Υπερβολοειδές

Μονόφυλλο υπερβολοειδές

Κωνική επιφάνεια ενδιάμεσα

Δίφυλλο υπερβολοειδές

Στη γεωμετρία, ένα υπερβολοειδές εκ περιστροφής, που μερικές φορές ονομάζεται κυκλικό υπερβολοειδές, είναι η επιφάνεια που δημιουργείται από την περιστροφή μιας υπερβολής γύρω από έναν από τους κύριους άξονές της. Ένα υπερβολοειδές είναι η επιφάνεια που λαμβάνεται από ένα υπερβολοειδές εκ περιστροφής με παραμόρφωση αυτού μέσω κατευθυντικών κλιμακώσεων, ή γενικότερα, ενός αφινικού μετασχηματισμού.

Ένα υπερβολοειδές είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλαδή μια επιφάνεια που ορίζεται ως το μηδενικό σύνολο ενός πολυωνύμου δευτέρου βαθμού σε τρεις μεταβλητές. Μεταξύ των τετραγωνικών επιφανειών, ένα υπερβολοειδές χαρακτηρίζεται από το ότι δεν είναι κώνος ή κύλινδρος, έχει κέντρο συμμετρίας και τέμνει πολλά επίπεδα σε υπερβολές. Ένα υπερβολοειδές έχει τρεις κατά ζεύγη κάθετους άξονες συμμετρίας και τρία κατά ζεύγη κάθετα επίπεδα συμμετρίας.

Δεδομένου ενός υπερβολοειδούς, μπορεί κανείς να επιλέξει ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε το υπερβολοειδές να ορίζεται από μία από τις ακόλουθες εξισώσεις:

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,$ ή ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.$

Οι άξονες συντεταγμένων είναι άξονες συμμετρίας του υπερβολοειδούς και η αρχή είναι το κέντρο συμμετρίας του υπερβολοειδούς. Σε κάθε περίπτωση, το υπερβολοειδές είναι ασυμπτωτικό του κώνου των εξισώσεων:

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.$

Έχουμε ένα υπερβολοειδές εκ περιστροφής αν και μόνο αν $a^{2}=b^{2}.$ Διαφορετικά, οι άξονες είναι μοναδικά καθορισμένοι (μέχρι την ανταλλαγή του άξονα x και του άξονα y).

Υπάρχουν δύο είδη υπερβολοειδών. Στην πρώτη περίπτωση ((+1 στο δεξί μέρος της εξίσωσης): ένα μονόφυλλο υπερβολοειδές, που ονομάζεται επίσης υπερβολικό υπερβολοειδές. Πρόκειται για μια συνδεδεμένη επιφάνεια, η οποία έχει αρνητική Γκαουσιανή καμπυλότητα σε κάθε σημείο. Αυτό σημαίνει ότι κοντά σε κάθε σημείο η τομή του υπερβολοειδούς και του εφαπτόμενου επιπέδου του στο σημείο αποτελείται από δύο κλάδους καμπύλης που έχουν διαφορετικές εφαπτόμενες στο σημείο. Στην περίπτωση του μονόφυλλου υπερβολοειδούς, αυτοί οι κλάδοι των καμπυλών είναι γραμμές και επομένως το υπερβολοειδές μονόφυλλου είναι μια διπλά ευθειογενής επιφάνεια.

Στη δεύτερη περίπτωση (−1 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης): ένα δίφυλλο υπερβολοειδές, που ονομάζεται επίσης ελλειπτικό υπερβολοειδές. Η επιφάνεια έχει δύο συνδεδεμένες συνιστώσες και θετική Γκαουσιανή καμπυλότητα σε κάθε σημείο. Η επιφάνεια είναι κυρτή με την έννοια ότι το εφαπτόμενο επίπεδο σε κάθε σημείο τέμνει την επιφάνεια μόνο στο σημείο αυτό.

