Τυπικό σφάλμα

Για μια τιμή που λαμβάνεται δειγματοληπτικά με αμερόληπτο σφάλμα κανονικής κατανομής, το διάγραμμα απεικονίζει το ποσοστό των δειγμάτων που θα εμπίπτουν μεταξύ 0, 1, 2 και 3 τυπικών αποκλίσεων πάνω και κάτω από την πραγματική τιμή.

Το τυπικό σφάλμα (SE) μιας στατιστικής (συνήθως εκτιμητή μιας παραμέτρου, όπως ο μέσος όρος ή η μέση τιμή) είναι η τυπική απόκλιση της δειγματοληπτικής κατανομής της ή μια εκτίμηση αυτής της τυπικής απόκλισης. Με άλλα λόγια, είναι το τυπική απόκλιση των τιμών του στατιστικού (κάθε τιμή είναι ανά δείγμα που είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων ανά δειγματοληψία στον ίδιο πληθυσμό). Αν το στατιστικό είναι ο μέσος όρος του δείγματος, ονομάζεται τυπικό σφάλμα του μέσου όρου (SEM). Το τυπικό σφάλμα είναι βασικό συστατικό για την παραγωγή διαστημάτων εμπιστοσύνης.

Η δειγματοληπτική κατανομή μιας μέσης τιμής παράγεται με επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες από τον ίδιο πληθυσμό και καταγραφή της δειγματικής μέσης τιμής ανά δείγμα. Έτσι σχηματίζεται μια κατανομή διαφορετικών μέσων και η κατανομή αυτή έχει τη δική της μέση τιμή και διακύμανση. Από μαθηματικής πλευράς, η διακύμανση της δειγματοληπτικής κατανομής μέσου που προκύπτει είναι ίση με τη διακύμανση του πληθυσμού διαιρεμένη με το μέγεθος του δείγματος. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι όσο αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος, οι δειγματικοί μέσοι συγκεντρώνονται περισσότερο γύρω από τον μέσο όρο του πληθυσμού.

Ως εκ τούτου, η σχέση μεταξύ του τυπικού σφάλματος του μέσου όρου και της τυπικής απόκλισης είναι τέτοια ώστε, για δεδομένο μέγεθος δείγματος, το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου ισούται με την τυπική απόκλιση διαιρεμένη με την τετραγωνική ρίζα του μεγέθους του δείγματος. Με άλλα λόγια, το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου είναι ένα μέτρο της διασποράς των δειγματικών μέσων γύρω από τον μέσο όρο του πληθυσμού.

Στην ανάλυση παλινδρόμησης, ο όρος «τυπικό σφάλμα» αναφέρεται είτε στην τετραγωνική ρίζα του μειωμένου στατιστικού Xι-τετραγώνου είτε στο τυπικό σφάλμα για έναν συγκεκριμένο συντελεστή παλινδρόμησης (όπως χρησιμοποιείται, ας πούμε, στα διαστήματα εμπιστοσύνης).

Τυπικό σφάλμα του μέσου όρου του δείγματος

Ακριβή τιμή

Έστω ότι ένα στατιστικά ανεξάρτητο δείγμα $n$ παρατηρήσεων $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ λαμβάνεται από έναν στατιστικό πληθυσμό με τυπική απόκλιση $\sigma$ (η τυπική απόκλιση του πληθυσμού). Η μέση τιμή που υπολογίζεται από το δείγμα, ${\bar {x}}$, θα έχει ένα σχετικό τυπικό σφάλμα του μέσου όρου, ${\sigma }_{\bar {x}}$, που δίνεται από:

${\sigma }_{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.$

Πρακτικά αυτό μας πληροφορεί ότι όταν προσπαθούμε να εκτιμήσουμε την τιμή ενός μέσου όρου του πληθυσμού, λόγω του παράγοντα $1/{\sqrt {n}}$, η μείωση του σφάλματος της εκτίμησης κατά δύο φορές απαιτεί την απόκτηση τετραπλάσιου αριθμού παρατηρήσεων στο δείγμα- η μείωση κατά δέκα φορές απαιτεί εκατονταπλάσιο αριθμό παρατηρήσεων.

