Τύπος του Γιακόμπι
Στον υπολογισμό πινάκων, ο τύπος του Γιακόμπι[1][2] εκφράζει την παράγωγο της ορίζουσας ενός πίνακα Α ως προς την συζυγή του Α και την παράγωγο του Α[3].
Εάν ο A είναι ένας διαφορίσιμος χάρτης από τους πραγματικούς αριθμούς σε πίνακες n × n, τότε
όπου tr(X) είναι το ίχνος του πίνακα X. (Η τελευταία ισότητα ισχύει μόνο αν ο A'(t) είναι αντιστρέψιμος).
Ως ειδική περίπτωση,
Ισοδύναμα, αν dA συμβολίζει το διαφορικό του A, ο γενικός τύπος είναι
Ο τύπος πήρε το όνομά του από τον μαθηματικό Καρλ Γκούσταβ Γιάκομπ Γιάκομπι.
Παραγωγίση
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Μέσω υπολογισμού πινάκων
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Αποδεικνύουμε πρώτα ένα προκαταρκτικό λήμμα[4][5]:
Λήμμα. Έστω Α και Β ένα ζεύγος τετραγωνικών πινάκων της ίδιας διάστασης n. Τότε
Απόδειξη. Το γινόμενο ΑΒ του ζεύγους πινάκων έχει συνιστώσες
Η αντικατάσταση του πίνακα A από την αντιμετάθεσή του AT είναι ισοδύναμη με την αντιμετάθεση των δεικτών των συνιστωσών του:
Το αποτέλεσμα προκύπτει λαμβάνοντας το ίχνος και των δύο πλευρών:
Θεώρημα. (τύπος Γιακόμπι) Για κάθε διαφορίσιμο χάρτη A από τους πραγματικούς αριθμούς σε n × n πίνακες,
Απόδειξη. Ο τύπος του Λαπλάς για την ορίζουσα ενός πίνακα Α μπορεί να διατυπωθεί ως εξής
Σημειώστε ότι το άθροισμα γίνεται σε κάποια αυθαίρετη γραμμή i του πίνακα.
Η ορίζουσα του A μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μια συνάρτηση των στοιχείων του A:
έτσι ώστε, σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας, το διαφορικό του είναι
Αυτό το άθροισμα πραγματοποιείται σε όλα τα n×n στοιχεία του πίνακα.
Για να βρούμε το ∂F/∂Aij ας θεωρήσουμε ότι στη δεξιά πλευρά του τύπου Λαπλάς, ο δείκτης i μπορεί να επιλεγεί κατά βούληση. (Προκειμένου να βελτιστοποιηθούν οι υπολογισμοί: Οποιαδήποτε άλλη επιλογή θα έδινε τελικά το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά θα μπορούσε να είναι πολύ πιο δύσκολη). Συγκεκριμένα, μπορεί να επιλεγεί ώστε να ταιριάζει με τον πρώτο δείκτη του ∂ / ∂Aij:
Έτσι, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου,
Τώρα, αν ένα στοιχείο ενός πίνακα Aij και ένας συντελεστής adjT(A)ik του στοιχείου Aik βρίσκονται στην ίδια γραμμή (ή στήλη), τότε ο συντελεστής δεν θα είναι συνάρτηση του Aij, επειδή ο συντελεστής του Aikεκφράζεται σε όρους στοιχείων που δεν βρίσκονται στη δική του γραμμή (ούτε στήλη). Συνεπώς,
οπότε
Όλα τα στοιχεία του Α είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, δηλ.
όπου δ είναι το δέλτα Κρόνεκερ, οπότε
Ως εκ τούτου,
και εφαρμόζοντας το Λήμμα προκύπτει
Διαγώνια διαγωνοποίηση
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Και οι δύο πλευρές του τύπου Γιακόμπι είναι πολυώνυμα του πίνακα συντελεστές των A και A'. Επομένως, είναι αρκεί να επαληθεύσουμε την πολυωνυμική ταυτότητα στο πυκνό υποσύνολο όπου οι ιδιοτιμές του A είναι διακριτές και μη μηδενικές.
