Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

Γραφική παράσταση της ολοκληρωτικής συνάρτησης του υπερβολικού ημιτόνου Shi(z) στο μιγαδικό επίπεδο από -2 - 2i έως 2 + 2i

Si(x) (μπλε) και Ci(x) (πράσινο) στο ίδιο διάγραμμα.

Hμιτονικό ολοκλήρωμα στο μιγαδικό επίπεδο, σχεδιασμένο με μια παραλλαγή του χρωματισμού πεδίου.

Συνημιτονικό ολοκλήρωμα στο μιγαδικό επίπεδο. Ας σημειωθεί η αποκοπή του κλάδου κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα.

Στα μαθηματικά, τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα είναι μια οικογένεια μη στοιχειωδών ολοκληρωμάτων που περιλαμβάνουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Hμιτονικό ολοκλήρωμα

Plot of Si(x) for 0 ≤ x ≤ 8π.

Γραφική απεικόνιση της ολοκληρωτικής συνάρτησης συνημιτόνου Ci(z) στο μιγαδικό επίπεδο −2 − 2i to 2 + 2i

Οι διαφορετικοί ορισμοί του ημιτονικού ολοκληρώματος είναι

$\operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt$

$\operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.$

Ας σημειωθεί ότι το ολοκλήρωμα ${\frac {\sin(t)}{t}}$ είναι η συνάρτηση sinc, καθώς και η μηδενική σφαιρική συνάρτηση Μπέσελ. Δεδομένου ότι η sinc είναι μια άρτια ολόκληρη συνάρτηση (ολομορφική σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο), η Si είναι ολόκληρη, περιττή και το ολοκλήρωμα στον ορισμό της μπορεί να ληφθεί κατά μήκος οποιασδήποτε διαδρομής που συνδέει τα ακραία σημεία.

Εξ ορισμού, Si(x) είναι η αντιπαράγωγος της sin x / x της οποίας η τιμή είναι μηδέν στο x = 0 και si(x) είναι η αντιπαράγωγος της οποίας η τιμή είναι μηδέν στο x = ∞. Η διαφορά τους δίνεται από το ολοκλήρωμα του Ντίριχλετ,

$\operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ or }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.$

Στην επεξεργασία σήματος, οι ταλαντώσεις του ημιτονικού ολοκληρώματος προκαλούν υπερύψωση και τετελεσμένα δακτυλίωσης όταν χρησιμοποιείται το φίλτρο sinc και δακτυλίωση στο πεδίο της συχνότητας εάν χρησιμοποιείται ένα αποκομμένο φίλτρο sinc ως χαμηλοπερατό φίλτρο.

Σχετικό είναι το φαινόμενο Γκιμπς: Εάν το ημιτονοειδές ολοκλήρωμα θεωρηθεί ως συνέλιξη της συνάρτησης sinc με τη βηματική συνάρτηση Χέβισαϊντ (Heaviside), αυτό αντιστοιχεί στην αποκοπή της σειράς Φουριέ, η οποία είναι η αιτία του φαινομένου Γκιμπς.

Συνημιτονικό ολοκλήρωμα

Plot of Ci(x) for 0 < x ≤ 8π

Οι διαφορετικοί ορισμοί του συνημιτονικού ολοκληρώματος είναι οι εξής

$\operatorname {Cin} (x)~\equiv ~\int _{0}^{x}{\frac {\ 1-\cos t\ }{t}}\ \operatorname {d} t~.$

H Cin   είναι μια άρτια, ακέραιη συνάρτηση. Για το λόγο αυτό, ορισμένα κείμενα ορίζουν την   Cin   ως την πρωταρχική συνάρτηση και εξάγουν την   Ci   ως προς την   Cin ..