Εκτίμηση

Η τυπική απόκλιση $\sigma$ του πληθυσμού που αποτελεί αντικείμενο δειγματοληψίας είναι σπάνια γνωστή. Ως εκ τούτου, το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου εκτιμάται συνήθως αντικαθιστώντας το $\sigma$ με την τυπική απόκλιση του δείγματος $\sigma _{x}$:

${\sigma }_{\bar {x}}\ \approx {\frac {\sigma _{x}}{\sqrt {n}}}.$

Καθώς πρόκειται μόνο για έναν εκτιμητή για το πραγματικό «τυπικό σφάλμα», είναι σύνηθες να βλέπουμε εδώ άλλους συμβολισμούς όπως:

${\widehat {\sigma }}_{\bar {x}}:={\frac {\sigma _{x}}{\sqrt {n}}}\qquad {\text{ or }}\qquad {s}_{\bar {x}}\ :={\frac {s}{\sqrt {n}}}.$

Μια συνήθης πηγή σύγχυσης εμφανίζεται όταν δεν γίνεται σαφής διάκριση μεταξύ:

• η τυπική απόκλιση του πληθυσμού ($\sigma$),
• η τυπική απόκλιση του δείγματος ($\sigma _{x}$),
• η τυπική απόκλιση του ίδιου του «μέσου όρου ($\sigma _{\bar {x}}$, που είναι το τυπικό σφάλμα), και
• ο «εκτιμητής» της τυπικής απόκλισης του μέσου όρου (${\widehat {\sigma }}_{\bar {x}}$,η οποία είναι η πιο συχνά υπολογιζόμενη ποσότητα και συχνά ονομάζεται επίσης στην καθομιλουμένη «τυπικό σφάλμα»).

Ακρίβεια του εκτιμητή

Όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό, η χρήση της τυπικής απόκλισης του δείγματος αντί της πραγματικής τυπικής απόκλισης του πληθυσμού τείνει να υποεκτιμά συστηματικά την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, και επομένως και το τυπικό σφάλμα. Με n = 2, η υποεκτίμηση είναι περίπου 25%, αλλά για n = 6, η υποεκτίμηση είναι μόνο 5%. Οι Γκουρλάντ και Τριπάθη (1971) παρέχουν μια διόρθωση και εξίσωση για αυτό το φαινόμενο. Βλέπε αμερόληπτη εκτίμηση της τυπικής απόκλισης για περαιτέρω συζήτηση. Οι Σόκαλ και Ρόλφ (1981) αναφέρουν μια εξίσωση του συντελεστή διόρθωσης για μικρά δείγματα n < 20.

Παραγωγή

Το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου μπορεί να προκύψει από τη διακύμανση ενός αθροίσματος ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών , δεδομένου του ορισμού της διακύμανσης και ορισμένων ιδιοτήτων της. Εάν $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ xn είναι ένα δείγμα $n$ ανεξάρτητων παρατηρήσεων από έναν πληθυσμό με μέση τιμή $x$ και τυπική απόκλιση $\sigma$ (η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση για τον πληθυσμό), τότε μπορούμε να ορίσουμε το συνολικό $T=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})$

που λόγω του τύπου Μπενεϊνέμε, θα έχει διακύμανση

$\operatorname {Var} (T)={\big (}\operatorname {Var} (x_{1})+\operatorname {Var} (x_{2})+\cdots +\operatorname {Var} (x_{n}){\big )}\approx n\sigma ^{2}.$

όπου έχουμε προσεγγίσει τις τυπικές αποκλίσεις (δηλαδή τις αβεβαιότητες) των ίδιων των μετρήσεων με την τυπική απόκλιση του πληθυσμού. Ο μέσος όρος αυτών των μετρήσεων ${\bar {x}}$ (δειγματικός μέσος όρος) δίνεται από τη σχέση

${\bar {x}}=T/n.$

Η διακύμανση του μέσου όρου είναι τότε

$\operatorname {Var} ({\bar {x}})=\operatorname {Var} \left({\frac {T}{n}}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} (T)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$

όπου στη 2η ισότητα χρησιμοποιείται η διάδοση της διακύμανσης. Το τυπικό σφάλμα είναι, εξ ορισμού, η τυπική απόκλιση του ${\bar {x}}$ που είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:

$\sigma _{\bar {x}}={\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.$

Με άλλα λόγια, εάν υπάρχει μεγάλος αριθμός παρατηρήσεων ανά δειγματοληψία (${\textstyle n}$ είναι υψηλός σε σύγκριση με τη διακύμανση του πληθυσμού ${\textstyle \sigma }$), τότε ο υπολογιζόμενος μέσος όρος ανά δείγμα ${\textstyle {\bar {x}}}$ αναμένεται να είναι κοντά στον μέσο όρο του πληθυσμού $x$.

