Χέρμαν Βάυλ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
(Ανακατεύθυνση από Χέρμαν Γουέιλ)
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Χέρμαν Βάυλ
Hermann Weyl ETH-Bib Portr 00890.jpg
Γέννηση 9  Νοεμβρίου 1885
Τόπος γέννησης Έλμσχορν[1]
Θάνατος 8  Δεκεμβρίου 1955 και 9  Δεκεμβρίου 1955
Τόπος θανάτου Ζυρίχη[2]
Υπηκοότητα Γερμανική Αυτοκρατορία, Δημοκρατία της Βαϊμάρης και Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής
Τέκνα Fritz Joachim Weyl
Ερευνητικός τομέας Διαφορική γεωμετρία και θεωρία αριθμών
Σπουδές Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν
Διδακτορικός καθηγητής Ντάβιντ Χίλμπερτ
Επάγγελμα/
ιδιότητες
μαθηματικός, φυσικός, φιλόσοφος, καθηγητής πανεπιστημίου και ψυχολόγος
Εργοδότης Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν και Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών
Ακαδημαϊκός τίτλος Διδάκτωρ, habilitation και Επίτιμο διδακτορικό
Hermann Weyl signature.jpg
Commons page Σχετικά πολυμέσα

Ο Χέρμαν Κλάους Χούγκο Βάυλ, μέλος της Βασιλικής Εταιρείας[3] (Hermann Klaus Hugo Weyl, 9 Νοεμβρίου 18858 Δεκεμβρίου 1955) ήταν Γερμανός μαθηματικός, θεωρητικός φυσικός και φιλόσοφος. Παρά το γεγονός ότι ένα μεγάλο μέρος της επαγγελματικής ζωής του, το πέρασε στη Ζυρίχη, στην Ελβετία και στη συνέχεια στο Πρίνστον, είναι συνδεδεμένος με το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν Παράδοσης των Μαθηματικών, εκπροσωπούμενος από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ και τον Χέρμαν Μινκόφσκι. Η έρευνά του έχει μεγάλη σημασία για τη Θεωρητική Φυσική καθώς και για καθαρά μαθηματικές επιστήμες συμπεριλαμβανομένης της Θεωρίας Αριθμών. Ήταν ένας από τους πιο σημαντικούς μαθηματικούς του εικοστού αιώνα, και ένα σημαντικό μέλος του Ινστιτούτου για Προηγμένες Μελέτες κατά τα πρώτα του χρόνια.[4][5][6]

Ο Βάυλ δημοσίευσε τεχνικές και κάποιες γενικές έρευνες πάνω στο χώρο, το χρόνο, την ύλη, τη φιλοσοφία, τη λογική, τη συμμετρία και της ιστορίας των μαθηματικών. Ήταν ένας από τους πρώτους που συνέλαβε την ιδέα του συνδυασμού της γενικής σχετικότητας με τους νόμους του ηλεκτρομαγνητισμού.Ενώ κανένας μαθηματικός της γενιάς του δε φιλοδοξούσε τον «οικουμενισμό» του Ανρί Πουανκαρέ ή του Χίλμπερτ, ο Βάυλ ήρθε πιο κοντά από οποιονδήποτε άλλον. Ο Μάικλ Φράνσις Ατίγια, συγκεκριμένα , σχολίασε ότι κάθε φορά που εξέταζε ένα μαθηματικό θέμα, διαπίστωνε ότι ο Βάυλ τον είχε προηγηθεί(The Mathematical Intelligencer (1984), vol.6 no.1).

Βιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Βάυλ γεννήθηκε στο Έλμσχορν (Elmshorn), μια μικρή πόλη κοντά στο Αμβούργο, στη Γερμανία, και παρακολούθησε το γυμνάσιο Christianeum στην Αλτόνα.[7]

Από το 1904 μέχρι το 1908 σπούδασε μαθηματικά και φυσική, στο Γκέτινγκεν και στο Μόναχο. Το διδακτορικό δίπλωμα τού απονεμήθηκε στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν , υπό την επίβλεψη του Ντάβιντ Χίλμπερτ τον οποίο θαύμαζε. Αφού δίδαξε για μερικά χρόνια, έφυγε από το Γκέτινγκεν και πήγε στη Ζυρίχη για να αναλάβει την προεδρία των μαθηματικών στο ETH της Ζυρίχης, όπου ήταν συνάδελφος του Άλμπερτ Αϊνστάιν, ο οποίος δούλευε πάνω στις λεπτομέρειες της θεωρίας της γενικής σχετικότητας. Ο Αϊνστάιν είχε μια διαρκή επιρροή στον Βάυλ, ο οποίος γοητεύτηκε από τη μαθηματική φυσική. Ο Βάυλ γνώρισε τον Έρβιν Σρέντιγκερ το 1921, όταν αυτός διορίστηκε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης. Έγιναν στενοί φίλοι με την πάροδο του χρόνου.Ο Βάυλ συνέπτυξε ερωτική σχέση με την Ανν-Μαρί ( Άννυ ) Σρέντιγκερ, καθώς η Άννυ τον βοηθούσε να μεγαλώσει μια κόρη,την οποία είχε με μια άλλη γυναίκα.[8]

Ο Βάυλ έφυγε από τη Ζυρίχη το 1930 για να διαδεχθεί τον Χίλμπερτ στο Γκέτινγκεν, εγκατέλειψε όμως τη θέση όταν οι Ναζί ανέλαβαν την εξουσία το 1933, κυρίως διότι η σύζυγός του ήταν εβραϊκής καταγωγής. Του είχε προσφερθεί μία από τις πρώτες θέσεις στο νέο Ινστιτούτο για Προηγμένες Μελέτες του Πρίνστον, στο Νιου Τζέρσεϊ, αλλά την απέριψε επειδή δεν επιθυμούσε να αφήσει την πατρίδα του. Δεδομένου ότι η πολιτική κατάσταση στη Γερμανία χειροτέρευε, άλλαξε γνώμη και δέχτηκε τη θέση όταν του προσφέρθηκε και πάλι. Παρέμεινε εκεί μέχρι τη συνταξιοδότησή του το 1951. Μαζί με τη σύζυγό του, πέρασε το χρόνο του μεταξύ Πρίνστον και Ζυρίχης και πέθανε στη Ζυρίχη το 1955.

Συνεισφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι Χέρμαν Βάυλ (αριστερά) και Ερνστ Πεσλ (δεξιά)

Κατανομή των ιδιοτιμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 1911 ο Βάυλ δημοσίευσε την Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte (Από την ασυμπτωτική κατανομή των ιδιοτιμών ), στην οποία απέδειξε ότι οι ιδιοτιμές του Λαπλάς στον συμπαγή τομέα κατανέμονται σύμφωνα με το λεγόμενο Νόμο του Βάυλ. Το 1912 πρότεινε μια νέα απόδειξη , με βάση τις αρχές της Μεταβολικής. Ο Βάυλ επέστρεψε σε αυτό το θέμα αρκετές φορές, σκεπτόμενος το σύστημα ελαστικότητας και διατύπωσε την εικασία του Βάυλ. Αυτές οι εργασίες δημιούργησαν ένα σημαντικό τομέα, την ασυμπτωτική κατανομή των ιδιοτιμών της Μοντέρνας Ανάλυσης.

Θεμελιώδης γεωμετρία των πολλαπλοτήτων και της φυσικής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 1913, ο Βάυλ δημοσίευσε την Die Idee der Riemannschen Fläche (Η έννοια της επιφάνειας Riemann), η οποία έδωσε μια ενιαία αντιμετώπιση της επιφάνειας του Riemann. Σε αυτό ο Βάυλ αξιοποίησε την τοπολογία σημείου, προκειμένου να καταστεί η θεωρία επιφάνειας του Riemann αυστηρότερη, ένα μοντέλο που ακολουθήθηκε σε μεταγενέστερο έργο στην πολλαπλότητα. Απορρόφησε την πρόωρη εργασία του Λ. Ε. Τζ. Μπράουερ στην τοπολογία για τον σκοπό αυτό.