$\operatorname {Ci} (x)~~\equiv ~-\int _{x}^{\infty }{\frac {\ \cos t\ }{t}}\ \operatorname {d} t~$

$~~\qquad ~=~~\gamma ~+~\ln x~-~\int _{0}^{x}{\frac {\ 1-\cos t\ }{t}}\ \operatorname {d} t~$

$~~\qquad ~=~~\gamma ~+~\ln x~-~\operatorname {Cin} x~$

για $~{\Bigl |}\ \operatorname {Arg} (x)\ {\Bigr |}<\pi \ ,$ όπου   γ   ≈   0.57721566490 ...   είναι η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι. Ορισμένα κείμενα χρησιμοποιούν το  ci   αντί του   Ci  . Ο περιορισμός στην   Arg(x)   αποσκοπεί στην αποφυγή μιας ασυνέχειας (που φαίνεται ως η πορτοκαλί έναντι της μπλε περιοχής στο αριστερό μισό του παραπάνω διαγράμματος) που προκύπτει λόγω μιας αποκοπής κλάδου στην τυπική συνάρτηση λογαρίθμου (  ln  ).

Ci(x)   είναι η αντιπαράγωγος από     cos x  / x   (που εξαφανίζεται καθώς $\ x\to \infty \$). Οι δύο ορισμοί συνδέονται με

$\operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.$

Υπερβολικό ημιτονικό ολοκλήρωμα

Το υπερβολικό ημιτονικό ολοκλήρωμα ορίζεται ως εξής

Γραφική παράσταση της υπερβολικής συνάρτησης συνημιτονικού ολοκληρώματος Chi(z) στο μιγαδικό επίπεδο από -2 - 2i έως 2 + 2i

$\operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,$

όπου $\gamma$ είναι η σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι. Έχει τη σειρά επέκτασης

$\operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).$

Βοηθητικές συναρτήσεις

Τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα μπορούν να κατανοηθούν με βάση τη λεγόμενη βοηθητική συνάρτηση

${\begin{array}{rcl}f(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)~,\\g(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)~.\end{array}}$

Χρησιμοποιώντας αυτές τις συναρτήσεις, τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα μπορούν να επανεκφραστούν ως εξής

(cf. Abramowitz & Stegun, p. 232) ${\begin{array}{rcl}{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)=-\operatorname {si} (x)&=&f(x)\cos(x)+g(x)\sin(x)~,\qquad {\text{ and }}\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)~.\\\end{array}}$

Σπείρα του Νίλσεν

Σπείρα του Νίλσεν.

Η σπείρα που σχηματίζεται από το παραμετρικό διάγραμμα των si, ci είναι γνωστή ως σπείρα του Νίλσεν.

$x(t)=a\times \operatorname {ci} (t)$

$y(t)=a\times \operatorname {si} (t)$

Η σπείρα συνδέεται στενά με τα ολοκληρώματα Φρέσνελ και τη σπείρα του Όιλερ. Η σπείρα του Νίλσεν έχει εφαρμογές στην επεξεργασία όρασης, στην κατασκευή δρόμων και τροχιών και σε άλλους τομείς.

Επέκταση

Διάφορα αναπτύγματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αξιολόγηση τριγωνομετρικών ολοκληρωμάτων, ανάλογα με το εύρος του επιχειρήματος.

Ασυμπτωτική σειρά (για μεγάλο επιχείρημα)

$\operatorname {Si} (x)\sim {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)$ $\operatorname {Ci} (x)\sim {\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)~.$

Οι σειρές αυτές είναι ασυμπτωτικές και αποκλίνουσες, αν και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για εκτιμήσεις και ακόμη και για ακριβή αξιολόγηση στο ℜ(x) ≫ 1.

Ιδιομορφίες

Συγκλίνουσες σειρές

$\operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots$

$\operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots$

Αυτές οι σειρές συγκλίνουν σε οποιοδήποτε μιγαδικό x, αν και για |x| ≫ 1, οι σειρές συγκλίνουν αργά αρχικά, απαιτώντας πολλούς όρους για υψηλή ακρίβεια.