Για συσχετιζόμενες τυχαίες μεταβλητές, η δειγματική διακύμανση πρέπει να υπολογιστεί σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα της αλυσίδας Μάρκοφ.

Student προσέγγιση όταν η τιμή σ είναι άγνωστη

Περαιτέρω πληροφορίες: Κατανομή t-Student § Διαστήματα εμπιστοσύνης και Κανονική κατανομή § Διαστήματα εμπιστοσύνης

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές, η πραγματική τιμή του σ είναι άγνωστη. Ως αποτέλεσμα, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια κατανομή που να λαμβάνει υπόψη της αυτή τη διασπορά των πιθανών σ. Όταν η πραγματική υποκείμενη κατανομή είναι γνωστό ότι είναι Γκαουσιανή, αν και με άγνωστο σ, τότε η εκτιμώμενη κατανομή που προκύπτει ακολουθεί την Κατανομή t-Student . Το τυπικό σφάλμα είναι η τυπική απόκλιση της κατανομής t-Student. Οι T-κατανομές διαφέρουν ελαφρώς από τις Γκαουσιανές και ποικίλλουν ανάλογα με το μέγεθος του δείγματος. Τα μικρά δείγματα είναι κάπως πιο πιθανό να υποεκτιμήσουν την τυπική απόκλιση του πληθυσμού και να έχουν μέσο όρο που διαφέρει από τον πραγματικό μέσο όρο του πληθυσμού, και η Κατανομή t-Student λαμβάνει υπόψη την πιθανότητα αυτών των γεγονότων με κάπως βαρύτερες ουρές σε σύγκριση με μια Γκαουσιανή. Για να εκτιμήσουμε το τυπικό σφάλμα μιας κατανομής t-Student αρκεί να χρησιμοποιήσουμε την τυπική απόκλιση του δείγματος "s" αντί για σ, και θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την τιμή για τον υπολογισμό διαστημάτων εμπιστοσύνης.

Σημείωση: Η πιθανότητα της κατανομής Student προσεγγίζεται καλά από την κατανομή Γκάους όταν το μέγεθος του δείγματος είναι πάνω από 100. Για τέτοια δείγματα μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την τελευταία κατανομή, η οποία είναι πολύ απλούστερη. Επίσης, παρόλο που η "αληθινή" κατανομή του πληθυσμού είναι άγνωστη, η παραδοχή της κανονικότητας της δειγματοληπτικής κατανομής έχει νόημα για ένα λογικό μέγεθος δείγματος και υπό ορισμένες συνθήκες δειγματοληψίας, βλέπε CLT. Εάν αυτές οι συνθήκες δεν πληρούνται, τότε η χρήση μιας κατανομής Bootstrap για την εκτίμηση του Τυπικού Σφάλματος είναι συχνά μια καλή λύση, αλλά μπορεί να είναι υπολογιστικά εντατική.

Παραδοχές και χρήση

Παρουσιάζεται ένα παράδειγμα του τρόπου με τον οποίο χρησιμοποιείται το $\operatorname {SE}$ για την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης του άγνωστου μέσου όρου του πληθυσμού. Εάν η κατανομή δειγματοληψίας είναι κανονικά κατανεμημένη, ο δειγματικός μέσος, το τυπικό σφάλμα και τα κβαντικά στοιχεία της κανονικής κατανομής μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό διαστημάτων εμπιστοσύνης για τον πραγματικό πληθυσμιακό μέσο. Οι ακόλουθες εκφράσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των άνω και κάτω ορίων εμπιστοσύνης 95%, όπου ${\bar {x}}$ είναι ίσο με τον δειγματικό μέσο, $\operatorname {SE}$ είναι ίσο με το τυπικό σφάλμα για τον δειγματικό μέσο και 1.96 είναι η κατά προσέγγιση τιμή του 97.5 εκατοστημορίου της κανονικής κατανομής:

• Upper 95% limit = ${\bar {x}}+(\operatorname {SE} \times 1.96)$, και
• Lower 95% limit = ${\bar {x}}-(\operatorname {SE} \times 1.96)$.