Ο Βάυλ, ως σημαντική φυσιογνωμία στο σχολείο Γκέτινγκεν, γνώριζε άριστα το έργο του Αϊνστάιν από τις πρώτες ημέρες του. Παρακολούθησε την εξέλιξη της σχετικότητας της φυσικής στο έργο του Raum, Zeit, Materie (Χώρος, Χρόνος, Ύλη) από το 1918, φθάνοντας την τέταρτη έκδοση το 1922. Το 1918, εισήγαγε την έννοια της βαθμίδας, και έδωσε το πρώτο παράδειγμα αυτό που είναι τώρα γνωστό ως Θεωρία βαθμίδας. Η Θεωρία βαθμίδας του Βάυλ ήταν μια αποτυχημένη προσπάθεια να διαμορφώσει το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και το βαρυτικό πεδίο ως γεωμετρικών ιδιοτήτων του χωροχρόνου. Ο τανυστής του Βάυλ στη Γεωμετρία του Riemann είναι μείζονος σημασίας για την κατανόηση της φύσης της σύμμορφης γεωμετρίας. Το 1929, ο Βάυλ εισήγαγε την έννοια των "Τετράδων" στη γενική σχετικότητα.[9]

Η γενική προσέγγισή του στη φυσική βασίστηκε στη φαινομενολογική φιλοσοφία του Έντμουντ Χούσερλ, συγκεκριμένα στο έργο του Χούσερλ το 1913 Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie. Erstes Buch: Allgemeine Einführung in die reine Phänomenologie (Ιδέες μιας καθαρής Φαινομενολογίας και Φαινομενολογικής φιλοσοφίας. Πρώτο Βιβλίο: Γενική Εισαγωγή). Προφανώς αυτός ήταν ο τρόπος του Βείλ για να αντιμετωπίσει την αμφιλεγόμενη εξάρτηση του Αϊνστάιν για την φαινομενολογική φυσική του Ερνέστου Μαχ.[εκκρεμεί παραπομπή]

Ο Χούσερλ είχε αντιδράσει έντονα στις κριτικές του Γκότλομπ Φρέγκε για την πρώτη του δουλεία στην φιλοσοφία της αριθμητικής και διερευνούσε τις έννοιες των μαθηματικών και άλλων δομών, τις οποίες ο Φρέγκε είχε διακρίνει από εμπειρικές αναφορές. Ως εκ τούτου υπάρχει σοβαρός λόγος να προβληθεί η θεωρία των βαθμίδων, όπως αναπτύχθηκε από τις ιδέες του Βάυλ δηλαδή ως ένας φορμαλισμός της φυσικής μέτρησης και όχι ως μια θεωρία οτιδήποτε φυσικού, π.χ. ως επιστημονικός φορμαλισμός.[εκκρεμεί παραπομπή]

Τοπολογικές ομάδες, Ομάδες Λι και θεωρία αναπαραστάσεων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Από το 1923 έως το 1938, ο Βάυλ ανέπτυξε την θεωρία των συμπαγών ομάδων, από την άποψη της αναπαράστασης πινάκων. Στην περίπτωση των συμπαγών ομάδων Λι απέδειξε ένα θεμελιώδη τύπο χαρακτήρων.

Τα αποτελέσματα αυτά είναι θεμελιώδη για την κατανόηση της δομής της συμμετρίας της κβαντομηχανικής, τα οποία έθεσε σε μία ομαδοποιμενη-θεωρητικη βάση. Αυτό περιελάμβανε διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς. Μαζί με την μαθηματική διατύπωση της κβαντικής μηχανικής, που σε μεγάλο βαθμό οφείλεται στον Τζον φον Νόιμαν, έκανε το θέμα γνωστό περίπου από το 1930. Οι μη-συμπαγείς ομάδες και οι εκπρόσωποί τους, ιδίως η ομάδα Χάιζενμπεργκ, είχαν επίσης εξορθολογιστεί σε εκείνο το συγκεκριμένο πλαίσιο, από το 1927 η κβάντωση Βάυλ, παραμένει η καλύτερη υφιστάμενη γέφυρα μεταξύ κλασικής και κβαντικής φυσικής μέχρι και σήμερα. Από αυτή τη περίοδο, και σίγουρα με μεγάλη συμβολή των εγχειριδίων του Βάυλ, οι ομάδες Λι και η άλγεβρα Λι έγιναν η επικρατούσα τάση για τα Καθαρά Μαθηματικά και για την Θεωρητική Φυσική.