Παραγωγή της επέκτασης σειράς

Από το ανάπτυγμα σειράς Μακλάουριν του ημιτόνικού:

$\sin \,x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-{\frac {x^{11}}{11!}}+\cdots$

${\frac {\sin \,x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-{\frac {x^{10}}{11!}}+\cdots$

$\therefore \int {\frac {\sin \,x}{x}}dx=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\cdots$

Σχέση με το εκθετικό ολοκλήρωμα του φανταστικού επιχειρήματος

Η συνάρτηση

$\operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\Re (z)\geq 0$

ονομάζεται εκθετικό ολοκλήρωμα. Είναι στενά συνδεδεμένο με το Si και το Ci,

$\operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {ci} (x)\qquad ~{\text{ for }}~x>0~.$

Καθώς κάθε αντίστοιχη συνάρτηση είναι αναλυτική εκτός από την αποκοπή σε αρνητικές τιμές του όρου, η περιοχή ισχύος της σχέσης θα πρέπει να επεκταθεί σε (Εκτός αυτής της περιοχής, στην έκφραση εμφανίζονται πρόσθετοι όροι που είναι ακέραιοι παράγοντες του π).

Οι περιπτώσεις φανταστικού ορίσματος της γενικευμένης ολοκληρο-εκθετικής συνάρτησης είναι

$\int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,$

το οποίο είναι το πραγματικό μέρος της

$\int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~.$

Παρομοίως

$\int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=1+ia\left[-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.$

Αποτελεσματική αξιολόγηση

Οι προσεγγίσεις Padé των συγκλίνουσων σειρών Τέιλορ παρέχουν έναν αποτελεσματικό τρόπο για την αξιολόγηση των συναρτήσεων για μικρά ορίσματα. Οι ακόλουθοι τύποι, που δίνονται από τους Ρόου κ.ά. (2015), είναι ακριβέστερες από 10^-16 για 0 ≤ x ≤ 4,

${\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&\approx &x\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1-4.54393409816329991\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\~~~+9.43280809438713025\cdot 10^{-8}\cdot x^{8}-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\\~~~-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+3.28067571055789734\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{array}}}\right)\\&~&\\\operatorname {Ci} (x)&\approx &\gamma +\ln(x)+\\&&x^{2}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}-0.25+7.51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^{2}-1.27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^{4}+1.05297363846239184\cdot 10^{-6}\cdot x^{6}\\~~~-4.68889508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^{8}+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+1.38536352772778619\cdot 10^{-12}\cdot x^{10}+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\~~~+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\\\end{array}}}\right)\end{array}}$

Τα ολοκληρώματα μπορούν να εκτιμηθούν έμμεσα μέσω των βοηθητικών συναρτήσεων $f(x)$ και $g(x)$, οι οποίες ορίζονται ως εξής

$\operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)$		$\operatorname {Ci} (x)=f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)$
or equivalently
$f(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)+\operatorname {Ci} (x)\sin(x)$		$g(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)$

Για $x\geq 4$ οι ρητές συναρτήσεις Padé που δίνονται παρακάτω προσεγγίζουν τις $f(x)$ και $g(x)$ με σφάλμα μικρότερο από 10^-16:

${\begin{array}{rcl}f(x)&\approx &{\dfrac {1}{x}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+7.44437068161936700618\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+4.94816688199951963482\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\&&\\g(x)&\approx &{\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.06297595146763354\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+7.57664583257834349\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.40036752835578777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.23355543278099360\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+1.17164723371736605\cdot 10^{13}\cdot x^{-14}+4.01839087307656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\\end{array}}$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Κανονική κατανομή
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ανρί Λεόν Λεμπέσγκ
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Προβολικός χώρος
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Τυχαία μεταβλητή
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Arkhipov, Gennady I.· Chubarikov, Vladimir N. (22 Αυγούστου 2008). Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-019798-3. 
• Zygmund, Antoni (2002). Trigonometric Series. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89053-3. 
• Arkhipov, Gennadiĭ Ivanovich· Karat︠s︡uba, Anatoliĭ Alekseevich (1982). Multiple Trigonometric Sums. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3067-3. 
• Ashlock, Daniel (31 Μαΐου 2022). Fast Start Integral Calculus. Springer Nature. ISBN 978-3-031-02421-4. 
• Mahmudov, Elimhan (19 Μαρτίου 2013). Single Variable Differential and Integral Calculus: Mathematical Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-91216-86-2. 
• Vălean, Cornel Ioan (24 Μαΐου 2023). More (Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series: A New Collection of Fiendish Problems and Surprising Solutions. Springer Nature. ISBN 978-3-031-21262-8. 
• Krommer, Arnold R.· Ueberhuber, Christoph W. (1 Ιανουαρίου 1998). Computational Integration. SIAM. ISBN 978-0-89871-374-9. <
• Mukhopadhyay, Satya (25 Ιανουαρίου 2012). Higher Order Derivatives. CRC Press. ISBN 978-1-4398-8047-0. 
• Harris, Frank E. (24 Μαΐου 2014). Mathematics for Physical Science and Engineering: Symbolic Computing Applications in Maple and Mathematica. Academic Press. ISBN 978-0-12-801049-5. 
• Velleman, Daniel J. (18 Ιανουαρίου 2017). Calculus: A Rigorous First Course. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-80936-6. 
• Moll, Victor H. (2012). Numbers and Functions: From a Classical-experimental Mathematician's Point of View. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8795-0. 
• Pravica, David· Spurr, Michael (24 Αυγούστου 2011). Mathematical Modeling for the Scientific Method. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-7946-7. 

Παραπομπές

• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd έκδοση), Addison Wesley, σελ. 204, ISBN 978-0-201-00288-1 .

• Bloch, Ethan D. (2011), The Real Numbers and Real Analysis, Springer, ISBN 9780387721767, https://books.google.com/books?id=r0qcU9U2_I4C&q=%22Cauchy+product%22 .

• Canuto, Claudio; Tabacco, Anita (2015), Mathematical Analysis II (2nd έκδοση), Springer .

• Friedman, Menahem; Kandel, Abraham (2011), Calculus Light, Springer, ISBN 9783642178481, https://books.google.com/books?id=xGg52Cv9RsgC&q=%22Cauchy+product%22 .

• Ghorpade, Sudhir R.; Limaye, Balmohan V. (2006), A Course in Calculus and Real Analysis, Springer .

• Hardy, G. H. (1949), Divergent Series, Oxford University Press, σελ. 227–229 .

• Hijab, Omar (2011), Introduction to Calculus and Classical Analysis (3rd έκδοση), Springer .

• Montesinos, Vicente; Zizler, Peter; Zizler, Václav (2015), An Introduction to Modern Analysis, Springer .

• Oberguggenberger, Michael; Ostermann, Alexander (2011), Analysis for Computer Scientists, Springer .

• Pedersen, Steen (2015), From Calculus to Analysis, Springer, doi:10.1007/978-3-319-13641-7, ISBN 978-3-319-13640-0 .

• Ponnusamy, S. (2012), Foundations of Mathematical Analysis, Birkhäuser, ISBN 9780817682927, https://books.google.com/books?id=flwN3psxt_kC&q=%22Cauchy+product%22 .

• Pugh, Charles C. (2015), Real Mathematical Analysis (2nd έκδοση), Springer .

• Sohrab, Houshang H. (2014), Basic Real Analysis (2nd έκδοση), Birkhäuser .
• Apostol, T (1974), Mathematical analysis, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1 .
• Apostol, T (1967), Calculus, Vol. 1 (2nd έκδοση), Jon Wiley & Sons .
• Autar Kaw, Egwu Kalu (2008), Numerical Methods with Applications (1st έκδοση), autarkaw.com, http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/textbook_index.html 
• Titchmarsh, E (1948), Introduction to the theory of Fourier integrals (2nd έκδοση), New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co. (δημοσιεύθηκε 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5 .
• Cooper, Jeffery (2005), Working analysis, Gulf Professional 
• Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010), A course in multivariable calculus and analysis, Springer 
• Erdélyi, T. (2009). «The Remez inequality for linear combinations of shifted Gaussians». Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 146: 523–530. doi:10.1017/S0305004108001849. 
• Trefethen, L.N. (2020). Approximation theory and approximation practice. SIAM. ISBN 978-1-61197-594-9.  Ch. 1–6 of 2013 edition

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0