Παραμετρικές αναπαραστάσεις

Κινούμενη εικόνα μιας υπερβολοειδούς εκ περιστροφής

Οι καρτεσιανές συντεταγμένες για τα υπερβολοειδή μπορούν να οριστούν, όπως ακριβώς και οι σφαιρικές συντεταγμένες, διατηρώντας τη γωνία αζιμούθιου θ ∈ [0, 2π), αλλά αλλάζοντας την κλίση v σε υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Υπερβολοειδές μιας επιφάνειας: v ∈ (−∞, ∞)

${\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\sin \theta \\z&=c\sinh v\end{aligned}}$

Υπερβολοειδές δύο επιφανειών: v ∈ [0, ∞)

${\begin{aligned}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sinh v\sin \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}$

υπερβολοειδές μονόφυλλο: παραγωγή από μια περιστρεφόμενη υπερβολή (πάνω) και μια γραμμή (κάτω: κόκκινο ή μπλε)

υπερβολοειδές μονόφυλλο: επίπεδες τομές

Η ακόλουθη παραμετρική αναπαράσταση περιλαμβάνει μονόφυλλου υπερβολοειδή, δίφυλλου και του κοινού τους οριακού κώνου, καθένα με το $z$-άξονα ως άξονα συμμετρίας:

$\mathbf {x} (s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)$

• Για $d>0$ έχουμε ένα υπερβολοειδές μονόφυλλο,
• Για $d<0$ ένα υπερβολοειδές δίφυλλο, και
• Για $d=0$ έναν διπλό κώνο.

Μπορεί κανείς να λάβει μια παραμετρική αναπαράσταση ενός υπερβολοειδούς με διαφορετικό άξονα συντεταγμένων ως άξονα συμμετρίας, ανακατεύοντας τη θέση του όρου $cs$ στην κατάλληλη συνιστώσα της παραπάνω εξίσωσης.

Ιδιότητες

Υπερβολοειδές μονόφυλλο

Γραμμές στην επιφάνεια

• Ένα υπερβολοειδές μονόφυλλο περιέχει δύο μολύβια γραμμών. Είναι μια διπλά ευθειογενής επιφάνεια.

Αν το υπερβολοειδές έχει την εξίσωση

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ τότε οι γραμμές

$g_{\alpha }^{\pm }:\mathbf {x} (t)={\begin{pmatrix}a\cos \alpha \\b\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-a\sin \alpha \\b\cos \alpha \\\pm c\end{pmatrix}}\ ,\quad t\in \mathbb {R} ,\ 0\leq \alpha \leq 2\pi \$

εμπεριέχονται στην επιφάνεια.

Στην περίπτωση $a=b$ το υπερβολοειδές είναι μια επιφάνεια εκ περιστροφής και μπορεί να δημιουργηθεί περιστρέφοντας μία από τις δύο ευθείες $g_{0}^{+}$ ή $g_{0}^{-}$, οι οποίες είναι λοξές ως προς τον άξονα περιστροφής (βλέπε εικόνα). Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται «θεώρημα του Γουρέν». Η πιο συνηθισμένη δημιουργία ενός μονόφυλλου υπερβολοειδούς εκ περιστροφής είναι η περιστροφή μιας υπερβολής γύρω από τον ημικύριο άξονά της (βλέπε εικόνα- η περιστροφή της υπερβολής γύρω από τον άλλο άξονά της δίνει μια δίφυλλη υπερβολή περιστροφής).

Ένα υπερβολοειδές μονόφυλλο είναι προβολικά ισοδύναμο με ένα υπερβολικό παραβολοειδές.

Επίπεδα τμήματα

Για λόγους απλότητας εξετάζονται οι επίπεδες τομές του μοναδιαίου υπερβολοειδούς με εξίσωση $\ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$. Επειδή ένα υπερβολοειδές σε γενική θέση είναι μια συγγενής εικόνα του μοναδιαίου υπερβολοειδούς, το αποτέλεσμα ισχύει και στη γενική περίπτωση.

• Ένα επίπεδο με κλίση μικρότερη από 1 (1 είναι η κλίση των ευθειών στο υπερβολοειδές) τέμνει το $H_{1}$ σε μια έλλειψη,
• Ένα επίπεδο με κλίση ίση με 1 που περιέχει την αρχή τέμνει το $H_{1}$ σε ένα ζεύγος παράλληλων ευθειών,
• Ένα επίπεδο με κλίση ίση με 1 που δεν περιέχει την αρχή τέμνει την $H_{1}$ σε μια παραβολή,
• Ένα εφαπτόμενο επίπεδο τέμνει την $H_{1}$ σε ένα ζεύγος τεμνόμενων ευθειών,
• Ένα μη εφαπτόμενο επίπεδο με κλίση μεγαλύτερη του 1 τέμνει την $H_{1}$ σε μια υπερβολή..

