char B$ , και ότι δεν υπάρχει ομομορφισμός δακτυλίου $f : A \to B$ εκτός αν $char B$ διαιρεί $char A$ .
Η χαρακτηριστική ενός δακτυλίου $R$ είναι $n$ ακριβώς αν η πρόταση $ka = 0$ για όλα τα $a \in R$ συνεπάγεται ότι $k$ είναι πολλαπλάσιο του $n$ .

Περίπτωση δακτυλίων

Αν $R$ και $S$ είναι δακτύλιοι και υπάρχει ομομορφισμός δακτυλίων $R \to S$ , τότε η χαρακτηριστική του $S$ διαιρεί τη χαρακτηριστική του $R$ . Αυτό μπορεί μερικές φορές να χρησιμοποιηθεί για να αποκλειστεί η δυνατότητα ορισμένων ομομορφισμών δακτυλίων. Ο μόνος δακτύλιος με χαρακτηριστική $1$ είναι ο δακτύλιος μηδέν, ο οποίος έχει μόνο ένα στοιχείο $0$ . Αν ένας μη τετριμμένος δακτύλιος $R$ δεν έχει μη τετριμμένους μηδενικούς διαιρέτες, τότε η χαρακτηριστική του είναι είτε $0$ είτε πρώτος. Ειδικότερα, αυτό ισχύει για όλα τα σώματα, για όλες τις ακέραιες περιοχές και για όλους τους δακτυλίους διαίρεσης. Κάθε δακτύλιος με χαρακτηριστική μηδέν είναι άπειρος.

Ο δακτύλιος $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ των ακεραίων modulo $n$ έχει χαρακτηριστική $n$ . Αν $R$ είναι υποδακτύλιος του $S$ , τότε $R$ και $S$ έχουν την ίδια χαρακτηριστική. Παραδείγματος χάριν, αν $p$ είναι πρώτος και $q (X)$ είναι ένα μη αναγώγιμο πολυώνυμο^[3] με συντελεστές στο σώμα $\mathbb {F} _{p}$ με $p$ στοιχεία, τότε το πηλίκο του δακτυλίου $\mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))$ είναι ένα σώμα χαρακτηριστικής $p$ . Ένα άλλο παράδειγμα: Το σώμα $\mathbb {C}$ των μιγαδικών αριθμών περιέχει $\mathbb {Z}$ , οπότε η χαρακτηριστική του $\mathbb {C}$ είναι $0$ .

Μια $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ -άλγεβρα είναι ισοδύναμα ένας δακτύλιος του οποίου η χαρακτηριστική διαιρεί το $n$ . Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για κάθε δακτύλιο $R$ υπάρχει ένας ομομορφισμός δακτυλίου $\mathbb {Z} \to R$ , και αυτή η απεικόνιση αποτελεί παράγοντα μέσω του $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ αν και μόνο αν η χαρακτηριστική του $R$ διαιρεί το $n$ . Στην περίπτωση αυτή για κάθε $r$ στο δακτύλιο, τότε προσθέτοντας $r$ στον εαυτό του $n$ φορές δίνει $nr = 0$ .

Αν ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος $R$ έχει πρώτη χαρακτηριστική $p$ , τότε έχουμε (x + y) ^p = x ^p + y ^p για όλα τα στοιχεία $x$ και $y$ στο $R$ - το συνήθως λανθασμένο «όνειρο του πρωτοετή» ισχύει για τη δύναμη $p$ . Η απεικόνιση x ↦ x ^p ορίζει τότε έναν ομομορφισμό δακτυλίου $R' \to R$ }, ο οποίος ονομάζεται ομομορφισμός Φρόμπενιους^[4]. Αν $R$ είναι μια ακέραια περιοχή, είναι ερριπτική

Περίπτωση σωμάτων

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η χαρακτηριστική κάθε σώματος είναι είτε το 0 είτε ένας πρώτος αριθμός. Ο εκθέτης της χαρακτηριστικής ορίζεται παρόμοια, με τη διαφορά ότι είναι ίσος με $1$ όταν η χαρακτηριστική είναι $0$ - διαφορετικά έχει την ίδια τιμή με τη χαρακτηριστική^[5].

Κάθε σώμα $F$ έχει ένα μοναδικό ελάχιστο υποσώμα, το οποίο ονομάζεται επίσης πρώτο σώμα (prime field^[6]). Αυτό το υποσώμα είναι ισόμορφο είτε με το σώμα ρητών αριθμών $\mathbb {Q}$ είτε με ένα πεπερασμένο σώμα $\mathbb {F} _{p}$ πρώτης τάξης. Δύο πρωτα σώματα (prime fields) της ίδιας χαρακτηριστικής είναι ισόμορφα, και αυτός ο ισομορφισμός είναι μοναδικός. Με άλλα λόγια, υπάρχει ουσιαστικά ένα μοναδικό πρώτο σώμα σε κάθε χαρακτηριστική.