Ειδικότερα, το τυπικό σφάλμα μιας δειγματικής στατιστικής (όπως ο δειγματικός μέσος όρος) είναι η πραγματική ή εκτιμώμενη τυπική απόκλιση του δειγματικού μέσου όρου στη διαδικασία με την οποία δημιουργήθηκε. Με άλλα λόγια, είναι η πραγματική ή η εκτιμώμενη τυπική απόκλιση της δειγματοληπτικής κατανομής του στατιστικού δείγματος. Ο συμβολισμός για το τυπικό σφάλμα μπορεί να είναι οποιοσδήποτε από τους SE, SEM (για το τυπικό σφάλμα της «μέτρησης» ή του «μέσου όρου»), ή S_E.

Τα τυπικά σφάλματα παρέχουν απλά μέτρα αβεβαιότητας σε μια τιμή και χρησιμοποιούνται συχνά επειδή:

• σε πολλές περιπτώσεις, εάν είναι γνωστό το τυπικό σφάλμα πολλών μεμονωμένων ποσοτήτων, τότε το τυπικό σφάλμα κάποιας συνάρτησης των ποσοτήτων μπορεί εύκολα να υπολογιστεί,
• όταν είναι γνωστή η κατανομή πιθανότητας της τιμής, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό ενός ακριβούς διαστήματος εμπιστοσύνης,
• όταν η κατανομή πιθανότητας είναι άγνωστη, οι ανισώσεις Τσεμπίσεφ ή Βισοτσάνσκι-Πετούνιν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό ενός συντηρητικού διαστήματος εμπιστοσύνης- και
• καθώς το μέγεθος του δείγματος τείνει στο άπειρο, το κεντρικό οριακό θεώρημα εγγυάται ότι η δειγματοληπτική κατανομή του μέσου όρου είναι ασυμπτωτικά κανονική.

Τυπικό σφάλμα του μέσου όρου έναντι της τυπικής απόκλισης

Στην επιστημονική και τεχνική βιβλιογραφία, τα πειραματικά δεδομένα συχνά συνοψίζονται είτε χρησιμοποιώντας τον μέσο όρο και την τυπική απόκλιση των δειγματικών δεδομένων είτε τον μέσο όρο με το τυπικό σφάλμα. Αυτό οδηγεί συχνά σε σύγχυση σχετικά με την εναλλαξιμότητά τους. Ωστόσο, ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση είναι περιγραφικά στατιστικά στοιχεία, ενώ το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου είναι περιγραφικό της διαδικασίας τυχαίας δειγματοληψίας. Η τυπική απόκλιση των δειγματικών δεδομένων είναι μια περιγραφή της διακύμανσης των μετρήσεων, ενώ το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου είναι μια πιθανολογική δήλωση σχετικά με το πώς το μέγεθος του δείγματος θα παρέχει ένα καλύτερο όριο για τις εκτιμήσεις του μέσου όρου του πληθυσμού, υπό το πρίσμα του κεντρικού οριακού θεωρήματος.

Απλούστερα, το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου του δείγματος είναι μια εκτίμηση του πόσο μακριά είναι πιθανό να απέχει ο μέσος όρος του δείγματος από τον μέσο όρο του πληθυσμού, ενώ η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι ο βαθμός στον οποίο τα άτομα εντός του δείγματος διαφέρουν από τον μέσο όρο του δείγματος.. Εάν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι πεπερασμένη, το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου του δείγματος θα τείνει προς το μηδέν με την αύξηση του μεγέθους του δείγματος, επειδή η εκτίμηση του μέσου όρου του πληθυσμού θα βελτιώνεται, ενώ η τυπική απόκλιση του δείγματος θα τείνει να προσεγγίζει την τυπική απόκλιση του πληθυσμού καθώς αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος.

Επεκτάσεις

Διόρθωση πεπερασμένου πληθυσμού (FPC)

Ο παραπάνω τύπος για το τυπικό σφάλμα υποθέτει ότι ο πληθυσμός είναι άπειρος. Εντούτοις, χρησιμοποιείται συχνά για πεπερασμένους πληθυσμούς όταν οι άνθρωποι ενδιαφέρονται να μετρήσουν τη διαδικασία που δημιούργησε τον υπάρχοντα πεπερασμένο πληθυσμό (αυτό ονομάζεται αναλυτική μελέτη). Αν και ο παραπάνω τύπος δεν είναι ακριβώς σωστός όταν ο πληθυσμός είναι πεπερασμένος, η διαφορά μεταξύ της εκδοχής για πεπερασμένο και άπειρο πληθυσμό θα είναι μικρή όταν το κλάσμα δειγματοληψίας είναι μικρό (π.χ. μελετάται ένα μικρό ποσοστό ενός πεπερασμένου πληθυσμού). Στη συγκεκριμένη περίπτωση οι άνθρωποι συχνά δεν διορθώνουν τον πεπερασμένο πληθυσμό, αντιμετωπίζοντάς τον ουσιαστικά ως έναν "περίπου άπειρο" πληθυσμό.