Προφανώς, κάθε μονόφυλλο υπερβολοειδές εκ περιστροφής περιέχει κύκλους. Αυτό ισχύει επίσης, αλλά είναι λιγότερο προφανές, στη γενική περίπτωση (βλ. κυκλική ενότητα).

Άλλες ιδιότητες

Συμμετρίες

Υπερβολοειδές με εξισώσεις

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$

έχουν

• σημειακά συμμετρικά ως προς την αρχή,
• συμμετρική ως προς τα επίπεδα συντεταγμένων και
• περιστροφικά συμμετρικά ως προς τον άξονα z και συμμετρικά ως προς κάθε επίπεδο που περιέχει τον άξονα z, στην περίπτωση $a=b$ (υπερβολοειδές εκ περιστροφής).

Καμπυλότητα

Αν και η καμπυλότητα Γκάους ενός μονόφυλλου υπερβολοειδούς είναι αρνητική, αυτή ενός υπερβολοειδούς δίφυλλου είναι θετική. Παρά τη θετική του καμπυλότητα, το δίφυλλο υπερβολοειδές με μια άλλη κατάλληλα επιλεγμένη μετρική μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί ως μοντέλο για την υπερβολική γεωμετρία.

Σε περισσότερες από τρεις διαστάσεις

Τα φανταστικά υπερβολοειδή συναντώνται συχνά στα μαθηματικά υψηλότερων διαστάσεων. Επί παραδείγματι, σε έναν ψευδο-ευκλείδειο χώρο έχουμε τη χρήση μιας τετραγωνικής μορφής:

$q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\quad k<n.$

΄Ὅταν c είναι οποιαδήποτε σταθερά, τότε το τμήμα του χώρου που δίνεται από

$\lbrace x\ :\ q(x)=c\rbrace$

ονομάζεται «υπερβολοειδές». Η εκφυλισμένη περίπτωση αντιστοιχεί σε c = 0.

Ως παράδειγμα, ας δούμε το ακόλουθο απόσπασμα:

... τα διανύσματα της ταχύτητας βρίσκονται πάντοτε σε μια επιφάνεια την οποία ο Μινκόφσκι ονομάζει τετραδιάστατο υπερβολοειδές, αφού, εκφρασμένη σε όρους αμιγώς πραγματικών συντεταγμένων (y₁, ..., y₄), η εξίσωσή της είναι y2
1 + y2
2 + y2
3 − y2
4 = −1, κατ' αναλογία με το υπερβολοειδές y2
1 + y2
2 − y2
3 = −1 του τρισδιάστατου χώρου.

Ωστόσο, ο όρος οιονεί σφαίρα χρησιμοποιείται επίσης σε αυτό το πλαίσιο, δεδομένου ότι η σφαίρα και το υπερβολοειδές έχουν κάποια κοινά στοιχεία.

Υπερβολοειδείς δομές

Τα μονόφυλλα υπερβολοειδή χρησιμοποιούνται στις κατασκευές, με τις δομές να ονομάζονται υπερβολοειδείς δομές. Ένα υπερβολοειδές είναι μια διπλά ευθειογενής επιφάνεια- έτσι, μπορεί να κατασκευαστεί με ευθύγραμμες χαλύβδινες δοκούς, παράγοντας μια ισχυρή δομή με χαμηλότερο κόστος από άλλες μεθόδους. Παραδείγματα περιλαμβάνουν πύργους ψύξης, ιδίως των σταθμών παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας, και πολλές άλλες κατασκευές.

