Τοπικό σώμα

Στα μαθηματικά, ένα σώμα K ονομάζεται μη-Αρχιμήδειο τοπικό σώμα αν είναι πλήρες ως προς μια μετρική που επάγεται από μια διακριτή αποτίμηση v και αν το σώμα καταλοίπων του k είναι πεπερασμένο. Γενικά, ένα τοπικό σώμα είναι ένα τοπικά συμπαγές τοπολογικό σώμα ως προς μια μη διακριτή τοπολογία . Οι πραγματικοί αριθμοί R και οι μιγαδικοί αριθμοί C (με τις τυπικές τοπολογίες τους) είναι Αρχιμήδεια τοπικά σώματα. Δεδομένου ενός τοπικού σώματος, η αποτίμηση που ορίζεται σε αυτό μπορεί να είναι ενός από τους δύο τύπους, καθένας από τους οποίους αντιστοιχεί σε έναν από τους δύο βασικούς τύπους τοπικών σωμάτων: εκείνα στα οποία η αποτίμηση είναι Αρχιμήδειος και εκείνα στα οποία δεν είναι. Στην πρώτη περίπτωση, το τοπικό σώμα ονομάζεται Αρχιμήδειο τοπικό σώμα, ενώ στη δεύτερη περίπτωση ονομάζεται μη-Αρχιμήδειο τοπικό σώμα Τα τοπικά σώματα εμφανίζονται φυσικά στη θεωρία αριθμών ως συμπληρώματα των σφαιρικών σωμάτων.

Ενώ τα Αρχιμήδεια τοπικά σώματα είναι αρκετά γνωστά στα μαθηματικά εδώ και τουλάχιστον 250 χρόνια, τα πρώτα παραδείγματα μη-Αρχιμήδειων τοπικών σωμάτων, τα σώματα των p-adic αριθμών για θετικό πρώτο ακέραιο αριθμό p, εισήχθησαν από τον Κουρτ Χένσελ στα τέλη του 19ου αιώνα.

Κάθε τοπικό σώμα είναι ισόμορφο (ως τοπολογικό σώμα) με ένα από τα ακόλουθα:

• Αρχιμήδεια τοπικά σώματα (χαρακτηριστικό μηδέν): οι πραγματικοί αριθμοί R, και οι μιγαδικοί αριθμοί C.
• από-Αρχιμήδειο τοπικά σώματα χαρακτηριστικής μηδέν: πεπερασμένες επεκτάσεις των p-adic αριθμών Q_p (όπου p είναι οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός).
• Μη-αρχιμήδεια τοπικά σώματα χαρακτηριστικού p (για p οποιονδήποτε δεδομένο πρώτο αριθμό): το σώμα των τυπικών σειρών Λοράν F_q((T)) πάνω σε ένα πεπερασμένο σώμα F_q, όπου q είναι δύναμη του p.

Ειδικότερα, με σημασία για τη θεωρία αριθμών, οι κλάσεις των τοπικών σωμάτων εμφανίζονται ως οι συμπληρώσεις των αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων ως προς τη διακριτή αποτίμησή τους που αντιστοιχεί σε ένα από τα μέγιστα ιδανικά τους. Οι ερευνητικές εργασίες στη σύγχρονη θεωρία αριθμών συχνά εξετάζουν μια πιο γενική έννοια, απαιτώντας μόνο ότι το σώμα καταλοίπων πρέπει να είναι τέλειο θετικής χαρακτηριστικής, όχι απαραίτητα πεπερασμένο. Το παρόν άρθρο χρησιμοποιεί τον πρώτο ορισμό.

Επαγόμενη απόλυτη τιμή

Δεδομένης μιας τέτοιας απόλυτης τιμής σε ένα σώμα Κ, η ακόλουθη τοπολογία μπορεί να οριστεί στο Κ: για έναν θετικό πραγματικό αριθμό m, ορίζουμε το υποσύνολο Β_m του Κ ως εξής

$B_{m}:=\{a\in K:|a|\leq m\}.$

Τότε, τα b+B_m συνθέτουν μια γειτονική βάση του b στο K.

Αντίθετα, ένα τοπολογικό σώμα με μη διακριτή τοπικά συμπαγή τοπολογία έχει μια απόλυτη τιμή που ορίζει την τοπολογία του. Μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας το μέτρο του Χάαρ της προσθετικής ομάδας του σώματος.

Βασικά χαρακτηριστικά των μη-αρχιμήδειων τοπικών σωμάτων

Για ένα μη-Αρχιμήδειο τοπικό σώμα F (με την απόλυτη τιμή να συμβολίζεται με |·|), τα ακόλουθα αντικείμενα είναι σημαντικά:

• ο δακτύλιος των ακεραίων ${\mathcal {O}}=\{a\in F:|a|\leq 1\}$ ο οποίος είναι ένας διακριτός δακτύλιος αποτίμησης, είναι η κλειστή μοναδιαία σφαίρα του F, και είναι συμπαγής,
• οι μονάδες στο δακτύλιο των ακεραίων ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}$ η οποία σχηματίζει μια ομάδα και είναι η μοναδιαία σφαίρα της F,
• το μοναδικό μη μηδενικό πρώτο ιδεώδες ${\mathfrak {m}}$ στο δακτύλιο των ακεραίων του, το οποίο είναι η ανοικτή μοναδιαία σφαίρα $\{a\in F:|a|<1\}$,
• μια γεννήτρια $\varpi$ του ${\mathfrak {m}}$ που ονομάζεται ομοιομορφοποιητής του $F$,
• το σώμα καταλοίπων του $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$ το οποίο είναι πεπερασμένο (αφού είναι συμπαγές και διακριτό).

