Υποομάδα

Στη θεωρία ομάδων, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα υποσύνολο μιας ομάδας G είναι υποομάδα^[1]^[2]^[3] της G, αν τα μέλη αυτού του υποσυνόλου σχηματίζουν ομάδα σε σχέση με την πράξη ομάδας στην G.

Τυπικά, δεδομένης μιας ομάδας $G$ υπό μια δυαδική πράξη ∗, ένα υποσύνολο $H$ της $G$ ονομάζεται υποομάδα της $G$ αν η $H$ σχηματίζει επίσης μια ομάδα υπό την πράξη ∗. Πιο συγκεκριμένα, το $H$ είναι υποομάδα της $G$ αν ο περιορισμός του ∗ στο $H \times H$ είναι μια πράξη ομάδας στο $H$ . Αυτό συχνά συμβολίζεται ως $H \leq G$ , που διαβάζεται ως " $H$ είναι υποομάδα της $G$ ".

Η τετριμμένη υποομάδα οποιασδήποτε ομάδας είναι η υποομάδα {“'e”'} που αποτελείται μόνο από το στοιχείο ταυτότητας.^[4]

Μια κατάλληλη υποομάδα μιας ομάδας $G$ είναι μια υποομάδα $H$ η οποία είναι κατάλληλο υποσύνολο της $G$ (δηλαδή, $H \neq G$ ). Αυτό συχνά αναπαρίσταται συμβολικά με $H < G$ , που διαβάζεται ως " $H$ είναι κατάλληλη υποομάδα της $G$ }". Ορισμένοι συγγραφείς αποκλείουν επίσης την τετριμμένη ομάδα από το να είναι κατάλληλη (δηλαδή, H ≠ {e}).^[5]^[6]

Εάν το $H$ είναι υποομάδα της $G$ , τότε η $G$ ονομάζεται μερικές φορές "υπερομάδα" του $H$ .

Οι ίδιοι ορισμοί ισχύουν γενικότερα όταν η $G$ είναι μια αυθαίρετη ημι-ομάδα, αλλά αυτό το άρθρο θα ασχοληθεί μόνο με υποομάδες ομάδων.

Δοκιμές υποομάδων

Ας υποθέσουμε ότι $G$ είναι μια ομάδα και $H$ είναι ένα υποσύνολο της $G$ . Προς το παρόν, υποθέτουμε ότι η πράξη της ομάδας $G$ γράφεται πολλαπλασιαστικά, και συμβολίζεται με παράθεση.

Τότε το $H$ είναι μια υποομάδα της $G$ αν και μόνο αν το $H$ είναι μη κενό και κλειστό υπό γινόμενα και αντίστροφα. Κλειστό υπό γινόμενο σημαίνει ότι για κάθε $a$ και $b$ στο $H$ , το γινόμενο $ab$ είναι στο $H$ . Κλειστό υπό αντίστροφο σημαίνει ότι για κάθε $a$ στο $H$ , το αντίστροφο $a - 1$ είναι στο $H$ . Αυτές οι δύο συνθήκες μπορούν να συνδυαστούν σε μία, ότι για κάθε $a$ και $b$ στο $H$ , το στοιχείο $ab - 1$ είναι στο $H$ ,αλλά είναι πιο φυσικό και συνήθως εξίσου εύκολο να ελέγξουμε τις δύο συνθήκες κλειστότητας ξεχωριστά.^[7]
Όταν το $H$ είναι πεπερασμένο, η δοκιμή μπορεί να απλοποιηθεί: $H$ είναι υποομάδα αν και μόνο αν είναι μη κενή και κλειστή υπό γινόμενο. Αυτές οι συνθήκες από μόνες τους συνεπάγονται ότι κάθε στοιχείο $a$ του $H$ παράγει μια πεπερασμένη κυκλική υποομάδα του $H$ , ας πούμε τάξης $n$ , και τότε το αντίστροφο του $a$ είναι $a n - 1$ .^[7]

Εάν η πράξη της ομάδας συμβολίζεται με πρόσθεση, τότε το κλειστό υπό γινόμενοθα πρέπει να αντικατασταθεί από το κλειστό υπό πρόσθεση, το οποίο είναι η συνθήκη ότι για κάθε $a$ και $b$ στο $H$ , το άθροισμα $a + b$ είναι στο $H$ , και το κλειστό υπό αντίστροφα θα πρέπει να τροποποιηθεί ώστε να λέει ότι για κάθε $a$ στο $H$ , ο αντίστροφο $- a$ είναι στο $H$ .