Εάν κάποιος ενδιαφέρεται να μετρήσει έναν υπάρχοντα πεπερασμένο πληθυσμό που δεν θα αλλάξει με την πάροδο του χρόνου, τότε είναι απαραίτητο να προσαρμόσει το μέγεθος του πληθυσμού (ονομάζεται απαριθμητική μελέτη). Όταν το κλάσμα δειγματοληψίας (συχνά αποκαλούμενο f) είναι μεγάλο (περίπου στο 5% ή περισσότερο) σε μια απαριθμητική μελέτη, η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος πρέπει να διορθωθεί πολλαπλασιάζοντας με μια διόρθωση πεπερασμένου πληθυσμού(a.k.a.: FPC):

$\operatorname {FPC} ={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}$

η οποία, για μεγάλα N:

$\operatorname {FPC} \approx {\sqrt {1-{\frac {n}{N}}}}={\sqrt {1-f}}$

για να ληφθεί υπόψιν η πρόσθετη ακρίβεια που επιτυγχάνεται με τη δειγματοληψία κοντά σε μεγαλύτερο ποσοστό του πληθυσμού. Το αποτέλεσμα της FPC είναι ότι το σφάλμα μηδενίζεται όταν το μέγεθος του δείγματος n είναι ίσο με το μέγεθος του πληθυσμού N.

Αναμενόμενο σφάλμα στον μέσο όρο του Α για ένα δείγμα n σημείων δεδομένων με συντελεστή δειγματικής μεροληψίας ρ. Το αμερόληπτο τυπικό σφάλμα απεικονίζεται ως διαγώνια γραμμή ρ = 0 με κλίση log-log&nbsp,−¹⁄₂.

Αυτό συμβαίνει στη μεθοδολογία ερευνών κατά τη δειγματοληψία χωρίς αντικατάσταση. Εάν η δειγματοληψία γίνεται με αντικατάσταση, τότε η FPC δεν μπαίνει στο παιχνίδι.

Διόρθωση για συσχέτιση στο δείγμα

Εάν οι τιμές της μετρούμενης ποσότητας A δεν είναι στατιστικά ανεξάρτητες, αλλά έχουν ληφθεί από γνωστές θέσεις στο χώρο των παραμέτρων x, μια αμερόληπτη εκτίμηση του πραγματικού τυπικού σφάλματος του μέσου όρου (στην πραγματικότητα μια διόρθωση στο μέρος της τυπικής απόκλισης) μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας το υπολογισμένο τυπικό σφάλμα του δείγματος με τον παράγοντα f:

$f={\sqrt {\frac {1+\rho }{1-\rho }}},$

όπου ο δειγματικός συντελεστής μεροληψίας ρ είναι η ευρέως χρησιμοποιούμενη εκτίμηση Πράις-Βίνστεν του συντελεστή αυτοσυσχέτισης (μια ποσότητα μεταξύ -1 και +1) για όλα τα ζεύγη σημείων του δείγματος. Αυτός ο προσεγγιστικός τύπος ισχύει για μέτρια έως μεγάλα μεγέθη δείγματος- η παραπομπή δίνει τους ακριβείς τύπους για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος και μπορεί να εφαρμοστεί σε έντονα αυτοσυσχετιζόμενες χρονοσειρές όπως οι χρηματιστηριακές τιμές της Γουόλ Στριτ. Επιπλέον, ο τύπος αυτός λειτουργεί για θετικό και αρνητικό ρ όμοιο.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Κατανομή t-Student
• Κανονική κατανομή
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Στατιστικός πληθυσμός
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Τετραγωνική ρίζα
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Ειδική σχετικότητα
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Τυπική απόκλιση