Σώματα με χαρακτηριστική μηδέν

Τα σώματα χαρακτηριστική μηδεν είναι εκείνα που έχουν ένα υποσύνολο ισόμορφο με το σώμα ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ των ρητών αριθμών. Τα πιο συνηθισμένα από αυτά τα σώματα είναι τα υποσώματα του σώματος ⁠ $\mathbb {C}$ ⁠ των μιγαδικών αριθμών αυτό περιλαμβάνει τους πραγματικούς αριθμούς $\mathbb {R}$ και όλα τα αλγεβρικά σώματα αριθμών.

Άλλα σώματα χαρακτηριστικη μηδεν είναι τα p-adic σώματα που χρησιμοποιούνται ευρέως στη θεωρία αριθμών.

Τα σώματα ρητών κλασμάτων επί των ακεραίων ή ένα σώμα χαρακτηριστική μηδέν είναι άλλα συνηθισμένα παραδείγματα.

Τα διατεταγμένα σώματα έχουν πάντα χαρακτηριστική μηδέν- περιλαμβάνουν τα $\mathbb {Q}$ και $\mathbb {R} .$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Wolfram Mathematica Online Integrator
A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Elaydi, Saber (2007). Difference Equations, Special Functions and Orthogonal Polynomials: Proceedings of the International Conference, Munich, Germany, 25-30 July 2005. World Scientific. ISBN 978-981-270-643-0.
Marathe, Kishore (9 Αυγούστου 2010). Topics in Physical Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-84882-939-8.
Cushing, Jim M.· Elaydi, Saber N. (21 Μαΐου 2007). Difference Equations, Special Functions And Orthogonal Polynomials - Proceedings Of The International Conference. World Scientific. ISBN 978-981-4475-46-4.
Elduque, Alberto· Kochetov, Mikhail (2013). Gradings on Simple Lie Algebras. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-9846-8.
Greub, Werner Hildbert· Halperin, Stephen (1972). Connections, Curvature, and Cohomology. Academic Press. ISBN 978-0-12-302703-0.
Gabbay, Dov M.· Guenthner, Franz (14 Μαρτίου 2013). Handbook of Philosophical Logic. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-017-0460-1.
Girko, Vyacheslav L. (23 Αυγούστου 2016). Spectral Theory of Random Matrices. Academic Press. ISBN 978-0-08-087361-9.
Freese, Ralph S.· McKenzie, Ralph N. (28 Οκτωβρίου 2022). Algebras, Lattices, Varieties: Volume II. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-6797-5.
Leznov, Andrei N.· Saveliev, Mikhail V. (6 Δεκεμβρίου 2012). Group-Theoretical Methods for Integration of Nonlinear Dynamical Systems. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-8638-3.
Borel, Armand (2 Μαρτίου 2016). Seminar on Transformation Groups. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8267-0.

Παραπομπές

↑ Weisstein, Eric W. «Additive Identity». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2025.
1 2 Fraleigh, John B.· Brand, Neal E. (2020). A First Course in Abstract Algebra (8th έκδοση). Pearson Education.
↑ Hansen, Vagn Lundsgaard (1989). «The Characteristic Algebra of a Polynomial Covering Map». Mathematica Scandinavica 64 (2): 219–225. ISSN 0025-5521. https://www.jstor.org/stable/24492072.
↑ «Frobenius automorphism - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουνίου 2025.
↑ Bourbaki, Nicolas (2003). «5. Characteristic exponent of a field. Perfect fields». Algebra II, Chapters 4–7. Springer. σελ. A.V.7. doi:10.1007/978-3-642-61698-3. ISBN 978-3-540-00706-7.
↑ «Prime field - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2025.

↑ The requirements of ring homomorphisms are such that there can be only one (in fact, exactly one) homomorphism from the ring of integers to any ring; in the language of category theory, $\mathbb {Z}$ is an initial object of the category of rings. Again this applies when a ring has a multiplicative identity element (which is preserved by ring homomorphisms).