Βασικές ιδιότητες των υποομάδων

Η ταυτότητα μιας υποομάδας είναι η ταυτότητα της ομάδας^[8]: αν $G$ είναι μια ομάδα με ταυτότητα $e G$ , και $H$ είναι μια υποομάδα της $G$ } με ταυτότητα $e H$ , τότε $e H = e G$ .
Tο αντίστροφο ενός στοιχείου μιας υποομάδας είναι το αντίστροφο του στοιχείου της ομάδας: αν $H$ είναι υποομάδα μιας ομάδας $G$ , και $a$ και $b$ είναι στοιχεία του $H$ τέτοια ώστε $ab = ba = e H$ , τότε $ab = ba = e G$ .
Αν το $H$ είναι υποομάδα της $G$ , τότε η απεικόνιση εγκλεισμού $H \to G$ που στέλνει κάθε στοιχείο $a$ του $H$ στον εαυτό του είναι ομομορφισμός.
Η τομή των υποομάδων $A$ και $B$ της $G$ είναι και πάλι μια υποομάδα της $G$ .^[9]Παραδείγματος χάριν, η τομή του $x$ -άξονα και του $y$ -άξονα στο ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ υπό πρόσθεση είναι η τετριμμένη υποομάδα. Γενικότερα, η τομή μιας αυθαίρετης συλλογής υποομάδων της $G$ είναι μια υποομάδα της $G$ .
Η ένωση των υποομάδων $A$ και $B$ είναι υποομάδα εάν και μόνο εάν $A \subseteq B$ ή $B \subseteq A$ . Ένα μη-παράδειγμα: ⁠ $2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z}$ ⁠ δεν είναι υποομάδα της ⁠ $\mathbb {Z} ,$ ⁠ επειδή τα 2 και 3 είναι στοιχεία αυτού του υποσυνόλου των οποίων το άθροισμα, 5, δεν είναι στο υποσύνολο. Ομοίως, η ένωση του $x$ -άξονα και του $y$ -άξονα στο ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ δεν είναι υποομάδα του ⁠ $\mathbb {R} ^{2}.$ ⁠
Αν το $S$ είναι ένα υποσύνολο της $G$ , τότε υπάρχει μια μικρότερη υποομάδα που περιέχει το $S$ , δηλαδή η τομή όλων των υποομάδων που περιέχουν το $S$ ; συμβολίζεται με $⟨ S ⟩$ και ονομάζεται υποομάδα που παράγεται από το $S$ . Ένα στοιχείο της $G$ βρίσκεται στο $⟨ S ⟩$ αν και μόνο αν είναι ένα πεπερασμένο γινόμενο στοιχείων του $S$ και των αντιστρόφων τους, ενδεχομένως επαναλαμβανόμενων.^[10]
Κάθε στοιχείο $a$ μιας ομάδας $G$ παράγει μια κυκλική υποομάδα $⟨ a ⟩$ . Αν το $⟨ a ⟩$ είναι ισόμορφο με το ⁠ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ⁠ (οι ακέραιοι $mod n$ ) για κάποιο θετικό ακέραιο $n$ , τότε $n$ είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο $a n = e$ , και το $n$ is ονομάζεται τάξη του $a$ . Αν $⟨ a ⟩$ είναι ισομορφικό με το ⁠ $\mathbb {Z} ,$ ⁠ τότε το $a$ λέγεται ότι έχει άπειρη τάξη.
Οι υποομάδες κάθε δεδομένης ομάδας σχηματίζουν ένα πλήρες πλέγμα υπό εγκλεισμό, το οποίο ονομάζεται πλέγμα υποομάδων. (Ενώ το Μέγιστο κάτω φράγμα εδώ είναι η συνήθης συνθετική τομή, το σουπρέμουμ ενός συνόλου υποομάδων είναι η υποομάδα που παράγεται από τη συνθετική ένωση των υποομάδων, όχι η ίδια η συνθετική ένωση) Αν $e$ είναι η ταυτότητα της $G$ , τότε η τετριμμένη ομάδα είναι η ελάχιστη υποομάδα της $G$ , ενώ η μέγιστη υποομάδα είναι η ίδια η ομάδα $G$ .