Βιβλιογραφία

• Morgan, Roy· Statistics, National Center for Health Statistics (U S. ) Division of Health Resources (1968). Nursing and Personal Care Services Received by Residents of Nursing and Personal Care Homes: United States, May-June 1964. U.S. Department of Health, Education, and Welfare, Public Health Service. 
• Employment and Earnings. U.S. Department of Labor, Bureau of Labor Statistics. 1987. 
• Stommel, Manfred· Wills, Celia (2004). Clinical Research: Concepts and Principles for Advanced Practice Nurses. Lippincott Williams & Wilkins. ISBN 978-0-7817-3518-6. 
• Senn, S.; Richardson, W. (1994). «The first t test». Statistics in Medicine 13 (8): 785–803. doi:10.1002/sim.4780130802. PMID 8047737. 
• Hogg RV, Craig AT (1978). Introduction to Mathematical Statistics (4th έκδοση). New York: Macmillan. ASIN B010WFO0SA. 
• Venables, W. N.· Ripley, B. D. (2002). Modern Applied Statistics with S (Fourth έκδοση). Springer. 
• Dummies, The Experts at (19 Απριλίου 2022). Statistics: 1001 Practice Problems For Dummies (+ Free Online Practice). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-88361-6. 
• Woodward, Jeanne M.· Wong, Lily C. (1990). Housing Characteristics of Selected Races and Hispanic-origin Households in the United States: 1987 : a Chart Book. U.S. Department of Housing and Urban Development, Office of Policy Development and Research. 
• Census, United States Bureau of the (1961). 1960 Census of Housing, Taken as a Part of the Eighteenth Decennial Census of the United States. U.S. Government Printing Office. 
• Heath, David (26 Οκτωβρίου 1995). An Introduction To Experimental Design And Statistics For Biology. CRC Press. ISBN 978-0-203-49924-5. 
• III, Philip H. Pollock· Edwards, Barry C. (18 Ιουλίου 2019). The Essentials of Political Analysis. CQ Press. ISBN 978-1-5063-7958-6. 
• Viswanathan (2003). Business Statistics: An Applied Orientation. Pearson Education India. ISBN 978-81-317-0498-1. 
• Osborn, Carol E. (2006). Statistical Applications for Health Information Management. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-2842-7. 

Παραπομπές

• Achiezer (Akhiezer), N.I. (2013) [1956]. Theory of approximation. Μτφρ. Hyman, C.J. Dover. ISBN 978-0-486-15313-1. OCLC 1067500225. 
• Timan, A.F. (2014) [1963]. Theory of approximation of functions of a real variable. International Series in Pure and Applied Mathematics. 34. Elsevier. ISBN 978-1-4831-8481-4. 
• Hastings, Jr., C. (2015) [1955]. Approximations for Digital Computers. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-7559-7. 
• Hart, J.F.· Cheney, E.W.· Lawson, C.L.· Maehly, H.J.· Mesztenyi, C.K.· Rice, Jr., J.R.· Thacher, H.C.· Witzgall, C. (1968). Computer Approximations. Wiley. OCLC 0471356301. 
• Fox, L.· Parker, I.B. (1968). Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis. Oxford mathematical handbooks. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859614-1. OCLC 9036207. 
• Press, WH· Teukolsky, S.A.· Vetterling, W.T.· Flannery, B.P. (2007). «§5.8 Chebyshev Approximation». Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. 
• Cody, Jr., W.J.· Waite, W. (1980). Software Manual for the Elementary Functions. Prentice-Hall. ISBN 0-13-822064-6. OCLC 654695035. 
• Remes (Remez), E. (1934). «Sur le calcul effectif des polynomes d'approximation de Tschebyschef» (στα γαλλικά). C. R. Acad. Sci. 199: 337–340. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3151h/f337.item. 
• Steffens, K.-G. (2006). The History of Approximation Theory: From Euler to Bernstein,. Birkhauser. doi:10.1007/0-8176-4475-X. ISBN 0-8176-4353-2. 
• Erdélyi, T. (2008). «Extensions of the Bloch-Pólya theorem on the number of distinct real zeros of polynomials». Journal de théorie des nombres de Bordeaux 20: 281–7. http://www.numdam.org/item/10.5802/jtnb.627.pdf. 
• Erdélyi, T. (2009). «The Remez inequality for linear combinations of shifted Gaussians». Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 146: 523–530. doi:10.1017/S0305004108001849. 
• Trefethen, L.N. (2020). Approximation theory and approximation practice. SIAM. ISBN 978-1-61197-594-9.  Ch. 1–6 of 2013 edition

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0