Μετάβαση στο περιεχόμενο

Τύπος του Γιακόμπι

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στον υπολογισμό πινάκων, ο τύπος του Γιακόμπι[1][2] εκφράζει την παράγωγο της ορίζουσας ενός πίνακα Α ως προς την συζυγή του Α και την παράγωγο του Α[3].

Εάν ο A είναι ένας διαφορίσιμος χάρτης από τους πραγματικούς αριθμούς σε πίνακες n × n, τότε

όπου tr(X) είναι το ίχνος του πίνακα X. (Η τελευταία ισότητα ισχύει μόνο αν ο A'(t) είναι αντιστρέψιμος).

Ως ειδική περίπτωση,

Ισοδύναμα, αν dA συμβολίζει το διαφορικό του A, ο γενικός τύπος είναι

Ο τύπος πήρε το όνομά του από τον μαθηματικό Καρλ Γκούσταβ Γιάκομπ Γιάκομπι.

Μέσω υπολογισμού πινάκων

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αποδεικνύουμε πρώτα ένα προκαταρκτικό λήμμα[4][5]:

Λήμμα. Έστω Α και Β ένα ζεύγος τετραγωνικών πινάκων της ίδιας διάστασης n. Τότε

Απόδειξη. Το γινόμενο ΑΒ του ζεύγους πινάκων έχει συνιστώσες

Η αντικατάσταση του πίνακα A από την αντιμετάθεσή του AT είναι ισοδύναμη με την αντιμετάθεση των δεικτών των συνιστωσών του:

Το αποτέλεσμα προκύπτει λαμβάνοντας το ίχνος και των δύο πλευρών:

Θεώρημα. (τύπος Γιακόμπι) Για κάθε διαφορίσιμο χάρτη A από τους πραγματικούς αριθμούς σε n × n πίνακες,

Απόδειξη. Ο τύπος του Λαπλάς για την ορίζουσα ενός πίνακα Α μπορεί να διατυπωθεί ως εξής

Σημειώστε ότι το άθροισμα γίνεται σε κάποια αυθαίρετη γραμμή i του πίνακα.

Η ορίζουσα του A μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μια συνάρτηση των στοιχείων του A:

έτσι ώστε, σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας, το διαφορικό του είναι

Αυτό το άθροισμα πραγματοποιείται σε όλα τα n×n στοιχεία του πίνακα.

Για να βρούμε το ∂F/∂Aij ας θεωρήσουμε ότι στη δεξιά πλευρά του τύπου Λαπλάς, ο δείκτης i μπορεί να επιλεγεί κατά βούληση. (Προκειμένου να βελτιστοποιηθούν οι υπολογισμοί: Οποιαδήποτε άλλη επιλογή θα έδινε τελικά το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά θα μπορούσε να είναι πολύ πιο δύσκολη). Συγκεκριμένα, μπορεί να επιλεγεί ώστε να ταιριάζει με τον πρώτο δείκτη του ∂ / ∂Aij:

Έτσι, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου,

Τώρα, αν ένα στοιχείο ενός πίνακα Aij και ένας συντελεστής adjT(A)ik του στοιχείου Aik βρίσκονται στην ίδια γραμμή (ή στήλη), τότε ο συντελεστής δεν θα είναι συνάρτηση του Aij, επειδή ο συντελεστής του Aikεκφράζεται σε όρους στοιχείων που δεν βρίσκονται στη δική του γραμμή (ούτε στήλη). Συνεπώς,

οπότε

Όλα τα στοιχεία του Α είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, δηλ.

όπου δ είναι το δέλτα Κρόνεκερ, οπότε

Ως εκ τούτου,

και εφαρμόζοντας το Λήμμα προκύπτει

Διαγώνια διαγωνοποίηση

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Και οι δύο πλευρές του τύπου Γιακόμπι είναι πολυώνυμα του πίνακα συντελεστές των A και A'. Επομένως, είναι αρκεί να επαληθεύσουμε την πολυωνυμική ταυτότητα στο πυκνό υποσύνολο όπου οι ιδιοτιμές του A είναι διακριτές και μη μηδενικές.

Εάν η A είναι διαφοροποιήσιμη ως , τότε

Ειδικότερα, αν L είναι αντιστρέψιμη, τότε και

Δεδομένου ότι η A έχει διακριτές ιδιοτιμές, υπάρχει ένας διαφορίσιμος μιγαδικός αντιστρέψιμος πίνακας L τέτοιος ώστε και D είναι διαγώνιος. Τότε

Έστω , είναι οι ιδιοτιμές της A. Τότε

ο οποίος είναι ο τύπος Γιακόμπι για πίνακες A με ξεχωριστές μη μηδενικές ιδιοτιμές.

Η ακόλουθη είναι μια χρήσιμη σχέση που συνδέει το ίχνος με τον προσδιοριστή του εκθετικού του σχετικού πίνακα[6]:

 

Η δήλωση αυτή είναι σαφής για διαγώνιους πίνακες και ακολουθεί η απόδειξη του γενικού ισχυρισμού.

Για οποιονδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα , στην προηγούμενη ενότητα "Μέσω του κανόνα της αλυσίδας", δείξαμε ότι

Θεωρώντας σε αυτή την εξίσωση προκύπτει:

Το επιθυμητό αποτέλεσμα προκύπτει ως λύση αυτής της συνήθους διαφορικής εξίσωσης.

Διάφορες μορφές του τύπου βρίσκονται πίσω από τον αλγόριθμο Φαντέεφ-Λεβεριέ για τον υπολογισμό του χαρακτηριστικού πολυωνύμου[7], καθώς και ρητές εφαρμογές του θεωρήματος Κέιλι-Χάμιλτον. Παραδείγματος χάριν, ξεκινώντας από την ακόλουθη εξίσωση, η οποία αποδείχθηκε παραπάνω:

και χρησιμοποιώντας , έχουμε:

όπου adj συμβολίζει τον προσαρτημένο πίνακα.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]