Κάθε μη μηδενικό στοιχείο a του F μπορεί να γραφεί ως a = ϖⁿu με u μια μονάδα και n έναν μοναδικό ακέραιο αριθμό. Η κανονικοποιημένη αποτίμηση της of F είναι η επιρριπτική συνάρτηση v : F → Z ∪ {∞} που ορίζεται στέλνοντας ένα μη μηδενικόa στον μοναδικό ακέραιο n έτσι ώστε a = ϖⁿu με u μονάδα, και στέλνοντας το 0 στο ∞. Αν q είναι η πολλαπλότητα του υπολειμματικού σώματος, η απόλυτη τιμή στο F που επάγεται από τη δομή του ως τοπικό σώμα δίνεται από:

$|a|=q^{-v(a)}.$

Ένας ισοδύναμος και πολύ σημαντικός ορισμός ενός μη-αρχιμήδειου τοπικού σώματος είναι ότι είναι ένα σώμα που είναι πλήρες ως προς μια διακριτή αποτίμηση και του οποίου το σώμα υπολοίπων είναι πεπερασμένο.

Παραδείγματα

1. Οι p-adic αριθμοί: ο δακτύλιος των ακεραίων του Q_p είναι ο δακτύλιος των p-adic ακεραίων Z_p. Το πρώτο ιδεώδες του είναι το pZ_p και το σώμα καταλοίπων του είναι το Z/pZ. Κάθε μη μηδενικό στοιχείο του Q_p μπορεί να γραφεί ως u pⁿ όπου u είναι μια μονάδα στο Z_p και n ένας ακέραιος, με v(u pⁿ) = n για την κανονικοποιημένη αποτίμηση.
2. Οι τυπικές σειρές Λοράν πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα: ο δακτύλιος των ακεραίων του F_q((T)) είναι ο δακτύλιος των τυπικών δυναμοσειρών F_q[[T]]. Το μέγιστο ιδεώδες του είναι το (T) (δηλαδή το σύνολο των δυναμοσειρών των οποίων οι σταθεροί όροι είναι μηδέν) aκαι το σώμα καταλοίπων του είναι το F_q. Η κανονικοποιημένη αποτίμησή του σχετίζεται με τον (κατώτερο) βαθμό μιας τυπικής σειράς Λοράν ως εξής:

   $v\left(\sum _{i=-m}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)=-m$ (όπου a_−m είναι μη μηδενικό).

3. Η τυπική σειρά Λοράν στους μιγαδικούς αριθμούς δεν είναι τοπικό σώμα. Επί παραδείγματι, το σώμα καταλοίπων της είναι το C[[T]]/(T) = C, το οποίο δεν είναι πεπερασμένο.

Υψηλότερες ομάδες μονάδων

Η n^th ανώτερη μοναδιαία ομάδα ενός μη-αρχιμήδειου τοπικού σώματος F είναι

$U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}^{n})\right\}$

για n ≥ 1. Η ομάδα U⁽¹⁾ ονομάζεται ομάδα κύριων μονάδων και κάθε στοιχείο της ονομάζεται κύρια μονάδα. Η πλήρης μοναδιαία ομάδα ${\mathcal {O}}^{\times }$ συμβολίζεται U⁽⁰⁾.

Οι ανώτερες μοναδιαίες ομάδες σχηματίζουν μια φθίνουσα διήθηση της μοναδιαίας ομάδας

${\mathcal {O}}^{\times }\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq \cdots$

που τα πηλίκα τους δίνονται από

${\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\cong \left({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n}\right)^{\times }{\text{ and }}\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$

για n ≥ 1. (Εδώ "$\approx$" σημαίνει έναν μη κανονικό ισομορφισμό.)

Δομή της ομάδας μονάδων

Η πολλαπλασιαστική οµάδα των µη µηδενικών στοιχείων ενός µη αρχειοµεδικού τοπικού σώµατος F είναι ισόµορφη µε

$F^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U^{(1)}$

όπουq είναι η τάξη του υπολειμματικού σώματος, και μ_q−1 είναι η ομάδα των (q−1)st ριζών της μονάδας (στο F). Η δομή της ως αβελιανή ομάδα εξαρτάται από τη χαρακτηριστική της:

• Εάν η F έχει θετική χαρακτηριστική p, τότε

$F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /{(q-1)}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{\mathbf {N} }$

όπου Nσυμβολίζει τους φυσικούς αριθμούς,

• Αν F έχει χαρακτηριστικό μηδέν (δηλαδή είναι μια πεπερασμένη επέκταση του Q_p βαθμού d), τότε

$F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /(q-1)\oplus \mathbf {Z} /p^{a}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{d}$

όπου a ≥ 0 ορίζεται έτσι ώστε η ομάδα των p-δυναμικών ριζών της μονάδας στο F να είναι $\mu _{p^{a}}$.