Συσσύνολα και θεώρημα Λαγκράνζ

Δεδομένης μιας υποομάδας $H$ και κάποιου $a$ στη $G$ , ορίζουμε το αριστερό συσσύνολο $aH = {ah : h in H}.$ Επειδή το $a$ είναι αντιστρέψιμο, η απεικόνιση $φ : H \to aH$ που δίνεται από $φ(h) = ah$ είναι μια αμφίρριψη. Επιπλέον, κάθε στοιχείο της $G$ περιέχεται ακριβώς σε ένα αριστερό συσσύνολο της $H$ ; τα αριστερά συσσύνολα είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας που αντιστοιχούν στη σχέση ισοδυναμίας $a 1 ~ a 2$ αν και μόνο αν ⁠ $a_{1}^{-1}a_{2}$ ⁠ βρίσκεται στο $H$ . Ο αριθμός των αριστερών συνόλων του $H$ ονομάζεται δείκτης του $H$ στο $G$ και συμβολίζεται με $[G : H]$ .

Το θεώρημα του Λαγκράνζ ορίζει ότι για μια πεπερασμένη ομάδα $G$ και μια υποομάδα $H$ ,

[G:H]={|G| \over |H|}

όπου $| G |$ και $| H |$ συμβολίζουν τις τάξεις των $G$ και $H$ , αντίστοιχα. Ειδικότερα, η τάξη κάθε υποομάδας της $G$ (και η τάξη κάθε στοιχείου της $G$ ) πρέπει να είναι διαιρέτης της $| G |$ .^[11]^[12]

Τα Δεξιά Συσσύνολα ορίζονται αναλογικά: $Ha = {ha : h in H}.$ Είναι επίσης οι κλάσεις ισοδυναμίας για μια κατάλληλη σχέση ισοδυναμίας και ο αριθμός τους είναι ίσος με $[G : H]$ .

Αν $aH = Ha$ για κάθε $a$ στην $G$ , τότε το $H$ λέγεται ότι είναι κανονική υποομάδα. Κάθε υποομάδα με δείκτη 2 είναι κανονική: τα αριστερά συσσύνολα, αλλά και τα δεξιά συσσύνολα, είναι απλά η υποομάδα και το συμπλήρωμά της. Γενικότερα, αν $p$ είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός που διαιρεί την τάξη μιας πεπερασμένης ομάδας $G$ , τότε κάθε υποομάδα με δείκτη $p$ (αν υπάρχει) είναι κανονική.

Example: Υποομάδες της Z₈

Έστω $G$ η κυκλική ομάδα $Z 8$ της οποίας τα στοιχεία είναι

G=\left\{0,4,2,6,1,5,3,7\right\}

και της οποίας η πράξη της ομάδας είναι η πρόσθεση modulo 8. Ο πίνακας Κέιλυ του είναι

+	0	4	2	6	1	5	3	7
0	0	4	2	6	1	5	3	7
4	4	0	6	2	5	1	7	3
2	2	6	4	0	3	7	5	1
6	6	2	0	4	7	3	1	5
1	1	5	3	7	2	6	4	0
5	5	1	7	3	6	2	0	4
3	3	7	5	1	4	0	6	2
7	7	3	1	5	0	4	2	6