Ghate, Eknath (2000), «The Kronecker-Weber theorem», στο: Adhikari, S. D.; Katre, S. A.; Thakur, Dinesh, επιμ., Cyclotomic fields and related topics (Pune, 1999), Bhaskaracharya Pratishthana, Pune, σελ. 135–146, http://www.math.tifr.res.in/~eghate/kw.pdf
Greenberg, M. J. (1974). «An Elementary Proof of the Kronecker-Weber Theorem». American Mathematical Monthly 81 (6): 601–607. doi:10.2307/2319208.
Hazewinkel, Michiel (1975), «Local class field theory is easy», Advances in Mathematics 18 (2): 148–181, doi:10.1016/0001-8708(75)90156-5, ISSN 0001-8708, https://ir.cwi.nl/pub/9964/9964A.pdf, ανακτήθηκε στις 2025-06-10
Hilbert, David (1896), «Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper.», Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen: 29–39, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002497263
Kronecker, Leopold (1968), «Über die algebraisch auflösbaren Gleichungen», Berlin K. Akad. Wiss.: 365–374, Collected works volume 4, ISBN 9780821849828, https://books.google.com/books?id=Gwi0Wum8LY0C&pg=PA3
Kronecker, Leopold (1968), «Über Abelsche Gleichungen», Berlin K. Akad. Wiss.: 845–851, Collected works volume 4, ISBN 9780821849828, https://books.google.com/books?id=Gwi0Wum8LY0C&pg=PA65
Lemmermeyer, Franz (2005), «Kronecker-Weber via Stickelberger», Journal de théorie des nombres de Bordeaux 17 (2): 555–558, doi:10.5802/jtnb.507, ISSN 1246-7405
Lubin, Jonathan (1981), «The local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 267 (1): 133–138, doi:10.2307/1998574, ISSN 0002-9947
Lubin, Jonathan; Tate, John (1965), «Formal complex multiplication in local fields», Annals of Mathematics, Second Series 81 (2): 380–387, doi:10.2307/1970622, ISSN 0003-486X
Lubin, Jonathan; Tate, John (1966), «Formal moduli for one-parameter formal Lie groups», Bulletin de la Société Mathématique de France 94: 49–59, doi:10.24033/bsmf.1633, ISSN 0037-9484, http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1966__94__49_0
Neumann, Olaf (1981), «Two proofs of the Kronecker-Weber theorem "according to Kronecker, and Weber"», Journal für die reine und angewandte Mathematik 323 (323): 105–126, doi:10.1515/crll.1981.323.105, ISSN 0075-4102, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002198282
Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947
Šafarevič, I. R. (1951), A new proof of the Kronecker-Weber theorem, Trudy Mat. Inst. Steklov., 38, Moscow: Izdat. Akad. Nauk SSSR, σελ. 382–387, http://mi.mathnet.ru/eng/tm/v38/p382
Schappacher, Norbert (1998), «On the history of Hilbert's twelfth problem: a comedy of errors», Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XX^e siècle (Nice, 1996), Sémin. Congr., 3, Paris: Société Mathématique de France, σελ. 243–273, ISBN 978-2-85629-065-1, http://www.emis.de/journals/SC/1998/3/html/smf_sem-cong_3_243-273.html
Weber, H. (1886), «Theorie der Abel'schen Zahlkörper», Acta Mathematica 8: 193–263, doi:10.1007/BF02417089, ISSN 0001-5962

Πηγές

Parshall, K. H. (1983). «In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H M Wedderburn, Leonard Dickson, and Oswald Veblen». Archives of International History of Science 33: 274–99.
Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
Zbl 1103.12002
Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327
Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
Zbl 1206.51015
Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

[1] Weisstein, Eric W. «Additive Identity». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2025.

[Fraleigh-Brand-2020-2] 1 2 Fraleigh, John B.· Brand, Neal E. (2020). A First Course in Abstract Algebra (8th έκδοση). Pearson Education.

[4] Hansen, Vagn Lundsgaard (1989). «The Characteristic Algebra of a Polynomial Covering Map». Mathematica Scandinavica 64 (2): 219–225. ISSN 0025-5521. https://www.jstor.org/stable/24492072.

[5] «Frobenius automorphism - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουνίου 2025.

[6] Bourbaki, Nicolas (2003). «5. Characteristic exponent of a field. Perfect fields». Algebra II, Chapters 4–7. Springer. σελ. A.V.7. doi:10.1007/978-3-642-61698-3. ISBN 978-3-540-00706-7.

[7] «Prime field - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2025.

[3] The requirements of ring homomorphisms are such that there can be only one (in fact, exactly one) homomorphism from the ring of integers to any ring; in the language of category theory, $\mathbb {Z}$ is an initial object of the category of rings. Again this applies when a ring has a multiplicative identity element (which is preserved by ring homomorphisms).

[1]

[2]

[α]

[3]

[4]

[5]

[6]