Θεωρία τοπικών σωμάτων

Η θεωρία αυτή περιλαμβάνει τη μελέτη των τύπων των τοπικών σωμάτων, τις επεκτάσεις των τοπικών σωμάτων με τη χρήση του λήμματος του Χένσελ, τις επεκτάσεις Γκαλουά των τοπικών σωμάτων, τις διηθήσεις των ομάδων διακλάδωσης των ομάδων Γκαλουά των τοπικών σωμάτων, τη συμπεριφορά της νόρμας στα τοπικά σώματα, τον τοπικό ομομορφισμό αμοιβαιότητας και το θεώρημα ύπαρξης στη θεωρία τοπικών σωμάτων, την τοπική αντιστοιχία Λάνγκλαντς, τη θεωρία Χοτζ-Τέιτ (επίσης αποκαλούμενη p-adic θεωρία Χοτζ), ρητούς τύπους για το σύμβολο Χίλμπερτ στη θεωρία τοπικών σωμάτων, βλ. π.χ..

Τοπικά σώματα υψηλότερων διαστάσεων

Ένα τοπικό σώμα ονομάζεται μερικές φορές μονοδιάστατο τοπικό σώμα.

Ένα μη-Αρχιμήδειο τοπικό σώμα μπορεί να θεωρηθεί ως το σώμα των κλασμάτων της ολοκλήρωσης του τοπικού δακτυλίου ενός μονοδιάστατου αριθμητικού σχήματος βαθμού 1 στο μη-ιδιάζον σημείο του

Για έναν μη αρνητικό ακέραιο n, ένα n -διάστατο τοπικό σώμα είναι ένα πλήρες διακριτό σώμα αποτίμησης του οποίου το σώμα καταλοίπων είναι ένα (n - 1)-διάστατο τοπικό σώμα. Ανάλογα με τον ορισμό του τοπικού σώματος, ένα μηδενικής διάστασης τοπικό σώμα είναι τότε είτε ένα πεπερασμένο σώμα (με τον ορισμό που χρησιμοποιείται σε αυτό το άρθρο), είτε ένα τέλειο σώμα θετικής χαρακτηριστικής.

Από γεωμετρική άποψη, τα n-διάστατα τοπικά σώματα με τελευταίο πεπερασμένο σώμα καταλοίπων συνδέονται φυσικά με μια πλήρη σημαία υποσχημάτων ενός n-διάστατου αριθμητικού σχήματος.

Βιβλιογραφία

• Chew, Geoffrey Foucar (1957). Electromagnetic Structure of the Nucleon in Local-field Theory. University of California Radiation Laboratory. 
• Margulis, Gregori A. (15 Φεβρουαρίου 1991). Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-12179-4. 
• Blokhint︠s︡ev, Dmitriĭ Ivanovich (1956). Non-local and Non-linear Field Theories. U.S. Atomic Energy Commission, Technical Information Service Extension. 
• Ivanov, Simeon (1992). Galois Theory, Rings, Algebraic Groups and Their Applications: Collection of Papers. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3140-3. 
• Gabriel, Franck· Hongler, Cl‚ment (23 Αυγούστου 2024). Lattice Models and Conformal Field Theory. American Mathematical Society, Courant Institute of Mathematical Sciences at New York University. ISBN 978-1-4704-5618-4. 
• Su, Weiyi (17 Αυγούστου 2017). Harmonic Analysis And Fractal Analysis Over Local Fields And Applications. World Scientific. ISBN 978-981-320-052-4. 
• Kuzyk (20 Μαΐου 1998). Characterization Techniques and Tabulations for Organic Nonlinear Optical Materials. CRC Press. ISBN 978-0-8247-9968-7. 
• Fesenko, Ivan B.· Vostokov, S. V. (17 Ιουλίου 2002). Local Fields and Their Extensions: Second Edition. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3259-2. 
• Miyata, S. (2 Δεκεμβρίου 2012). Nonlinear Optics: Fundamentals, Materials and Devices. Elsevier. ISBN 978-0-444-59674-1. 
• Shur, Michael S.· Stroscio, Michael A. (19 Ιουνίου 1997). Twentieth Army Science Conference - Award Winning Papers. World Scientific. ISBN 978-981-4545-95-2. 

Παραπομπές

• Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Lam, T. Y. (2005), «Chapter VIII section 4: Pythagorean fields», Introduction to quadratic forms over fields, en:Graduate Studies in Mathematics, 67, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 255–264, ISBN 978-0-8218-1095-8, https://books.google.com/books?id=YvyOLDeOYQgC 
• Martin, George E. (1998), Geometric Constructions, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98276-0 
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 73, en:Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X,  
• Rajwade, A. R. (1993), Squares, London Mathematical Society Lecture Note Series, 171, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42668-5,