Το βιβλίο του Οι Κλασσικές Ομάδες, ένα εμπνευστικό αν και δύσκολα κατανοητό κείμενο, επανεξέτασε την θεωρία αναλλοίωτης βαθμίδας. Κάλυπτε τις συμμετρικές ομάδες, τις ομάδες γενικών γραμμικών, τις ορθογωνικές ομάδες, και συμπλεκτικές ομάδες, και τα αποτελέσματά πάνω στις σταθερές και στις αναπαραστάσεις.

Αρμονική ανάλυση και αναλυτική θεωρία αριθμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Βάυλ έδειξε επίσης πως να χρησιμοποιηθούν τα εκθετικά αθροίσματα στην διοφαντική προσέγγιση, με το κριτήριο της ομοιόμορφης κατανομής ενότητα 1, το οποίο ήταν ένα θεμελιώδες βήμα στην αναλυτική θεωρία αριθμών. Το έργο αυτό εφαρμόστηκε στην ζήτα συνάρτηση του Riemann, καθώς και στην θεωρία πρόσθετων αριθμών και αναπτύχθηκε από πολλούς άλλους.

Θεμελιώδη Μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο βιβλίο του Η Συνέχεια (The Continuum) ο Βάυλ ανέπτυξε την λογική της predicative analysis χρησιμοποιώντας τα κατώτερα επίπεδα της "διακλαδιζόμενης" θεωρίας των τύπων του Μπέρτραντ Ράσελ. Ήταν σε θέση να αναπτύξει το μεγαλύτερο μέρος του κλασικού λογισμού,χωρίς να χρησιμοποιήσει ούτε αξίωμα της επιλογής ούτε την εις άτοπον απαγωγή, και αποφεύγοντας την Θεωρία Συνόλων του Γκέοργκ Κάντορ. O Βάυλ εκείνη την περίοδο άσκησε έφεση κατά του ριζοσπαστικού κονστρουκτιβισμού,του γερμανικού ρομαντισμού, χαρακτηριζόμενος ως ιδεαλιστής κατά τον Γιόχαν Γκότλιμπ Φίχτε

Λίγο μετά την δημοσίευση του βιβλίου του Η Συνέχεια ο Βάυλ στράφηκε όλοσχερώς στα φιλοσοφικά μαθηματικά και ιδιαίτερα στην εργασία του Λ. Ε. Τζ. Μπράουερ . Στο βιβλίο του Η Συνέχεια , τα οικοδομημένα σημεία υπήρχαν ως διακριτές οντότητες,όμως ο Βάυλ ήθελε η Συνέχεια να αποκτήσει διαφορετικό νόημα και να μην ήταν ένα σύνολο των σημείων . Έγραψε ένα αμφιλεγόμενο άρθρο διακηρύσσοντας για τον ίδιο και Λ. Ε. Τζ. Μπράουερ , " Είμαστε η επανάσταση." Το άρθρο αυτό είχε πολύ μεγαλύτερη επιρροή και από τα πρωτότυπα έργα του Μπράουερ .

Ο George Pólya και ο Βάυλ, κατά τη διάρκεια ενός μαθηματικού συνεδρίου στη Ζυρίχη (9 Φεβρουαρίου 1918) , έβαλαν ένα στοίχημα σχετικά με τη μελλοντική κατεύθυνση των μαθηματικών. Ο Βάυλ προέβλεψε ότι τα επόμενα 20 χρόνια , οι μαθηματικοί θα είναι σε θέση να συνειδητοποιήσουν τη συνολική ασάφεια των εννοιών όπως πραγματικοί αριθμοί, Σύνολα, Αριθμήσιμα Σύνολα και περισσότερο, ότι το να αναρωτιέται κανείς αν είναι σωστό ή το λάθος το γεγονός ότι κάθε σύνολο πραγματικών αριθμών έχει μέγιστο ή ελάχιστο,θα ήταν το ίδιο άσκοπο με το να αναρωτηθεί κανείς για την αλήθεια των βασικών ισχυρισμών του Χέγκελ στην φιλοσοφία της φύσης. Οποιαδήποτε απάντηση σε τέτοια ερωτήματα θα ήταν ανεπαλήθευτη, άσχετη με την εμπειρία, και ως εκ τούτου παράλογη.