Εάν η A είναι διαφοροποιήσιμη ως , τότε
Ειδικότερα, αν L είναι αντιστρέψιμη, τότε και
Δεδομένου ότι η A έχει διακριτές ιδιοτιμές, υπάρχει ένας διαφορίσιμος μιγαδικός αντιστρέψιμος πίνακας L τέτοιος ώστε και D είναι διαγώνιος. Τότε
Έστω , είναι οι ιδιοτιμές της A. Τότε
ο οποίος είναι ο τύπος Γιακόμπι για πίνακες A με ξεχωριστές μη μηδενικές ιδιοτιμές.
Συμπεράσματα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η ακόλουθη είναι μια χρήσιμη σχέση που συνδέει το ίχνος με τον προσδιοριστή του εκθετικού του σχετικού πίνακα[6]:
|
Η δήλωση αυτή είναι σαφής για διαγώνιους πίνακες και ακολουθεί η απόδειξη του γενικού ισχυρισμού.
Για οποιονδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα , στην προηγούμενη ενότητα "Μέσω του κανόνα της αλυσίδας", δείξαμε ότι
Θεωρώντας σε αυτή την εξίσωση προκύπτει:
Το επιθυμητό αποτέλεσμα προκύπτει ως λύση αυτής της συνήθους διαφορικής εξίσωσης.
Εφαρμογές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Διάφορες μορφές του τύπου βρίσκονται πίσω από τον αλγόριθμο Φαντέεφ-Λεβεριέ για τον υπολογισμό του χαρακτηριστικού πολυωνύμου[7], καθώς και ρητές εφαρμογές του θεωρήματος Κέιλι-Χάμιλτον. Παραδείγματος χάριν, ξεκινώντας από την ακόλουθη εξίσωση, η οποία αποδείχθηκε παραπάνω:
και χρησιμοποιώντας , έχουμε:
όπου adj συμβολίζει τον προσαρτημένο πίνακα.
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Field Arithmetic
- Πραγματικό προβολικό επίπεδο
- Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
- Μιγαδικός αριθμός
- Θεωρία αναπαραστάσεων
- Ορίζουσα
- Αντιστρέψιμος πίνακας
- Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
- Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
- Matrix Analysis
- The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
- A Treatise on the Theory of Bessel Functions
- The Jacobi-Perron Algorithm: Its Theory and Application
- Jacobi's Lectures on Dynamics: Delivered at the University of Konigsberg in ...
Δημοσιεύσεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
- Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
- Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375
- Dirichlet, P. G. Lejeune (1855), «Gedächtnißrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi», Journal für die reine und angewandte Mathematik 52: 193–217, ISSN 0075-4102, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002149478
- κοινό κτήμα: Chisholm, Hugh, επιμ.. (1911) «Jacobi, Karl Gustav Jacob» Εγκυκλοπαίδεια Μπριτάννικα 15 (11η έκδοση) Cambridge University Press, σελ. 117 Το παρόν λήμμα ενσωματώνει κείμενο από έκδοση που είναι πλέον
- James, Ioan Mackenzie (2002). Remarkable Mathematicians: From Euler to Von Neumann. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-52094-2.
- Koenigsberger, Leo (1904). Carl Gustav Jacob Jacobi. Festschrift zur Feier der hundertsten Wiederkehr seines Geburtstages (στα Γερμανικά). Leipzig: B.G. Teubner.
Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ «Jacobi's formula for the derivative of a determinant» (PDF).
- ↑ Magnus, Jan R.· Neudecker, Heinz (22 Μαρτίου 1999). Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics. Wiley. ISBN 978-0-471-98633-1.
- ↑ Magnus & Neudecker (1999, pp. 149–150), Part Three, Section 8.3
- ↑ «An analogy of Jacobi's formula and its applications».
- ↑ Bellman, Richard (1 Δεκεμβρίου 1997). Introduction to Matrix Analysis: Second Edition. SIAM. ISBN 978-0-89871-399-2.
- ↑ Teschl, Gerald (2000). Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1940-1.
- ↑ Achdou, Yves· Barles, Guy (24 Μαΐου 2013). Hamilton-Jacobi Equations: Approximations, Numerical Analysis and Applications: Cetraro, Italy 2011, Editors: Paola Loreti, Nicoletta Anna Tchou. Springer. ISBN 978-3-642-36433-4.