Η ομάδα αυτή έχει δύο μη τετριμμένες υποομάδες: ■ J = {0, 4} και

■

H = {0, 4, 2, 6} ,  όπου η   $J$  είναι επίσης υποομάδα του  $H$ .  Ο πίνακας Κέιλυ για το  $H$  είναι το πάνω αριστερό τεταρτημόριο του πίνακα Κέιλυ για τη  $G$ ; πίνακας Κέιλυ για τη   $J$  είναι το πάνω αριστερό τεταρτημόριο του πίνακα Κέιλυ για το  $H$ .  Η ομάδα  $G$  είναι κυκλική, το ίδιο και οι υποομάδες της. Γενικά, οι υποομάδες των κυκλικών ομάδων είναι επίσης κυκλικές.^[13]

Παράδειγμα: Υποομάδες S₄

$S 4$ είναι η συμμετρική ομάδα της οποίας τα στοιχεία αντιστοιχούν στις μεταθέσεις των 4 στοιχείων.
Παρακάτω παρατίθενται όλες οι υποομάδες της, ταξινομημένες κατά καρδαιότητα.
Κάθε ομάδα (εκτός από εκείνες με πληθικότητα 1 και 2) αναπαρίσταται από τον πίνακα Κέιλυ της.

24 στοιχεία

Όπως κάθε ομάδα, η $S 4$ είναι υποομάδα του εαυτού της.

Και οι 30 υποομάδες

Απλοποίηση

Διαγράμματα Χάσε του πλέγματος των υποομάδων της

S 4

12 στοιχεία

Η εναλλασσόμενη ομάδα περιέχει μόνο τις ζυγές μεταθέσεις.
Είναι μία από τις δύο μη τετριμμένες ορθές κανονικές υποομάδες της $S 4$ . (Η άλλη είναι η υποομάδα Κλάιν.)

8 στοιχεία

4 στοιχεία

3 στοιχεία

2 στοιχία

Κάθε μετάθεση $p$ τάξης 2 παράγει μια υποομάδα ${1, p$ }. Αυτές είναι οι μεταθέσεις που έχουν μόνο 2 κύκλους::

Υπάρχουν οι 6 μεταθέσεις με έναν 2-κύκλο. (πράσινο φόντο)
Και 3 μεταθέσεις με δύο 2 κύκλους. (λευκό φόντο, έντονοι αριθμοί)

1 στοιχίο

Η τετριμμένη υποομάδα είναι η μοναδική υποομάδα τάξης 1.

Άλλα παραδείγματα

Οι άρτιοι ακέραιοι σχηματίζουν μια υποομάδα ⁠ $2\mathbb {Z}$ ⁠ του δακτυλίου ακεραίων ⁠ $\mathbb {Z$ ⁠ το άθροισμα δύο άρτιων ακεραίων είναι άρτιο, και το αρνητικό ενός άρτιου ακεραίου είναι άρτιο.
Ένα ιδεώδες σε έναν δακτύλιο $R$ είναι μια υποομάδα της προσθετικής ομάδας του $R$ .
Ένας γραμμικός υποχώρος ενός διανυσματικού χώρου είναι μια υποομάδα της προσθετικής ομάδας των διανυσμάτων.
Σε μια αβελιανή ομάδα, τα στοιχεία πεπερασμένης τάξης σχηματίζουν μια υποομάδα που ονομάζεται υποομάδα στρέψης.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Wolfram Mathematica Online Integrator
A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Schmidt, Roland (20 Ιουλίου 2011). Subgroup Lattices of Groups. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-086864-7.
Atzmüller, Martin (2007). Knowledge-intensive Subgroup Mining: Techniques for Automatic and Interactive Discovery. IOS Press. ISBN 978-3-89838-307-3.
Handel, Michael· Mosher, Lee (13 Μαΐου 2020). Subgroup Decomposition in Out(Fn). American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-4113-5.
Lubotzky, Alexander· Segal, Dan (6 Δεκεμβρίου 2012). Subgroup Growth. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-8965-0.
Schmidt, Roland (20 Ιουλίου 2011). Subgroup Lattices of Groups. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-086864-7.
Atzmüller, Martin (2007). Knowledge-intensive Subgroup Mining: Techniques for Automatic and Interactive Discovery. IOS Press. ISBN 978-3-89838-307-3.
Shahriar, Shahriar (16 Αυγούστου 2017). Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2849-5.
Paulsen, William (3 Σεπτεμβρίου 2018). Abstract Algebra: An Interactive Approach, Second Edition. CRC Press. ISBN 978-1-4987-1979-7.
Gray, Jeremy (7 Αυγούστου 2018). A History of Abstract Algebra: From Algebraic Equations to Modern Algebra. Springer. ISBN 978-3-319-94773-0.
Smarandache, Florentin· Zhang, Xiaohong (4 Απριλίου 2019). Algebraic Structures of Neutrosophic Triplets, Neutrosophic Duplets, or Neutrosophic Multisets: Volume 1. MDPI. ISBN 978-3-03897-384-3.