• 
  Ο φάρος του Αντζιόγκολ, Ουκρανία, 1911.
• 
  Ο πρώτος πύργος ψύξης Βαν Ίτερσον της DSM Έμμα στο Χέερλεν της Ολλανδία, 1918, που κατοχυρώθηκε με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας το 1916
• 
  Πύργος του λιμανιού Κόμπε, Ιαπωνία, 1963.
• 
  Πλανητάριο Τζέιμς Σ. ΜακΝτόνελ του Επιστημονικού Κέντρου του Σεντ Λούις, Σεντ Λούις, Μισούρι, 1963.
• 
  Πύργος ελέγχου του διεθνούς αεροδρομίου του Νιουκάστλ, Νιουκάστλ upon Tyne, Αγγλία, 1967.
• 
  Πύργος μετάδοσης Ζέστεντ, Τσεχική Δημοκρατία, 1968.
• 
  Καθεδρικός ναός της Μπραζίλια, Βραζιλία, 1970.
• 
  Υπερβολοειδής πύργος νερού με τοροειδή δεξαμενή, Τσετσάνοφ, Πολωνία, 1972.
• 
  Αίθουσα Ρόι Τόμσον, Τορόντο, Καναδάς, 1982.
• 
  Ο πύργος ψύξης του THTR-300 για τον παροπλισμένο πλέον πυρηνικός αντιδραστήρας στο Χαμ-Ούεντροπ, Γερμανία, 1983.
• 
  Η γέφυρα της οδού Corporation, Μάντσεστερ, Αγγλία, 1999.
• 
  Ο πύργος παρατήρησης Κίλεσμπεργκ, Στουτγάρδη, Γερμανία, 2001.
• 
  BMW Welt, (BMW World), μουσείο και χώρος εκδηλώσεων, Μόναχο, Γερμανία, 2007.
• 
  Ο Πύργος της Καντόνας, Κίνα, 2010.
• 
  Ο πύργος νερού Εσάρτ-λε-Ρουά, Γαλλία.

Σχέση με τη σφαίρα

Το 1853 ο Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον δημοσίευσε το βιβλίο του Lectures on Quaternions, το οποίο περιλάμβανε την παρουσίαση των δικουατερνίων. Το παρακάτω απόσπασμα από τη σελίδα 673 δείχνει πώς ο Χάμιλτον χρησιμοποιεί την άλγεβρα των δικουατερνίων και τα διανύσματα από τα κουατερνίων για να παράγει υπερβολοειδή από την εξίσωση μιας σφαίρας:

.. την εξίσωση της μοναδιαίας σφαίρας ρ² + 1 = 0, και αλλάξτε το διάνυσμα ρ σε μια μορφή διάνυσματος, όπως σ + τ √-1. Η εξίσωση της σφαίρας διασπάται τότε στο σύστημα των δύο παρακάτω,

σ² − τ² + 1 = 0, S.στ = 0;

και μας προτείνει να εξετάσουμε σ and τ ως δύο πραγματικά και ορθογώνια διανύσματα, έτσι ώστε

Tτ = (Tσ² − 1 )^1/2.

Επομένως, είναι εύκολο να συμπεράνουμε ότι αν υποθέσουμε σ || λ, όπου λ είναι ένα διάνυσμα σε δεδομένη θέση, το νέο πραγματικό διάνυσμα σ + τ θα τερματίζει στην επιφάνεια ενός διπλοστοιβαίου και ισόπλευρου υπερβολοειδούς και ότι, από την άλλη πλευρά, αν υποθέσουμε τ || λ, τότε ο τόπος του άκρου του πραγματικού διανύσματος σ + τ θα είναι ένα ισόπλευρο αλλά μονόπλευρο υπερβολοειδές. Η μελέτη αυτών των δύο υπερβολοειδών συνδέεται, επομένως, με αυτόν τον τρόπο πολύ απλά, μέσω των biquaternions, με τη μελέτη της σφαίρας- ...

Σε αυτό το απόσπασμα S είναι ο τελεστής που δίνει το βαθμωτό μέρος ενός τετραδονίου (quaternions), και T είναι ο «τανυστής», που τώρα ονομάζεται νόρμα, ενός τετραδονίου.