Ωστόσο, μέσα σε λίγα χρόνια ο Βάυλ αποφάσισε ότι ο ιντουϊσιονισμός(διαισθητισμός) του Μπράουερ είχε θέσει πολύ μεγαλύτερους περιορισμούς σχετικά με τα μαθηματικά, όπως είχε ειπωθεί από κριτικές. Το άρθρο "Η Κρίση" ενόχλησε ιδιαίτερα τον φορμαλιστή δάσκαλο του Χίλμπερτ, αλλά αργότερα στη δεκαετία του 1920 ο Βάυλ εν μέρει συμφιλιώθηκε με τη θέση που είχε πάρει ο Χίλμπερτ.

Λίγο μετά το 1928, ο Βάυλ αποφάσισε ότι ο μαθηματικός ιντουϊσιονισμός (διαισθητισμός) δεν ήταν συμβατός με τον ενθουσιασμό του για την φαινομενολογική φιλοσοφία του Χούσερλ, όπως είχε προφανώς νωρίτερα πιστέψει. Τις τελευταίες δεκαετίες της ζωής του, ο Βάυλ έδωσε έμφαση στα κατασκευαστικά μαθηματικά και έθεσε την γνώμη του σε μια θέση πιο κοντά, όχι μόνο στου Χίλμπερτ , αλλά και στου Ερνστ Κασίρερ. Ο Βάυλ αναφέρεται όμως σπάνια στον Κασίρερ, και έγραψε μόνο σύντομα άρθρα και αποσπάσματα βασιζόμενα σε αυτή τη θέση.

Το 1949, ο Βάυλ ήταν πολύ απογοητευμένος με την τελική άξια του ιντουϊσιονισμού (διαισθητισμού), και έγραψε: "Τα μαθηματικά με τον Μπράουερ κερδίζουν την υψηλότερη διαισθητική σαφήνεια. Διαδέχεται στην ανάπτυξη τις απαρχές της ανάλυσης με φυσικό τρόπο ,όλη την ώρα διατηρώντας την επαφή με την διαίσθησή πολύ περισσότερο από ό,τι είχε γίνει στο παρελθόν. Δεν μπορεί κανείς να αρνηθεί , ωστόσο , ότι σε υψηλότερες και πιο γενικές θεωρίες το ανεφάρμοστο των απλών νόμων της κλασικής λογικής τελικά οδηγεί σε μια σχεδόν αφόρητη αμηχανία . Και οι μαθηματικοί παρατηρούν το μεγαλύτερο μέρος των οικοδομημάτων του που πιστεύεται ότι είναι κτισμένο από τσιμεντόλιθους να χάνετε μέσα στην ομίχλη μπροστά στα μάτια τους."

Αποσπάσματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σχόλιο του Βάυλ, αν και κατά το ήμισυ αστείο, συνοψίζει την προσωπικότητά του:

Η δουλειά μου πάντα προσπαθούσε να ενώσει την αλήθεια με την ομορφιά, αλλά όταν έπρεπε να διαλέξω το ένα η το άλλο, εγώ συνήθως διάλεγα το όμορφο.
Το ερώτημα για τα τελικά θεμέλια και το τελικό νόημα των μαθηματικών παραμένει ανοιχτό; δεν ξέρουμε προς ποια κατεύθυνση θα βρει την τελική του λύση ούτε καν αν μπορεί να αναμένεται μια τελική αντικειμενική απάντηση. Το "Mathematizing" μπορεί κάλλιστα να είναι μια δημιουργική δραστηριότητα του ανθρώπου, όπως η γλώσσα ή η μουσική, πρωτογενούς πρωτοτυπίας, του οποίου οι ιστορικές αποφάσεις αψηφούν πλήρως τον αντικειμενικό εξορθολογισμό.
Gesammelte Abhandlungen
Τα προβλήματα των μαθηματικών δεν είναι προβλήματα στο κενό ....
Ο φαύλος κύκλος του ορισμού του Impredicative, ο οποίος έχει διεισδύσει στην ανάλυση μέσω του ομιχλώδη χαρακτήρα των συνήθων ομάδων και των εννοιών της συνάρτησης, δεν είναι μικρής σημασίας, η μορφή σφάλματος αποφεύγεται εύκολα στην ανάλυση.
Σε αυτές τις ημέρες ο άγγελος της τοπολογίας και ο διάβολος της αφηρημένης άλγεβρας μάχονται για την ψυχή του κάθε μαθηματικού τομέα. Weyl (1939b, p.500)

Θέματα που ονομάστηκαν μετά τον Χέρμαν Βάυλ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Γερμανική Εθνική Βιβλιοθήκη, Berlin State Library, Bavarian State Library, Εθνική Βιβλιοθήκη της Αυστρίας: Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 10  Δεκεμβρίου 2014.
  2. Γερμανική Εθνική Βιβλιοθήκη, Berlin State Library, Bavarian State Library, Εθνική Βιβλιοθήκη της Αυστρίας: Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 30  Δεκεμβρίου 2014.
  3. doi:10.1098/rsbm.1957.0021
  4. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland (Αύγουστος 2005). «Hermann Klaus Hugo Weyl». JOC/EFR ©. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Weyl.html. Ανακτήθηκε στις 23.05.2015. 
  5. Mathematics Genealogy Project. «Hermann Claus Hugo Weyl». http://www.genealogy.ams.org/id.php?id=7373. Ανακτήθηκε στις 23.05.2015. 
  6. «Weyl, Hermann 1885-1955». http://worldcat.org/identities/lccn-n50-18035/. 
  7. Elsner, Bernd (2008). «Die Abiturarbeit Hermann Weyls». Christianeum 63 (1): 3–15. 
  8. Moore, Walter (1989). Schrödinger: Life and Thought. Cambridge University Press, σελ. 175–176. ISBN 0-521-43767-9. //books.google.com/books?id=m-YF1glKWLoC&pg=PA175. 
  9. 1929. "Elektron und Gravitation I", Zeitschrift Physik, 56, pp 330–352.

Περαιτέρω ανάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύρια[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δευτερεύοντα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • ed. K. Chandrasekharan,Hermann Weyl, 1885–1985, Centenary lectures delivered by C. N. Yang, R. Penrose, A. Borel, at the ETH Zürich Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo – 1986, published for the Eidgenössische Technische Hochschule, Zürich.
  • Deppert, Wolfgang et al., eds., Exact Sciences and their Philosophical Foundations. Vorträge des Internationalen Hermann-Weyl-Kongresses, Kiel 1985, Bern; New York; Paris: Peter Lang 1988,
  • Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870-1940. Princeton Uni. Press.
  • Erhard Scholz; Robert Coleman; Herbert Korte; Hubert Goenner; Skuli Sigurdsson; Norbert Straumann eds. Hermann Weyl's Raum – Zeit – Materie and a General Introduction to his Scientific Work (Oberwolfach Seminars) (ISBN 3-7643-6476-9) Springer-Verlag New York, New York, N.Y.
  • Thomas Hawkins, Emergence of the Theory of Lie Groups, New York: Springer, 2000.
  • Kilmister, C. W. (October 1980), «Zeno, Aristotle, Weyl and Shuard: two-and-a-half millennia of worries over number», The Mathematical Gazette (The Mathematical Gazette, Vol. 64, No. 429) 64 (429): 149–158, doi:10.2307/3615116 
  • Για το στοίχημα Weyl–Pólya bet, a copy of the original letter together with some background can be found in: doi:10.1007/BF01110732

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]