Παραπομπές

↑ Weisstein, Eric W. «Subgroup». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2025.
↑ «4.1: Introduction to Subgroups». Mathematics LibreTexts (στα Αγγλικά). 15 Σεπτεμβρίου 2021. Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2025.
↑ «Subgroup - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2025.
↑ Gallian 2013, σελ. 61.
↑ Hungerford 1974, σελ. 32.
↑ Artin 2011, σελ. 43.
1 2 Kurzweil & Stellmacher 1998, σελ. 4.
↑ «subgroup». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2025.
↑ Jacobson 2009, σελ. 41.
↑ Ash 2002.
↑ See a didactic proof in this video.
↑ Dummit & Foote 2004, σελ. 90.
↑ Gallian 2013, σελ. 81.

Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
Hungerford, Thomas (1974), Algebra (1st έκδοση), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181 .
Artin, Michael (2011), Algebra (2nd έκδοση), Prentice Hall, ISBN 9780132413770 .
Dummit, David S.· Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra (3rd έκδοση). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
Gallian, Joseph A. (2013). Contemporary abstract algebra (8th έκδοση). Boston, MA: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 978-1-133-59970-8. OCLC 807255720.
Kurzweil, Hans· Stellmacher, Bernd (1998). Theorie der endlichen Gruppen. Springer-Lehrbuch. doi:10.1007/978-3-642-58816-7. ISBN 978-3-540-60331-3.
Ash, Robert B. (2002). Abstract Algebra: The Basic Graduate Year (στα Αγγλικά). Department of Mathematics University of Illinois. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Σεπτεμβρίου 2021. Ανακτήθηκε στις 12 Ιουλίου 2025.
Jacobson, Nathan (8 Ιουνίου 2012). Basic Algebra II: Second Edition. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13521-2.
Kantor, I.L.; Solodovnikov, A.S. (1989), «Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem.», Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras (2nd έκδοση), Springer-Verlag, σελ. 121, ISBN 978-0-387-96980-0,
Zbl 0669.17001
, https://archive.org/details/hypercomplexnumb0000kant/page/121
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. en:Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.
Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf.
Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8.
Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001.
Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11.
Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947

Πηγές

Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0.
Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
Zbl 1103.12002
DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7.
Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
Zbl 1206.51015
Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

[1] Weisstein, Eric W. «Subgroup». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2025.

[2] «4.1: Introduction to Subgroups». Mathematics LibreTexts (στα Αγγλικά). 15 Σεπτεμβρίου 2021. Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2025.

[3] «Subgroup - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2025.

[FOOTNOTEGallian201361-4] Gallian 2013, σελ. 61.

[FOOTNOTEHungerford197432-5] Hungerford 1974, σελ. 32.

[FOOTNOTEArtin201143-6] Artin 2011, σελ. 43.

[FOOTNOTEKurzweilStellmacher19984-7] 1 2 Kurzweil & Stellmacher 1998, σελ. 4.

[8] «subgroup». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2025.

[FOOTNOTEJacobson200941-9] Jacobson 2009, σελ. 41.

[FOOTNOTEAsh2002-10] Ash 2002.

[11] See a didactic proof in this video.

[FOOTNOTEDummitFoote200490-12] Dummit & Foote 2004, σελ. 90.

[FOOTNOTEGallian201381-13] Gallian 2013, σελ. 81.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]