Μια σύγχρονη άποψη για την ενοποίηση της σφαίρας και του υπερβολοειδούς χρησιμοποιεί την ιδέα μιας κωνικής τομής ως τεμάχιο μιας τετραγωνικής μορφής. Αντί για μια κωνική επιφάνεια, απαιτούνται κωνικές υπερεπιφάνειες στον τετραδιάστατο χώρο με σημεία p = (w, x, y, z) ∈ R⁴ που καθορίζονται από τετραγωνικές μορφές. Πρώτα ας θεωρήσουμε την κωνική υπερεπιφάνεια

• $P=\left\{p\;:\;w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\right\}$και

• $H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,$ το οποίο είναι ένα υπερεπίπεδο.

Τότε $P\cap H_{r}$ είναι η σφαίρα με ακτίνα r}. Από την άλλη πλευρά, η κωνική υπερεπιφάνεια

$Q=\lbrace p\ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace$ ορίζει ότι $Q\cap H_{r}$ είναι ένα υπερβολοειδές.

Στη θεωρία των τετραγωνικών μορφών, μια μοναδιαία οιονεί σφαίρα είναι το υποσύνολο ενός τετραγωνικού χώρου X που αποτελείται από τα x ∈ X τέτοια ώστε η τετραγωνική νόρμα του x να είναι ένα..

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Ζαν-Μπατίστ Μαρί Μενιέ ντε Λα Πλας
• Τρισδιάστατος χώρος
• Κοχλίας του Αρχιμήδη
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Gray, mary (29 Δεκεμβρίου 1997). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Second Edition. CRC Press. ISBN 978-0-8493-7164-6. 
• Phillips, Jack (20 Δεκεμβρίου 1984). Freedom in Machinery: Volume 1, Introducing Screw Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23696-6. 
• Winston, Roland· Minano, Juan C. (5 Ιανουαρίου 2005). Nonimaging Optics. Academic Press. ISBN 978-0-12-759751-5. 
• Arnol'd, V. I. (5 Σεπτεμβρίου 1997). Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-96890-2. 
• Cocchiarella, Luigi (6 Ιουλίου 2018). ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics: 40th Anniversary - Milan, Italy, August 3-7, 2018. Springer. ISBN 978-3-319-95588-9. 
• Warren, Samuel Edward (1877). The Elements of Descriptive Geometry, Shadows and Perspective: With a Brief Treatment of Trihedrals, Transversals, and Spherical, Axonometric and Oblique Projections for Colleges and Scientific Schools. J. Wiley & sons. 
• Arnold, Vladimir I.· Khesin, Boris A. (12 Μαΐου 2021). Topological Methods in Hydrodynamics. Springer Nature. ISBN 978-3-030-74278-2. 
• Grosche, Christian (2013). Path Integrals, Hyperbolic Spaces and Selberg Trace Formulae. World Scientific. ISBN 978-981-4460-08-8. 
• A.S, Ninul. Tensor Trigonometry: The 3-rd edition. Fizmatkniga. ISBN 978-5-89155-430-6. 
• Vullo, Vincenzo (24 Ιανουαρίου 2020). Gears: Volume 1: Geometric and Kinematic Design. Springer Nature. ISBN 978-3-030-36502-8. 

Παραπομπές

• do Carmo, Manfredo P. (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces (1st έκδοση), Prentice-Hall, ISBN 978-0132125895 
• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlin, doi:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3 
• Beauville, Arnaud (1996), Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts, 34 (2nd έκδοση), Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511623936, ISBN 978-0-521-49510-3 
• Edge, W. L. (1931), The Theory of Ruled Surfaces, Cambridge University Press, https://archive.org/details/theoryofruledsur029537mbp . Review: Bulletin of the American Mathematical Society 37 (1931), 791-793,
• Fuchs, D.; Tabachnikov, Serge (2007), «16.5 There are no non-planar triply ruled surfaces», Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, σελ. 228, ISBN 9780821843161, https://books.google.com/books?id=IiG9AwAAQBAJ&pg=PA228 .
• Li, Ta-tsien, επιμ.. (2011), Problems and Solutions in Mathematics, 3103 (2nd έκδοση), World Scientific Publishing Company, ISBN 9789810234805, https://books.google.com/books?id=lrMOjbLhR2IC&pg=PA156 .
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd έκδοση), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 .
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0